圓錐曲線中直線過定點問題探析

☉甘肅省蘭州市第十中學 溫慶峰

“定點”問題是圓錐曲線常考題型，注重知識的綜合，更注重數學思想方法的應用，難度較大.縱觀近幾年高考，圓錐曲線中直線過定點問題頻頻出現，下面類比探析其相似性.

命題1：已知拋物線C：y2=2px（p＞0），過定點（t，0）（t＞0）且不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M，N兩點，則在x軸上存在點P（-t，0），使得∠OPM=∠OPN.

例1（2018年全國新課標卷Ⅰ文）設拋物線C：y2=2x，點A（2，0），B（-2，0），過點A的直線l與C交于M，N兩點.

（1）當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；

（2）證明：∠ABM=∠ABN.

解析：（1）當l與x軸垂直時，l的方程為x=2，代入y2=2x，得M（2，-2），N（2，2），或M（2，2），N（2，-2），所以BM的方程為2y+x+2=0，或2y-x-2=0.

圖1

所以kBM=-kBN，所以∠ABM=∠ABN.

拓展：已知拋物線C：y2=2px（p＞0），過定點（t，0）（t＜0）且不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M，N兩點，則在x軸上存在點P（-t，0），使得∠OPM+∠OPN=180°.

命題2：已知拋物線C：y2=2px（p＞0），點P（-t，0）（t＞0），設不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M，N兩點，若∠OPM=∠OPN，則直線l過定點（t，0）.

所以kt+b=0，故直線l的方程為y=k（x-t），即直線l過定點（t，0）.

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

圖2

（2）當l的斜率不存在時，由（1）可知，結論成立；當l的斜率存在時，設其方程為y=消去y得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，所以x1+x2=，x1x2=

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知A，B為橢圓長軸的兩個端點，作不平行于坐標軸且不經過右焦點F的直線PQ，與橢圓交于P，Q兩點，若滿足∠AFP=∠BFQ，求證：直線PQ恒過一定點.

解析：（1）依題意知l：y=x-c. ①

所以kt+m=0，故直線l的方程為y=k（x-t），即直線l過定點（t，0）.W