圓錐曲線離心率問題的解法剖析與思考

☉江蘇省連云港市華杰實驗學校 宋現印

圓錐曲線的離心率是高中數學的重點知識，以其為載體的考題一直都是高考的熱點，雖然離心率的定義和計算公式較為固定，但考慮到與其相關的知識內容較多，因此該類問題通常以綜合題的形式出現，因此可以從不同的角度，采用多種思路來分析.本文將對一道離心率與平面幾何相結合的考題進行多解探究，總結解題方法，提出相應的教學建議，與讀者交流學習.

一、考題呈現，思路分析

考題 （2018年北京高考卷第14題）已知橢圓M的解析式為，雙曲線N的解析式為=1，如果雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰好為一個正六邊形的六個頂點，則橢圓M的離心率為______；雙曲線N的離心率為______.

分析：上述題目涉及了橢圓和雙曲線，通過圖像中的特殊點構建的一個正六邊形將兩者聯系起來，求解兩個圓錐曲線的離心率就需要充分利用這兩類曲線的性質，結合正六邊形的特性構建兩者之間的關系，然后基于離心率的表達式嘗試進行關系轉化.分析問題中的條件，初步有以下幾種思路：一是以正六邊形的邊長性質作為解題切入點，尋求點與點之間的距離關系；二是從研究點的坐標入手，聯立兩類曲線的解析式；三是充分利用正六邊形中的特殊圖形，如直角三角形，圍繞特殊圖形的性質構建曲線特征參數的關系.

二、思路突破，多解探析

圖1

解題思路1：連接AF1和AF2，如圖1所示，點A既是正六邊形的頂點，也是橢圓M上的點，求AF1+AF2既可以從幾何性質角度來分析，也可以結合橢圓的基本定義，兩者所得的結果必然是一致的，即c+c=2a.則可以直接構建a與c之間的關系，即橢圓M的離心率為而對于雙曲線的離心率的探究，則同樣可以從幾何與圓錐曲線性質兩個角度來構建參數關系：由雙曲線漸近線的表達式，可知漸近線的斜率為，結合正六邊形的性質特征可知漸近線的傾斜角分別為率為±，轉化后可得e2=2，即雙曲線N的離心率為2.

圖2

解題思路2：根據題干條件繪制圖2所示的圖像，分析正六邊形的結構，橢圓的兩個焦點F1和F2分別為正六邊形兩側的頂點，而漸進線將正六邊形的內角平分，顯然△AOF2為等邊三角形，即∠AOF2=∠AF2O=∠OAF2=60°，過點A作x軸的垂線，垂足為E，點F的坐標為（c，0），則OE=2，即點A的坐標為考慮到點A位于橢圓上，則必然滿足橢圓M的方程，將1中，整理可得，即橢圓M的離心率為-1.同時點A位于雙曲線的一條漸近線上，根據雙曲線的解析式可設其漸近線的表達式為將點A的坐標代入其中可得即雙曲線N的離心率為2.

上述考題是高考中常見的求圓錐曲線離心率題，其特殊之處有兩個：一是將多條曲線融合在一起進行考查；二是將圓錐曲線知識與平面幾何知識綜合起來進行考查.因此從問題內容來看屬于平面幾何與函數曲線相融合的綜合題，求解離心率就需要從平面幾何與函數曲線兩個角度來構建參數a與c的數量關系，上述兩種解法的思路雖然不同，但都是基于該策略來完成構建的.

解法1以正六邊形的性質作為解題的出發點，結合橢圓的定義構建方程，進而求得離心率，簡化了解題的過程；而解法2在求解橢圓的離心率時立足點A的坐標，利用正六邊形的性質表示點A的坐標，然后將其代入橢圓的解析式，從而獲得相關的代數關系，直接達到了求解離心率的目的.

三、知識總結，方法提煉

圓錐曲線的離心率是常見的問題類型，在綜合題中一般不直接根據a，c的數值計算，而采用關系轉化的方式獲得，因此有必要對其進行知識總結和方法提煉.

1.公式轉化與分析

2.解題方法

求解圓錐曲線的離心率或分析取值范圍一般采用如下方法：

（1）基本公式法，離心率是c與a的比值，因此可以直接根據題目的條件求得c與a的具體數值，然后代入公式求解.

（2）代數方程法，求解離心率可以視為是求解a，b，c其中兩個數的值，因此對于一些圓錐曲線題，可以結合題干條件列出a，b，c之間的關系，組成代數方程，然后通過解方程的方式求解.

（3）幾何函數法，該方法指的是從幾何與函數兩個角度進行條件構建，如上述考題的兩種解法，結合平面圖形的相關性質提煉條件，然后結合曲線的性質特征構建關系模型，采用關系轉化或構建方程的方式來求解.

（4）不等式法，該方法的顯著特征是構建關于離心率參數的不等式，可以結合平面幾何中圖形的邊長不等關系，也可以結合題目本身相關量的取值范圍，最終只需列出對應的不等式，轉化為關于離心率的不等關系式即可.

3.學以致用

圖4

解析：通過構建幾何函數法求解方程，根據題干條件繪制圖4所示的圖像，△F1PF2為等腰直角三角形，則F1F2=PF2.由橢圓的性質可知F1F2=2c.點F2的坐標為（c，0），點P的橫坐標與點F2相同且位于橢圓上，則可推知點，整理后兩邊同除以a2，可解得e=-1+

四、解后思考，教學反思

1.剖析問題本質，立足基本定理

與離心率有關的考題是高考的熱點問題，該類問題的考查形式多樣，題型也較為靈活，有單純根據曲線方程求解離心率的簡單題，也有綜合多種知識考查離心率內容的復合題，但從考題的求解過程來看，均離不開對離心率概念和圓錐曲線對應性質的利用.如上述兩道綜合性問題，依然需要從離心率的定義出發，結合離心率的表達式進行關系轉化，即剖析問題本質才是求解考題的根本，也是實現考題高效求解的關鍵.在實際教學中，教師在講解綜合性考題時，應充分引導學生剖析問題本質，使學生認識到問題的本質內容，然后立足于基本的定理、定義構建問題的解題思路，使學生掌握考題最根本的解法.

2.多維思考探究，總結解題方法

高考真題的經典之處在于學生可從不同的角度，運用不同的方法獲得正確的答案，這就從另一個層面鼓勵學生在平時的學習中要敢于思考，勇于創新.如上述關于離心率的考題，既可以從平面幾何角度進行分析，也可以從圓錐曲線的基本定義入手，還可以將兩者融合構建對應的代數方程.多角度思考探究考題的優勢在于可以全面認識考題的結構，對考題的解題思路產生深刻的認識，從而有效提升自我的解題思維.因此在解題教學中，教師十分有必要開展考題的多解探析，幫助學生總結特定問題的解題方法和分析策略，拓展學生的數學思維，提升學生的綜合素養.W