從“一題多解”到培養學生的發散性思維和創新性思維

☉清華大學附屬中學 劉 慶

數學學科核心素養要求學生獲得學習知識的能力，而作為高中數學教師，需要具備培養學生自主獲得新知的能力.于是，在教學中需要深入淺出、以點帶面地對知識點進行逐步加深，并給學生舉一反三，從多角度及多維度思考問題，進而找出問題的本質.

一、理論基礎

一般認為，“素養與知識（或認知）、能力（或技能）、態度（或情意）等概念的不同在于，它強調知識、能力、態度的統整，超越了長期以來知識與能力二元對立的思維方式，凸顯了情感、態度、價值觀的重要性，強調了人的反省思考及行動與學習.”“數學素養是指當前或未來的生活中為滿足個人成為一個會關心、會思考的公民需要具備的認識，并理解數學在自然、社會生活中的地位和能力，做出數學判斷的能力，以及參與數學活動的能力.”可見，數學素養是人們通過數學學習建立起來的認識、理解和處理周圍事物時所具備的品質，通常是在人們與周圍環境產生相互作用時所表現出來的思考方式和解決問題的策略.人們所遇到的問題可能是數學問題，也可能不是那么明顯的數學問題，而具備數學素養的人可以從數學的角度看待問題，可以用數學的思維思考問題，可以用數學的方法解決問題.數學學科核心素養可以理解為學生學習數學應當達到的有特定意義的綜合性能力，核心素養不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數學能力，核心素養是基于數學知識、技能，又高于具體的數學知識、技能，反映了數學本質與數學思想，是在數學學習過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性.

二、實例研究——函數的零點

1.基本問題基本數學素養的積累

在高中數學教學中，數學老師需要注重培養學生逐步理解問題、分析問題并解決問題的能力，并有意識地培養學生的發散性思維與創造性思維，善于從不同的角度去理解同一問題.本文主要以高一教材必修1中函數的零點作為切入點，探討在教學中如何滲透培養學生的發散性思維和創造性思維.下面我們將通過幾個典型的例題來展開我們的論述.

題型一：設函數f（x）=x2-ax有兩個零點，求a的取值范圍.

解：令f（x）=0，得x=0或x=a，那么f（x）有兩個零點意味著a≠0，從而a∈（-∞，0）∪（0，+∞）.

此題是求二次函數的零點問題，可以直接根據零點的定義將二次函數所有的零點求出來，再根據題意得到a的取值范圍.

本例是根據函數零點的定義直接進行計算，但是，往往在教學活動中并不是所有的找函數零點問題都可以通過直接求得零點來解決，而是需要學生從不同的角度靈活地運用所學的知識找到解決問題的途徑.一般來說，函數的零點可以通過數形結合的方式求得，尤其是通過簡單的加減乘除運算將基本函數組合在一塊的函數.

題型二：判斷函數f（x）=|x-2|-lnx的零點個數.

解：f（x）的零點可以視為函數y1=|x-2|與y2=lnx（x>0）的圖像交點的橫坐標，y1，y2的圖像如圖1所示，顯然y1與y2的圖像有兩個不同交點.從而f（x）=|x-2|-lnx有兩個不同零點.

圖1

顯然，本例中的函數并不是我們熟知的函數，嘗試用直接找零點的方式確定零點的個數不太現實，于是需要引導學生對函數式進行變形.最容易聯想到的是對函數式進行移項，這樣會得到等式|x-2|=lnx，對于這個兩邊都含有x的式子而言，很容易使學生聯想到，我們可以構造兩個函數，然后通過尋找這兩個函數的交點的橫坐標的個數來判斷本題中函數零點的個數，于是引導學生得到以上解法.

這樣將求函數零點的個數轉化為求兩個函數交點的個數，是我們在學習函數零點的過程中常用的方式，有時在求參數的取值范圍的過程中將零點轉化為一個函數與一個常函數的交點也很常見.參見下例：

題型三：設函數y=x2-|x|+a有四個零點，求a的取值范圍.

解：f（x）的零點可以視為函數y1=x2-|x|與y2=-a的圖像交點的橫坐標，其中y2的圖像隨a的變化而上下移動.如圖2所示，則若要y1，y2的圖像有四個不同的交點，則

圖2

本例中一個非常好的現象是當將原題中的函數分割成兩個函數時，一個以二次函數為基礎建立起來的偶函數是固定的，也就是說這個偶函數的圖像可以完全確定地畫出來，此時我們只需讓常函數動起來，然后通過判斷交點的個數來求解參數a的取值范圍即可，而常函數的移動是學生比較容易想象的.

2.在解決問題的過程中培養學生的數學學科核心素養

求解函數的零點的個數常常可以跟方程的根的個數或者兩個函數的交點的個數聯系起來，而在實際的教學過程中，我們常常會碰到的一類問題是函數式的變形并不是唯一的，也就是說，會從多個不同的角度，利用不同函數的性質和圖像解決問題.那么在啟發引導學生的過程中，教師應更加注重拓展學生的思維，引導學生做出不同的變形并求解.一般來說，函數零點問題轉化成兩個函數圖像的交點時，盡量讓一個函數已知另一個函數動起來找參數的取值范圍，那么結合學生現在已有的基礎來看，盡量讓復雜的圖像固定住，比如二次函數與一次函數相交的話，盡量讓二次函數固定住，如果還有分段函數的話，也盡量讓分段函數固定住.下面我們用一個例子來說明如何培養學生思維的靈活性.

例已知函數f（x）=ax2-|x|+a有四個零點，求a的取值范圍.

解法1：從最直觀的概念入手并觀察出此函數為偶函數，根據偶函數的性質可知，若函數有四個零點，只需要保證函數有兩個正的零點即可，對應的函數一定會存在兩個負的零點，于是函數有四個零點的條件就得以保證.這樣分析的話，不但讓零點個數變得簡單，而且在研究函數只具有正零點的時候函數里的絕對值可以被去掉，從而得到一個學生熟悉的類似于二次函數的形式，具體解答如下，

首先，a=0顯然不滿足要求，因此a≠0，此時0不是f（x）的零點.注意到f（x）是偶函數，因此f（x）有四個零點?f（x）有兩個正的零點?ax2-x+a=0有兩個正根?

解法2：本題依舊可以引導學生通過對原題中復雜的函數式進行變形，將此問題轉化為求兩函數交點的問題，最簡單的變形即移項，于是得到以下解答.

圖3

f（x）的零點可以視為函數y1=|x|與y2=a（x2+1）的圖像交點的橫坐標，其中y2的圖像隨a的變化而變化.則f（x）有四個零點?y1，y2的圖像有四個不同的交點.如圖3所示，a≤0時，顯然不滿足條件.a＞0時，要滿足條件，y2圖像的開口必須比相切時候的開口要大.而y1，y2圖像相切?ax2-x+a=0有兩個重根（舍），又根據二次函數圖像的特點知a越小開口越大，從而

解法3：在解法2中，兩個函數都不是特別簡潔，而且在討論一個帶絕對值的函數和二次函數的交點過程中，是二次函數的開口在發生變化，這種變化使學生在定量地尋找參數關系時感覺比較復雜，于是我們考慮到另外一種方式，即能否讓二次函數固定，而線性的絕對值函數動起來呢？只需要將參數移項即可做到，于是得到如下解法，

首先，a=0顯然不滿足要求，因此a≠0.類似解法2，f（x）的零點可以視為函數y1=與y2=x2+1的圖像交點的橫坐標，其中y1的圖像隨a的變化而變化.則f（x）有四個零點?y1，y2有四個不同交點.如圖4所示，a＜0時，顯然不滿足條件.a＞0時，若要滿足條件，y2的圖像開口必須比相切時的開口要大.而y1，y2圖像相切?ax2-x+a=0有兩個重根?Δ=1-4a2=0?a=（舍），從而

圖4

從這個例子中可以了解到，具備數學素養有助于學生發散性思維、創新性思維的培養，而且在整個解決問題的過程中，適當地拓寬了函數的基本面，也可以隨時復習不同函數的不同性質，讓學生的思維得到了極大的鍛煉，久而久之，學生的數學學科核心素養便會在不知不覺中得到培養.W