聚焦思維方法，指向問題本質(zhì)
——對一道高考真題的探究與思考

☉浙江省溫嶺中學(xué) 林新華

一、試題展示

例題 （2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷第9題）設(shè)k，m為實(shí)數(shù)，不等式|x2-kx-m|≤1對所有x∈［a，b］成立.證明：b-a≤2.

二、試題特點(diǎn)

本題作為解答題第1題（解答題共3題），它源于平時(shí)高考范圍內(nèi)的常見題，所涉及的知識沒有超出高考要求，但在有些處理手法上略有提高.本題語言簡潔、解題入口寬、層次多，具有非常明顯的區(qū)分度.數(shù)學(xué)素養(yǎng)一般的考生，通過對問題的合理分析，運(yùn)用常規(guī)的討論等方法能夠達(dá)到自己理想的結(jié)論，但是時(shí)間的成本會比較大；而數(shù)學(xué)素養(yǎng)好、思維深刻的學(xué)生能快速直達(dá)問題的本質(zhì)，此題的本質(zhì)是在分析拋物線的“陡峭程度”.因?yàn)閗、m其實(shí)只影響f（x）=x2-kx-m的圖像位置而不影響其形狀，故本題其實(shí)是討論f（x）=x2的圖像中使得函數(shù)值差距不超過2的最長區(qū)間，即在分析拋物線的“陡峭程度”.2010年全國高中聯(lián)賽A卷的第9題也可看成這類問題.

三、多視角下的方法探究

視角一：三點(diǎn)控制法的視角

點(diǎn)評：上面的方法是命題組提供的解答，該解法巧妙地取函數(shù)f（x）在區(qū)間端點(diǎn)及中點(diǎn)位置時(shí)值的范圍，通過觀察三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，經(jīng)過恰當(dāng)?shù)淖冃握硐，m，從而得到關(guān)于a，b的不等式.本題考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要求高，綜合能力強(qiáng).

視角二：對稱軸討論的視角

令M=（fx）max-（fx）min，則M≤2對任意x∈［a，b］恒成立.

點(diǎn)評：利用最平常的對稱軸與區(qū)間的討論，得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，然后得出M的表達(dá)式，再利用不等式放縮即可.大多數(shù)學(xué)生是從這個(gè)角度去思考和解題的，他們能寫出需討論的全部情況或者其中的幾種情況.一些優(yōu)秀的學(xué)生也能把（3），（4）兩種情況合起來：

視角三：最小值討論的視角

不妨設(shè)（fx）=x2-r，x∈［a′，b′］，b-a=b′-a′，下面對x∈R時(shí)，（fx）的最小值進(jìn)行討論：

（1）若（fx）min＜-1，即r＞1.

圖1

由圖1可得：

（2）若-1≤（fx）min≤1，即-1≤r≤1.

令（fx）=1的根為x3，x（4x3＜x4），可解得：

圖2

由圖2可得：

（3）若（fx）min＞1，則|（fx）|≤1無解.

點(diǎn)評：首先，把f（x）視為f（x）=x2-r，這需要對二次函數(shù)有本質(zhì)的理解，學(xué)生需要較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這樣處理簡化了后續(xù)的運(yùn)算.其次，此解法的本質(zhì)是通過研究f（x）的圖像與直線y=1或y=-1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差，來刻畫b-a的范圍.對上面的解法可進(jìn)一步優(yōu)化為：不妨設(shè)f（x）=x2-r，對?x∈［a，b］均有|f（x）|≤1.

下面對r進(jìn)行討論.

總之，從具體的背景中抽象出一般的數(shù)量關(guān)系，概括出問題的本質(zhì)，再從直觀的圖形角度來解決問題，認(rèn)識了數(shù)與形的關(guān)系，在解決問題過程中，有利于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).

視角四：反證法的視角

綜上①②③知總存在x1，x2∈［a，b］，使|（fx1）-（fx2）|＞2.

這與題設(shè)對任意x∈［a，b］，|（fx）|≤1矛盾.所以假設(shè)不成立，即b-a≤2.

視角五：函數(shù)凹凸性的視角

-1≤x2-kx-m≤1對任意x∈［a，b］恒成立.

因?yàn)閥=x2-kx-m為下凸函數(shù)，

視角六：競賽的視角

由拉格朗日插值恒等式知：

比較上式兩邊x2的系數(shù)，得：

四、思考與建議

（1）此題雖有著“入手易，解法多”的特點(diǎn)，但部分考生仍感覺力不從心.因此在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生思維，重視問題的本質(zhì).張奠宙教授曾說：“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性關(guān)鍵在于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn)”.因此在平時(shí)的教學(xué)中盡量留給學(xué)生足夠的時(shí)間讀題、審題，在這個(gè)過程中讀出若干思維角度，審出題目結(jié)構(gòu)，理解問題本質(zhì).

（2）數(shù)學(xué)教學(xué)是“慢”藝術(shù)，若短時(shí)間內(nèi)把所有好的數(shù)學(xué)思想方法打包發(fā)給學(xué)生，往往因空間不足而無法解壓.因此，在教學(xué)中教師要敢于等待學(xué)生，陪伴學(xué)生重筑數(shù)學(xué)知識的形成之路，而不要在某些經(jīng)典知識上一筆帶過.

（3）平時(shí)所謂的難題通常是對多個(gè)知識點(diǎn)進(jìn)行交叉和互融考查，數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高的學(xué)生遇到難題時(shí)會把多種通法綜合在一起，創(chuàng)造出含有“技巧性元素”的方法.因此，在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)注重對知識“通性通法”的教學(xué)，通法就是遵循數(shù)學(xué)的思維特征分析問題和解決問題，只要對問題解決的通性通法熟練、高效，某些技巧性方法自然就會應(yīng)運(yùn)而生.

（4）注重高中數(shù)學(xué)與拓展知識之間的聯(lián)系.比如函數(shù)的凹凸性、不動點(diǎn)理論、拉格朗日插值恒等式、極限思想等，其實(shí)平時(shí)的試題中也經(jīng)常會出現(xiàn)用琴生不等式秒殺的問題等.再如極限思想在函數(shù)零點(diǎn)判斷問題中會經(jīng)常用到.