矩形的平方和性質及其應用

☉武漢大學附屬中學 譚 澤

一、定理及證明

已知矩形ABCD，P是任意一點，則|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2.

證明：連接AC，BD交于點O，則O為AC，BD的中點.

在△PAC中，由中線長定理，得

（2|PO|）2+|AC|2=2（|PA|2+|PC|2）.

在△PBD中，同理，得：

（2|PO|）2+|BD|2=2（|PB|2+|PD|2）.

故|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2.

圖1

二、應用舉例

解析：在矩形AB2PB1中，由矩形的平方和性質，可得|OB1|2+|OB2|2=|OA|2+|OP|2.

所以|OA|2=2-|OP|2.

圖2

圖3

點評：此題解法多樣，但使用矩形的平方和性質，可以使解答更完美，過程更簡潔！

例2 （2014年全國高中數學聯賽初賽內蒙古卷第8題）向量a，b，c滿足|a|=|b|=2，|c|=1，且（a-c）·（b-c）=0，則|a-b|的取值范圍是______.

由矩形的平方和性質，可得：

|OD|2+|OC|2=|OA|2+|OB|2.

點評：本題使用矩形的平方和性質，可以再次感受到該定理的強大！

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

（2）設點F1關于兩條切線的對稱點為M，N，則根據橢圓的光學性質，可得：|MF2|=|NF2|=6.

連 接 MF1，NF1交 兩 條 切線于點A，B，所以四邊形AFBP

1為矩形，如圖4，根據矩形的平方和性質，得：

圖4

則|OP|2=13.

故點P的軌跡方程為：x2+y2=13.

點評：（1）此題解法較多，但是常規運算復雜，難以算出結果，這里的解法使用了圓錐曲線的光學性質，再加矩形的平方和性質，簡便、快捷；

（2）此題的背景是教材上閱讀材料中的蒙日圓，從閱卷結果看，沒有考生使用此法解答.

此題可以推廣，如下：

圖5

圖6

設點F1關于兩條切線的對稱點為M，N，則根據橢圓的光學性質，可得：|MF2|=|NF2|=2a.連接MF1，NF1交兩條切線于點A，B，所以四邊形AF1BP為矩形，如圖6，根據矩形的平方和性質，得：

故點P的軌跡方程為：x2+y2=a2+b2.

三、考題在線

1.已知圓O：x2+y2=6，A，B為圓上兩個動點，點M（1，1），若四邊形PAMB為矩形，則點P的軌跡方程為______.

參考答案：x2+y2=2.

2（.2017年清華大學自主招生暨領軍計劃試題）已知P為圓O內一點，A，B為圓O上的動點，且滿足∠APB=90°，則線段AB的中點M的軌跡形狀可能為（ ）.

A.圓 B.橢圓 C.一段雙曲線 D.一段拋物線

參考答案：A.

3（.2012年江西卷·理7）在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則（ ）.

A.2 B.4 C.5 D.10

參考答案：D.

4（.2012年新課標卷·文23、理23）已知曲線C1的參數方程是（φ為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是P=2，正方形ABCD的頂點都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為

（1）求點A，B，C，D的直角坐標；

（2）設P為C1上任意一點，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.