你若盛開，數列自來
——一道數列最值題的探究

☉山東省棗莊市第三中學 朱信富

數列在高中數學中“叱咤風云”，獨樹一幟，既有函數的特征，又有自身的規律，而且具有深遠的內涵與豐富的外延，特別在應用中顯示出了獨特的魄力和勢不可擋的滲透力，備受各個層面的命題者的關注．從近幾年新課標高考試題來看，數列中的最值問題越來越成為高考命題的熱點之一，真正體現了數列與方程、函數、不等式性質及相關知識的應用，充分展示了其所形成的知識交匯與紐帶的作用．

問題 （2016年江蘇省南京一模）設Sn是等比數列{an}的前n項和，an>0，若S6-2S3=5，則S9-S6的最小值為______.

本題以等比數列的前n項和為問題背景，通過等比數列的前n項和的一個關系式的給出來確定相應的涉及等比數列的前n項和的關系式的最值問題.用數列與函數的關系來設置問題，通過確定數列的最值問題來落實，可以巧妙結合題目條件，利用等比數列的通項公式、前n項和公式及相關的性質，從不同的思維角度出發，進而利用不同的方法來解決.

結合已知條件S6-2S3=5，利用等比數列的前n項和公式加以轉化，整理得到可得q>1，進而再次利用等比數列的前n項和公式把S9-S6轉化為含有q的關系式，結合關系式的等價變換，并借助基本不等式來確定最值.

解法1：設等比數列{an}的公比q>0，且q≠1.

結合已知條件S6-2S3=5，利用等比數列的通項公式加以轉化，得到（q3-1）（a1+a2+a3）=5，可得q>1，進而再次利用等比數列的通項公式把S9-S6轉化為含有q的關系式，結合關系式的等價變換，并借助基本不等式來確定最值.

解法2：設等比數列{an}的公比q>0，且q≠1.

所以S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

結合已知條件S6-2S3=5，利用等比數列的通項公式加以轉化，得到（q3-1）（a1+a2+a3）=5，可得q>1，結合關系式的等價變換并利用等比數列的通項公式把S9-S6轉化5為含有q的關系式，然后結合關系式的等價變換，并借助基本不等式來確定最值，最后利用不等式的性質來確定S9-S6的最值.

解法3：設等比數列{an}的公比q>0，且q≠1.

則有S9-S6≥20，即S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

根據數列的函數性質引入參數A得到Sn=Aqn-A，結合S6-2S3=5得到參數A關于q的表達式，進而利用數列的函數性質并結合代換法把S9-S6轉化為含有q的關系式，最后結合關系式的等價變換，并借助基本不等式來確定最值.

解法4：設等比數列{an}的公比q>0，且q≠1.

在等比數列{an}中，根據數列的函數性質有Sn=Aqn-A，其中A≠0.

所以S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

結合等比數列的性質得到S3，S6-S3，S9-S6構成公比為q3的等比數列，再結合S6-2S3=5得到可得q>1，然后結合等比數列的通項公式把S9-S6轉化為含有q的關系式，最后結合關系式的等價變換，并借助基本不等式來確定最值.

解法5：由于等比數列{an}中，an>0，則有Sn>0.

由S6-2S3=5，可得（S6-S3）-S3=5.

由等比數列的性質知S3，S6-S3，S9-S6構成公比為q3的等比數列.

所以S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

結合等比數列的性質得到S3，S6-S3，S9-S6成等比數列，進而建立相應的關系式，并結合S6-2S3=5代入轉化為含有S3的關系式，最后利用關系式的轉化并借助基本不等式來確定最值.

解法6：由于等比數列{an}中，an>0，則有Sn>0.

由等比數列的性質知S3，S6-S3，S9-S6成等比數列.

所以S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

結合等比數列的性質得到S3，S6-S3，S9-S6成等比數列，進而建立相應的關系式，并結合S6-2S3=5代入轉化為含有S3的關系式，最后直接借助基本不等式來確定最值.

解法7：由于等比數列{an}中，an>0，則有Sn>0.

由等比數列的性質知S3，S6-S3，S9-S6成等比數列.

所以S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

結合等比數列的前n項和的性質Sn+m=Sn+qnSm，通過S6-2S3=5的轉化得到關系式，可得q>1，再利用相關性質轉化S9-S6為含有q的關系式，結合關系式的等價變換，并借助基本不等式來確定最值.

解法8：由于等比數列{an}中，an>0，則有Sn>0，設等比數列{an}的公比q>0，且q≠1.

所以S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

總評：解決等比數列的前n項和的關系式問題，關鍵是結合通項公式、前n項和公式或等比數列的基本性質加以轉化，再根據所確定的關系式的特征，利用基本不等式來確定最值.特別是在利用基本不等式時，要注意前提條件中“正數”的確定，這也是解決此類問題時比較容易忽視的地方.

涉及數列中的最值問題，往往思維方式各異，求解方法多種多樣，而且數列性質與公式的運用技巧靈活，知識綜合性與交匯性強，一直是高考在交匯處命題的一大主陣地.而函數與方程思維、基本不等式思維、化歸與轉化思維等方法巧妙地把數列中的最值問題轉化為函數的最值問題，因此利用函數方法或不等式方法來解決，可以拓廣解題思維，同時數列本身的基本性質也為求解最值開辟了全新的思路.F