活躍在全國各地模擬卷中的創新型函數

☉湖北省襄陽市第一中學 王 勇

函數是中學數學的主要內容，也是歷年高考“經久不衰”的重點、難點和熱點內容.高考命題者為了命制好函數題而絞盡腦汁、挖苦心思，所命制的函數題超凡脫俗、新穎別致，頗具思考性和挑戰性.一些構思精巧、魅力四射的創新型函數頻頻“閃亮登場”，這些創新型函數是考查學生的遷移能力、探究能力及核心素養的極好素材，具有很好的區分與選拔功能.下面從全國各地模擬卷中精選幾類創新型函數并結合典型例題加以剖析，旨在探索題型規律，揭示解題方法.

一、n階整點函數

例1 （2018年深圳市模擬題）在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為整點，若函數f（x）的圖像恰好經過n（n∈N*）個整點，則稱函數f（x）為n階整點函數.給出下列函數：

其中是一階整點函數的是（ ）.

A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④

解析：對于函數f（x）=sin2x，它的圖像（圖略）只經過一個整點（0，0），所以它是一階整點函數；

對于函數g（x）=x3，它的圖像（圖略）經過整點（0，0），（1，1），…，所以它不是一階整點函數；

對于函數φ（x）=lnx，它的圖像（圖略）只經過一個整點（1，0），所以它是一階整點函數.

綜上，本題應選答案C.

點評：根據新定義的一階整點函數的含義，對四個函數一一進行分析，判斷它們的圖像是否恰好經過一個整點，即可得出正確的選項.

二、同形函數

例2（2018年衡陽市模擬題）若兩個函數的圖像經過若干次平移后能夠重合，則稱這兩個函數為“同形函數”.給出四個函數：f1（x）=2log2x，f2（x）=log2（x+2），f3（x）=（log2x）2，f4（x）=log2（2x），則“同形函數”是（）.

解析：f4（x）=log2（2x）=1+log2x，將函數f4（x）的圖像沿y軸向下平移1個單位長度得到函數y1=log2x的圖像，再將此函數的圖像沿x軸向左平移2個單位長度得到函數y2=log2（x+2）的圖像，即函數f4（x）的圖像經過平移后可得到函數f2（x）的圖像，故f4（x）與f2（x）是“同形函數”，故選D.

點評：本題給出“同形函數”的定義，重點考查函數的圖像變換（平移變換）.

三、平均值函數

例3（2018年襄陽市模擬題）定義：如果函數y=（fx）在定義域內給定區間［a，b］上存在x（0a

解析：因為函數（fx）=-x2+mx+1是區間［-1，1］上的平均值函數，所以在（-1，1）內有實數根，即關于x的方程x2-mx+m-1=0在（-1，1）內有實數根，解方程得x1=1，x2=m-1，由題意必有-1

點評：根據“平均值函數”的定義，將問題轉化為方程x2-mx+m-1=0在（-1，1）內有實數根，而此方程的兩實根容易求得，在此基礎上列出關于m的不等式即可求解.

四、取整函數（高斯函數）

例4（2018年宜昌市調考題）函數f（x）=［x］-x（［x］表示不超過x的最大整數，如［-3.6］=-4，［2.1］=2），設函數g（x）=f（x）+log6x，則函數y=g（x）的零點的個數為______.

解析：令g（x）=f（x）+log6x=0，得log6x=-f（x），設h（x）=-f（x）=x-［x］（x>0）表示的是正實數x的小數部分，則h（x）∈［0，1）.分別作出函數y=h（x），y=log6x的圖像，如圖1所示.

圖1

由圖1可知函數y=h（x）與函數y=log6x的圖像有4個交點，故函數y=g（x）的零點有4個.

點評：本題不僅考查了函數的零點、函數的圖像及函數的性質，還考查了數形結合思想.解決本題的關鍵是準確理解［x］的含義（可以這樣理解：設n∈Z，若n≤x

五、囧函數

①y=（fx）的值域為R；

②y=（fx）在（0，+∞）上單調遞減；

③y=（fx）的圖像關于y軸對稱；

④y=（fx）的圖像與直線y=ax（a≠0）至少有一個交點.

其中，正確結論的序號是______.

綜上所述，本題應填③④.

點評：畫出“囧函數”的圖像，充分利用“囧函數”的圖像特征來確定函數的有關性質.

圖2

六、密切函數

例6（2018年重慶市模擬題）設函數（fx）與g（x）是定義在同一區間［a，b］上的兩個函數，若對任意的x∈［a，b］，都有|（fx）-g（x）|≤1，則稱（fx）與g（x）在［a，b］上是“密切函數”，區間［a，b］稱為“密切區間”.設函數（fx）=lnx］上是“密切函數”，則實數m的取值范圍是（ ）.