不畏浮云遮望眼，只緣“熱點”在里面
——函數熱點題型解析

☉江蘇省海安高級中學 葉枝鳳

函數部分涉及映射、函數的概念、函數的表示法、分段函數、函數的基本性質、基本初等函數（指數函數、對數函數、冪函數等），以及函數與方程、函數模型及其應用等，是高中的基本知識之一，也是高考中的重要考點之一.下面結合近幾年高考中函數部分的熱點題型加以實例剖析，以期達到突破與提升的目的.

熱點1——函數的值域或最值

權威解讀：函數的值域或最值及其求法是近幾年高考考查的重點內容之一.函數的值域是函數在定義域內對應的函數值的取值范圍，其求解的關鍵是確定相應的最值.因此，求函數的值域時要求出定義域內的所有極值點和端點處的函數值，并進行比較，得到函數的最值.在高考中主要考查求解函數的值域問題，從而帶動對函數的最值等相關問題的考查，其應用廣泛，綜合性強，且解法靈活多變.在實際求解中，各種方法往往可以相互滲透，也可以多法并舉.

例1 （2018屆江蘇省蘇錫常鎮四市高三教學情況調研（二）·14）已知a，b為正實數，且（a-b）2=4（ab）3的最小值為______.

解析：由于a，b為正實數，設則有a+b=Mab.

而由（a-b）2=4（ab）3，

可得4（ab）3=（a+b）2-4ab=M（2ab）2-4ab，

可得關于ab的方程4（ab）2-M（2ab）+4=0，

則該方程有解，

在分析運動員每局彈跳高度的基礎上，可以分析得知運動員在比賽過程中競技狀態的動態變化。圖4顯示了球員在各局彈跳高度如何上升和下降。

點評：解決此類雙變元的二次代數式問題，往往根據條件對已知等式進行轉化或處理，利用基本不等式思維、待定系數法思維、函數與方程思維及其他相關的思維方式將所要求解的雙變元的二次代數式加以轉化，再結合相關的知識加以解決.

熱點2——函數的性質及其綜合

權威解讀：函數的單調性、奇偶性、周期性是函數的基本性質，分別從不同方面反映函數的屬性.通過感知形和數、定量與定性的和諧統一，在形與數、自變量與函數值的轉換過程中體會化歸思想，培養化歸意識和化歸能力.這幾個函數的基本性質一直是高考中比較常見的考點，可以從函數性質的判定、函數性質的應用、函數的圖像等方面考查，在選擇題或填空題中出現，有時與相關知識交匯，通過綜合與應用的形式出現在解答題中，是每年高考的重點所在.

例2（江西省南昌市2018屆高三第二次模擬考試·9）已知函數設g（x）=k（fx）+x2+x（k為常數），若g（10）=2018，則g（-10）等于（ ）.

A.1998 B.2038 C.-1818 D.-2218

解析：由（fx）的解析式知其是偶函數，

則知g（10）=k（f10）+102+10=2018，

解得k（f10）=1908，

所以g（-10）=k（f-10）+（-10）2-10=k（f10）+100-10=1908+90=1998，

點評：通過分段函數的解析式來判斷其函數的奇偶性是解決本題的關鍵，也是解決此類問題的突破口.利用函數的解析式來正確判斷對應函數的奇偶性、單調性或周期性，往往會為進一步的求解奠定基礎.

熱點3——函數圖像的識別及其變換

權威解讀：從近年的高考來看，試題主要考查函數圖像的辨識，以及利用圖形研究函數的性質、方程的根及不等式的解集，多以選擇題、填空題的形式出現，屬于中低檔難度題.關鍵是要熟練掌握基本初等函數的圖像及其性質，加強函數性質的應用意識，還應熟練掌握圖像變換的法則.

例3已知函數y=f（x）滿足f（x）=f（x+2），當x∈［-1，1］時，f（x）=x2，那么函數y=f（x）的圖像與函數y=|lgx|的圖像的交點共有（ ）.

A.10個 B.9個 C.8個 D.1個

解法1：當x∈（0，1）時，y=|lgx|=-lgx，它是減函數，而函數y=f（x）=x2在（0，1）上是增函數，所以它們的圖像在（0，1）內只有1個交點；

當x∈［1，10］時，y=|lgx|=lgx，它是增函數，而在每個區間［1，3），［3，5），［5，7），［7，9），函數y=f（x）=x2的圖像與函數y=|lgx|的圖像都有2個交點；在區間［9，10）上有1個交點.

當x＞10時，由于y=|lgx|=lgx＞1，函數y=f（x）的圖像與函數y=|lgx|的圖像沒有交點.

所以一共有1+2×4+1=10（個）交點，故選擇答案：A.

解法2：直接畫出兩個函數的圖像，如圖1，結合圖像可看出兩函數圖像的交點有10個.

故選擇答案：A.

圖1

點評：涉及對數函數與其他相關函數的圖像交點問題時，往往可以通過直觀圖形的判斷來處理，有時也可以利用函數的性質來轉化與應用.熟記基本函數圖像以及熟練運用圖像變換往往是解決函數與方程問題的一條捷徑.

熱點4——分段函數的應用及其綜合

權威解讀：分段函數問題一直是高考考查的熱點，縱觀近幾年的高考試卷，分段函數問題的考查逐漸成為重點.對此問題的考查，主要有以下幾種類型：①分段函數的求值問題；②分段函數的單調性問題；③分段函數的值域、最值問題；④分段函數的圖像及其應用；⑤分段函數與其他知識的綜合問題.分段函數主要考查了分類討論、數形結合等思想方法的應用.

例4 （福建省廈門市2018屆高三年級第一學期期末質檢·12）已知函數若（fa）則a的取值范圍是（ ）.

點評：解決分段函數問題的關鍵是針對具體問題，結合參數的不同取值情況加以分類討論.解決有關分段函數的不等式問題通常有兩種方法：（1）利用代數手段，通過對x進行分類討論將不等式轉化為具體的不等式來處理；（2）通過作出分段函數的圖像，利用圖像特點，運用數形結合來求解不等式問題.

歷年高考都對函數內容進行重點考查，其中以考查冪函數、指數函數和對數函數方面的有關內容居多，大體都是從函數的解析式、函數的基本性質等方面入手，與函數的零點、不等式等相關知識加以綜合，這類試題一般出現在小題中，難度屬于較易型或中等型.F