對(duì)一道圓錐曲線題的解法探索與優(yōu)化

☉廣東第二師范學(xué)院番禺附屬中學(xué) 陳凱姬

一、考題回顧

題目（2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)卷第18題）在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C經(jīng)過，圓O的直徑為F1F2.

（1）試求橢圓C和圓O的方程.

（2）假設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.

①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

圖1

二、常規(guī)探索

本題為高中數(shù)學(xué)典型的圓錐曲線題，涉及圓、橢圓和直線三類曲線，無論是求解曲線的方程還是分析曲線中關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，都需要明晰曲線之間的幾何關(guān)系和關(guān)聯(lián)條件，然后以此為基礎(chǔ)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的解題思路.

（1）第一問求解橢圓C和圓O的方程，題干中給出了橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)及兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)橢圓特征參數(shù)的關(guān)系即可實(shí)現(xiàn)求解；而求解圓的方程，只需要確定圓的圓心坐標(biāo)和直徑長即可，其直徑為F1F2，根據(jù)焦點(diǎn)的坐標(biāo)即可獲得.

（2）第二問的核心條件為直線l與圓O的相切點(diǎn)的象限，第①小問進(jìn)一步設(shè)定直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)，常規(guī)方法是直接設(shè)出直線的方程y=kx+b，然后根據(jù)直線與兩類曲線都相切來聯(lián)立方程，由Δ=0作為控制條件來確定直線的參數(shù)k和b的值.

圖2

第②小問設(shè)定直線l與橢圓C有A，B兩個(gè)交點(diǎn)，給出了△OAB的面積，來求解直線l的方程.綜合已知條件可知有三點(diǎn)需要滿足：一是直線l與圓O的切點(diǎn)在第一象限，則需要根據(jù)第一象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征來分析可知xp＞0且yp＞0；二是直線l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)進(jìn)而聯(lián)立兩者方程，整理后根據(jù)Δ＞0得到不等式；三是△OAB的面積為則需要構(gòu)建△OAB的面積模型，然后利用面積公式來轉(zhuǎn)化關(guān)系.

根據(jù)上述分析，假設(shè)直線l的方程為x=my+n，并與橢圓C相交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），考慮到直線l與圓O的切點(diǎn)位于第一象限，則需要滿足m＜0，n＞0，由直線l與圓O相切，則圓心到l的距離應(yīng)為圓的半徑，整理得n2=3（m2+1）.構(gòu)建圖2所示的三角形面積模型，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為D，則OD將△OAB分割為兩部分，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程整理可得（m2+4）y2+2mny+n2-4=0，Δ=4m2n2-由n2=3（m2+1）可解得，所以直線l的方程為

三、解法優(yōu)化

上述無論是第一問求解曲線的方程，還是第二問求解直線的方程，都是從常規(guī)角度出發(fā)，采用基本解法來進(jìn)行解題探索的.但對(duì)于上述常規(guī)問題可以適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化視角或借助一些技巧對(duì)解題過程進(jìn)行優(yōu)化，下面進(jìn)行優(yōu)化探討.

1.第一問的優(yōu)化

2.第二問的優(yōu)化

對(duì)于第①小問，主要條件有兩個(gè)：一是直線l與圓O相切，二是直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此在設(shè)直線l時(shí)可以考慮借助點(diǎn)P的切點(diǎn)性質(zhì)來直接構(gòu)建，后續(xù)只需要將其與橢圓C的方程聯(lián)立即可.

設(shè)直線l與圓O的切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），點(diǎn)P位于第一象限，則x0＞0，y0＞0，且點(diǎn)P位于圓上，則有x02+y02=3，結(jié)合直線的方程有x0x+y0y=3，將其與橢圓的方程聯(lián)立：消去y，整理可得（4x02+y02）x2-24x0x+36-4y02=0，由于l與橢圓C只存在一個(gè)交點(diǎn)，則Δ=48y0（2x02-2）=0，可得x0=，y0=1，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，1）.

而對(duì)于第②小問，點(diǎn)P為直線l與圓的切點(diǎn)，則顯然OP⊥l，對(duì)于△OAB，則可以看作以AB為底，點(diǎn)O為頂點(diǎn)的三角形，則S可由點(diǎn)P的坐標(biāo)求得，而AB可視為橢圓的一條弦，利用弦長公式可求得其長度.設(shè)直線l的方程為y=kx+b，與橢圓C交于A（x1，y1）和B（x2，y2），聯(lián)立兩者的方程，整理可得（4k2+1）x2+8bkx+4b2-4=0，借用韋達(dá)定理和橢圓的弦長公式有，結(jié)合點(diǎn)O到l的距離公式可得，所以直線l的方程為

四、教學(xué)啟示

1.注重結(jié)構(gòu)分析，拆解問題模型

作為高考最為重要的壓軸題，圓錐曲線對(duì)學(xué)生的考查不只是知識(shí)的綜合應(yīng)用，更為重要的一個(gè)功能特征是考查學(xué)生對(duì)問題結(jié)構(gòu)的透視分析，即根據(jù)題干的文字?jǐn)⑹稣w來把握各曲線之間的圖像關(guān)系，然后通過復(fù)雜關(guān)系的逐層剖離來構(gòu)建對(duì)應(yīng)的模型.因此考題教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生讀題構(gòu)形、由形釋題，提升學(xué)生的模型分析和拆解能力，可以通過數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)教學(xué)來強(qiáng)化學(xué)生的分析技巧，使學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)分析的方法.

2.重視解法優(yōu)化，拓展解題思路

高考圓錐曲線題目最為顯著的特點(diǎn)是從不同的思路分析可以獲得不同的解法，同時(shí)對(duì)解題過程細(xì)致斟酌可以獲得相應(yīng)的優(yōu)化方法，如上述考題的常規(guī)解法雖然比較容易理解，但在轉(zhuǎn)化過程中會(huì)存在一定的難度，而適當(dāng)開展解法的優(yōu)化則可以簡化解題步驟，提高解題效率.而對(duì)解題思路的優(yōu)化是建立在對(duì)考題的深度理解和方法積累上，因此教學(xué)中教師要重視考題的方法總結(jié)和策略剖析，使學(xué)生充分理解解法的特點(diǎn)和適用條件，然后適當(dāng)?shù)亻_展變式訓(xùn)練，以幫助學(xué)生積累解題技巧.必要時(shí)可以開展一題多解教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的解法進(jìn)行對(duì)比分析，從中得到最優(yōu)解法，在反思總結(jié)中提升解題能力.