最值誠可貴，探究價更高
——對一道數量積最值問題的探究

☉江蘇省口岸中學 孫 娟

平面向量的數量積問題一直是高考題及各類模擬題中的常見題型與熱門考點之一，其往往涉及平面向量的數量積的求解、最值的確定、參數的求值等問題，且難度中等偏大.從哪些常見的角度切入及如何正確地破解，是處理此類問題的重點所在.

一、問題呈現

例題 已知矩形ABCD的邊長AB=2，AD=4，點P，Q分別在邊BC，CD上，且∠PAQ=的最小值為________.

本題以矩形為問題背景，結合矩形相關邊上已知兩點及相應的角度問題，進而來求解對應的平面向量的數量積的最小值.其中巧妙結合了平面幾何圖形、三角函數、平面向量及函數的最值等，融合了動與靜、變與不變、常數與最值等對立統一體，能夠很好地培養素養，并考查能力.

二、多解探究

解決平面向量的數量積的相關問題時，經常采用坐標法思維，通過建立平面直角坐標系，把問題轉化為坐標運算的問題來處理，再結合相關參數所對應的基本不等式的轉化，一般來說可以簡化推理步驟，優化運算過程，提高解題效益.

解法1：以A為坐標原點，AD，AB所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系.

設P（m，2），Q（4，n），其中0≤m≤4，0≤n≤2，則0≤mn≤8.

解決涉及平面幾何中平面向量的數量積問題時，可以引入對應的角度，利用三角函數的相關知識加以轉化，結合平面向量的數量積公式，再結合三角恒等變換，以及三角函數的圖像與性質來確定相應的最值問題.

三、變式拓展

其實，通過對平面向量的數量積最值問題的求解并深入觀察，根據條件加以拓展，可以進行深化與變式，從中發現問題，提出問題，分析問題，并得以解決問題，真正達到“解一題拓一類，拓一類通一片”，避免“題海戰術”，從而真正培養思維品質，提升解題思維與解題能力，以不變應萬變.

探究1：通過改變題目中相應角的度數來達到變式的目的，可得以下變式.

變式1：已知矩形ABCD的邊長AB=2，AD=4，點P，Q分別在邊BC，CD上，且∠PAQ=的最小值為________.

故填答案：16 2 -16.

探究2：通過改變題目中相應角的條件，將其變為對應線段的長度來達到變式的目的，可得以下變式.

變式2：已知矩形ABCD的邊長AB=2，AD=4，點P，Q分別在邊BC，CD上，且PQ=2，則的最大值為________.

解析：以A為坐標原點，AD，AB所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系.

故填答案：16.

變式3：已知矩形ABCD的邊長AB=2，AD=4，點P，Q分別在邊BC，CD上，且PQ=2，則的取值范圍為________.

解析：以A為坐標原點，AD，AB所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系.

通過從多個不同角度來探究處理，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘出來.從多角度出發，多方面求解，進而深層次拓展，真正體現對數學知識的融會貫通，充分展現知識的交匯與綜合，達到提升能力，拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數學家蘇步青先生所說：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”F