大道至簡
——從浙江省新高考兩道考題說起

☉浙江省杭州高級中學錢江校區 俞 昕

浙江省新高考已經順利實施了兩年，細細品味這兩年的數學卷，我們可以從中得到很多啟示.兩卷中“立體幾何小題”具有共同之處.

2017年第9題：如圖1，已知正四面體D-ABC（所有棱長均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點，AP=PB=2，分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角為α，β，γ，則（ ）.

圖1

A.γ＜α＜β B.α＜γ＜β C.α＜β＜γ D.β＜γ＜α

異曲同工的是2018年第8題：已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點），設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則（ ）.

無獨有偶，筆者所在的高三備課組在二輪復習中通過集體備課開設了一節“立體幾何中角的大小比較”的研討課，下面把這節課與大家作簡要分享，并進行深入的分析與反思.

一、選題緣由

高中立體幾何分為傳統邏輯推理法和空間向量坐標法，目前浙江卷解答題中的立體幾何問題一般都可以運用這兩種方法來解決.在這兩種方法都可以選擇的前提下，根據筆者的教學經驗，大部分學生都會選擇空間向量坐標法，這在一定程度上削弱了學生的邏輯推理能力.因此在教學中我們應該注重培養學生邏輯推理的核心素養，高考的指揮棒也有意識地在往邏輯推理方向傾斜，而這恰好體現在立體幾何小題中，2017年第9題就是一個很好的范例.由此，筆者所在的高三備課組在二輪專題復習中開設“立體幾何中角的大小比較”研討課，強化學生運用空間角的概念對三種空間角進行定性分析，熟悉常規的空間幾何模型.

二、課例簡介

1.能力測評

測評1：如圖2所示，已知正四面體P-ABC，E是PA的中點，F是BC上靠近點B的三等分點，設EF與PA、PB、PC所成角分別為α，β，γ，則（ ）.

A.β＞γ＞α B.γ＞β＞α C.α＞β＞γ D.α＞γ＞β

圖2

圖3

測評2：（2017年第9題）如圖3所示，已知正四面體DABC，P、Q、R分別為AB、BC、CA上的點，AP=PB，分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角為α，β，γ，則（ ）.

A.γ＜α＜β B.α＜γ＜β C.α＜β＜γ D.β＜γ＜α

設計意圖：測評1僅涉及異面直線所成角（簡稱線線角），通過平移將空間角轉化為平面角，在三個三角形中通過簡單估算便可以得到大小關系，答案為D.測評2就是2017年浙江卷第9題，此題僅涉及二面角（簡稱面面角），利用三垂線法作出二面角的平面角，然后在三個直角三角形內通過簡單計算便可得到答案B，底面正三角形如果作圖精確的話，不算也能快速得到答案.可以發現2017年第9題是一個基本概念題，要求理解二面角的概念，同時考查直觀想象與運算等相關素養.此題解法雖多，但轉化為判斷△ABC的中心到△PQR各邊的距離大小，然后通過畫圖觀察較為快捷.通過兩個測評讓學生回顧空間角的概念，體會傳統作角的根本就是將空間角轉化為平面角.

2.基于測評的提升

提升1：如圖4所示，已知三棱錐D-ABC，記二面角C-AB-D的平面角為θ，直線DA與平面ABC所成角為θ1，直線DA與BC所成角為θ2，則（ ）.

圖4

A.θ≥θ1B.θ≤θ1C.θ≥θ2D.θ≤θ2

提升2：如圖5所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為1，點E、O分別在線段BD和BD上11BO，動點F在線段AA上，且滿足AF=λAA11別記二面角F-OB1-E，F-OE-B1，F-EB1-O的平面角為α，β，γ，則（ ）.

圖5

圖6

圖7

設計意圖：提升1其實就是構造“鱉臑”（三節棍型三棱錐），“鱉臑”是一個經典立體幾何圖形，它的四個面都是直角三角形，而此題中所涉及的線線角、線面角和面面角均蘊含在這些直角三角形中，答案是A.如圖6，取B1D1的中點O1，M為F在平面OB1E內的射影，然后將三個二面角的平面角均轉化為圖7所示的平面圖形中，進而比較線段長度即可.答案是D.讓學生深入了解空間角的本質，掌握把空間問題轉化為平面問題來解決的重要思想方法，同時又熟悉“鱉臑”這類經典立體幾何圖形，因為很多立體幾何問題都可以在“鱉臑”中得到解決.

3.目標檢測

圖8

目標檢測1：如圖8所示，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則（ ）.

A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α

目標檢測2：如圖9所示，已知等腰△ABC的底邊BC上一點P滿足CP≤CB，將△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′-AP-B為，記直線C′A，C′B，C′P與平面ABP所成角分別為α，β，γ，則（ ）.

圖9

設計意圖：目標檢測1和2是動態立體幾何問題中典型的翻折問題，空間向量法在解決這樣的問題時就顯得使不上力了，因此充分體現了傳統立體幾何作角的重要性.目標檢測1中只需作AM⊥CD，翻折以后垂直關系沒有變，即A′M⊥CD，所以∠AMA′就是二面角A′-CD-B的平面角α的補角，于是在△AMA′和△ADA′中比較∠AMA′和∠ADA′的大小，進而得到答案B.目標檢測2的關鍵仍然是二面角的平面角的作法，難點是確定點C′在平面ABP內的射影C0的具體位置在哪里.在圖8平面圖中過點C作CQ⊥AP并延長，翻折后形成了平面ABP的一個垂面，則點C′在平面ABP內的射影C0便落在垂面內，如圖9立體圖所示C′C0⊥平面ABP，于是要比較α，β，γ的大小，即比較圖9平面圖中線段C0A，C0B，C0P的大小，答案為C.通過分析，我們發現這兩個動態翻折問題的本質仍然是將空間問題平面化，最后落實到比較線段長度的大小問題上.

三、回首考題

讓我們回首2018年浙江省新高考卷中的立體幾何小題，其同樣蘊含著類似的思想：立體幾何問題盡量轉化為平面幾何問題來處理，通過平面化將角的大小的比較問題轉化為三角形內線段長度的比較問題.

2018年第8題：已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點），設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則（ ）.

不難發現，此題考查基礎概念，對三種空間角進行定性的分析，利用常規模型.如圖10所示的“鱉臑”中的結論：線線角θ1≥線面角θ2，如圖11所示的“鱉臑”中的結論：面面角θ3≥線面角θ2，可得題中有：面面角θ3≥線面角θ2≤線線角θ1，再由圖12知=cosθ3，過點O作AB的平行線MN交直線EF于點G，即得線線角θ1≥面面角θ3.若考生基礎扎實，則無需計算，通過觀察即可得到.如圖13的坐標化處理，就感覺小題大做了.

圖10

圖11

圖12

通過以上的課例和兩年浙江省高考立體幾何小題可以發現，即使是較復雜的問題也能轉化為最本質的問題，用一個詞形容就是“大道至簡”.大道至簡的意思是指大道理（基本原理、方法和規律）是極其簡單的，簡單到一兩句話就能說明白，所謂“真傳一句話，假傳萬卷書”.真正的智慧就是洞察事物的本質和相互之間的關系，本質的東西看起來都很簡單，但本質的來源卻是錯綜復雜的.所以我們教學生學習數學，就是要教會學生運用最本質的東西來解決復雜的問題.做到大道至簡，數學的學習就不再枯燥乏味、苦澀艱難，它將變成一種富含樂趣的探索過程.