核心素養視角下高中數學教學模式的構建與應用*
——以“離散型隨機變量的分布列”單元復習課教學為例

☉廣東省廣州市天河外國語學校 許澤然

☉廣東省華南師范大學附屬中學 林 琪

一、問題提出

2014年12月，教育部召開普通高中課程標準修訂工作啟動會議，在這次會議上，數學核心素養被寫入了課程標準中.在這之后的一段時間里，數學界掀起了研究核心素養的熱潮.在一批大學教授、教育學者的共同努力下，數學核心素養的內涵和構成要素逐步清晰起來.史寧中教授用三會（會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界）來概括數學核心素養的精髓.高中數學課程標準修訂組對數學核心素養的構成進行了詳細的劃分，認為數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六個要素.

根據單元復習課的特點，經過實踐研究，筆者探索了“創設情境—提煉問題—解決問題—交流討論—自主小結”的單元復習課教學模式，以期解決當前單元復習課模式單一、效率較低的問題.

二、“創設情境—提煉問題—解決問題—交流討論—自主小結”教學模式的構建

1.理論基礎

馬云鵬教授等人認為，在新一輪的課堂組織與實施的過程中，在堅持“雙基”的合理內核下，在感悟“數學基本思想”，積累“基本活動經驗”的同時，通過創設恰當的數學情境，將形成和發展數學核心素養作為數學教學的核心要求.

呂世虎教授等人認為，數學核心素養是個體從數學的角度觀察事物，并借助數學知識與思想方法解決數學學習或者現實生活情境中相關問題的綜合能力，以及個體所持有的數學情感態度與價值觀等.它是個體在數學學習過程中形成并獲得的，是數學化地思考和解決實際問題，是進行有效的數學表達與交流起關鍵性支撐作用的數學素養.它不僅表現在對純數學知識與技能的擁有量等顯性方面，還表現在數學化地思考和解決問題時所展現出來的品質、能力及精神風貌等隱性方面.

2.模式構建

在數學核心素養的視角下，構建了“創設情境—提煉問題—解決問題—交流討論—自主小結”的單元復習課教學模式.

（1）創設情境：這里所講的情境有別于一般意義上的“情境引入”，它既可以是現實世界情境，也可以是純數學情境.它在教學設計中起到的是主線的作用，可以引發學生挖掘其中具有數學規律性的事物，從而引出學生記憶中學習過的知識點.

（2）提煉問題：提煉問題可以由教師提出，也可以由學生提出.這需要個體能從數學的視角對數學情境進行數學抽象，并用數學的語言提煉問題.教師必須圍繞教學目標對提煉的問題作出整體的規劃，特別是對學生提煉的問題要有充分的預設，達到利用問題引導學生參與到教育教學中來，以及利用問題推動知識向前發展的目的.

（3）解決問題：這個環節主要是學生利用數學知識與技能對問題進行求解，從而得到結果.這里需要充分調動學生的各種技能，依靠數學抽象過程生成數學抽象核心素養、憑借數學理性思維生成邏輯推理核心素養、利用數學綜合實踐生成數學建模核心素養、通過數學問題解決生成直觀想象核心素養、借助數學算法算理生成數學運算核心素養、依賴數學統計思維生成數據分析核心素養.這是整個課堂中滲透和培養學生數學核心素養的關鍵環節.

（4）交流討論：這里需要改變傳統教學模式中教師一言堂的狀態，教師需要結合核心素養的要求，通過交互式的教學方法讓學生在小組中進行合作學習，提倡學生大膽質疑，提倡生生之間進行的對話，讓學生敢于分享、樂于分享.通過這一過程可以提升學生學習數學的主動性和積極性，對學生數學核心素養的培養具有積極的促進作用.

三、“創設情境—提煉問題—解決問題—交流討論—自主小結”教學模式的應用

1.學習目標

（1）能正確辨別超幾何分布和二項分布，并能利用這兩種分布解決具體問題.

（2）能利用分布列解決生活中的實際問題.

2.教學重點與難點

教學重點：利用分布列解決生活中的實際問題.

教學難點：辨別超幾何分布和二項分布.

3.教學過程

（1）創設情境，引出案例.

師：同學們，我們在必修3學習了統計的基礎知識，我們學習統計的目的是什么呢？

生：服務于生產，服務于生活.

師：是的，統計學已經被廣泛地應用于生產和生活的方方面面.同樣，前面我們學習的分布列在生活中也有著廣泛的應用，下面我們通過一個案例來體會分布列在生活中的應用.

師：今天我們研究的主角就是——面包（PPT展示面包圖片）.

師：小明開了一家面包店，經營效果還行，他想根據現在面包店的情況考慮接下來的運營對策.你能幫助他分析運營情況嗎？

生：首先應該搜集面包店過去的銷售情況，得到一些原始數據.

師：很好，現收集了小明的面包店在過去一個月內（以30天計）的銷售情況，記錄如下：

25 138 180 199 43

111 52 68 211 125

135 35 190 230 128

145 149 105 141 178

160 166 185 56 162

178 78 62 89 244

師：看到這些數據你有什么感覺？

生：數據比較零散，看不出規律.

師：那么我們有必要對數據進行處理，用什么方法呢？

生：可以利用統計圖表，例如頻率分布直方圖等.

師：很好，我繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖1所示.

師：現在我們結合頻率分布直方圖，來幫小明分析面包店的運營情況.

圖1

（2）提煉問題，拾級而上；解決問題，落實素養.

問題1：從這30天日銷售量超過150個面包的天數中抽取出4天，記日銷售面包個數超過200的天數為X，求X的分布列及數學期望.

生1：（板演并講解）由頻率分布直方圖知，日銷售量超過150個的天數為12，其中日銷售面包個數超過200的天數為3，依題意，隨機變量X服從超幾何分布.隨機變量X的可能取值為0，1，2，3.

故X的分布列如表1所示：

表1

師：同學們有不同的看法嗎？有問題想問嗎？

生2：我是用二項分布做的，怎樣判斷隨機變量X服從超幾何分布呢？

生1：從日銷售量超過150個的天數中抽取出4天，是在有限容量中抽取，故可視為超幾何分布.

生3補充：上述抽取是無放回抽取，無放回抽取可視為超幾何分布.

生4：隨機變量X的取值一開始我寫的是0，1，2，3，4.怎樣避免這個錯誤呢？

師：這個問題提得好，隨機變量X的取值是超幾何分

故X的數學期望為：布中一個易錯的點.

生5：日銷售面包個數超過200的天數總共才3天，因此隨機變量X的取值最多取到3，這里很容易受思維定式的影響，大家要克服定式思維.

師：同學們都很積極踴躍地發言，非常好.通過剛才同學們的交流，我們應該把超幾何分布弄清楚了，那么，你的頭腦里還有哪些超幾何分布的例子呢？

生6：一個箱子中，裝有3個紅球和4個黑球，從中取出4個球，求取出的紅球數X的分布列.

生7：在含有5件次品的100件產品中，任取3件，求取出的次品數X的分布列.

師：非常好，生7所舉的例子是課本中的例子，大家要善于從課本中找到題目的原型.無論是問題1，還是摸球問題，或是次品問題，它們有什么共同的特征呢？

生8：問題都涉及了兩個事物.

師：是的，通過進一步概括，我們可以總結出超幾何分布模型的基本結構：

（PPT投影）一個總體（共有N個）內含有兩種不同的事物A（有M個）、事物B（有N-M個），任取n個，記取出事物A的個數為X（隨機變量），求X的分布列.

師：這里要特別注意隨機變量X的取值為0，1，2，…k，k∈min{M，n}.

問題2：將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立.記接下來一周的日銷售量超過150個的天數為Y，預計在接下來的一周里，恰有3天日銷售面包個數超過150個的概率及Y的數學期望.

師：有部分同學沒有求出最終結果，這里要用分數進行運算，小數運算會比較麻煩.

師：隨機變量Y服從二項分布，怎樣判斷隨機變量Y服從二項分布呢？

生10：每天的銷售量相互獨立，故可視為二項分布.

生11：將日銷售量落入各組的頻率視為概率，說明是對無限總體的研究.

師：說得很好，在求Y的數學期望的時候，有些同學想先求Y的分布列，這樣可以嗎？

生（一起）：哇！這樣會很累.

生12：對于服從二項分布的隨機變量，求其期望時，我們可以不求分布列，直接利用公式求解.

師：大家還能舉出一些二項分布的例子嗎？

生13：投擲一枚圖釘4次，求針尖向上的次數X的分布列.

生14：某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8，求這名射手在10次射擊中，擊中目標的次數X的分布列.

師：我們來看看，剛才所舉的例子有什么共同特征呢？

生15：都涉及事件的兩個方面，即事件發生或不發生.

師：是的，進一步概括，我們可以總結出二項分布模型的基本結構：

（PPT投影）在n次獨立重復試驗中，只有事件A和A發生，其中事件A發生的概率為P，記事件A發生的次數為X（隨機變量），求X的分布列.

（3）總結規律，分辨模型.

師：在具體問題中，如何分辨超幾何分布和二項分布呢？

學生討論后小結1：若有“從（有限個中）選取”等字眼，則是對樣本的研究；若采用不放回抽樣，抽取的結果對后面有影響，則有可能為超幾何分布.

學生討論后小結2：若有“頻率視為概率”，則是對無限總體的研究；若有“實驗具有重復性”“有放回抽樣”等字眼，則整個過程為一重復過程；若有“實驗次數多”，雖然對總體抽樣時不放回，但在大量的情況下仍可看作獨立重復，則有可能為二項分布.

師：以上我們總結了兩種分布模型的一些關鍵字眼，是否為超幾何分布或二項分布，還需進一步分析概率事件.

（4）自主小結，加深升華.

師：學完本節課，你有什么體會呢？

生16：我深深體會到，數學來源于生活，分布列在生活中有廣泛的應用.

生17：在具體的問題中，我學會了如何辨別超幾何分布和二項分布，在本節課介紹的若干方法中，樣本與總體的區分是辨別超幾何分布和二項分布的核心.

生18：概率與統計不分家，概率常常與統計結合在一起.

師：同學們的總結非常到位，本節課的一條主線就是對隨機變量的研究.對于隨機變量，一般我們先研究隨機變量的分布列，再研究隨機變量的分布列的類型，進而研究分布列衍生出來的數學期望和方差，以及它們的實際意義.而本節課的另一條暗線則是對統計問題的研究，對于統計問題，一般要經歷收集數據（抽樣）、整理數據（統計圖、表）、分析數據（數字特征）、統計推斷這四個過程.

四、教學反思

1.創設情境，貫徹整個單元復習

本節課是學生在學完分布列后上的一節單元復習課，學生對超幾何分布、二項分布這兩種重要的分布模型往往分辨不清，同時對分布列的一些實際應用還不夠熟練.筆者針對學情，設計了本節單元復習課.本節課從生活中面包店經營狀況的情境出發，教師提煉出了兩個問題，這兩個問題涉及超幾何分布、二項分布的應用，逐步展開、層層深入.最后引導學生自主小結，總結兩種分布模型的特點.在本節課中，面包店的經營狀況就是一條主線，它把這一單元中存在內在聯系的知識貫穿在一起，使之凝聚集中，形成鏈條，學生順藤摸瓜，從一個鏈條上摸索下去就可以獲得對整個單元知識的深刻記憶.

2.單元復習課教學模式各環節的關系

在“創設情境—提煉問題—解決問題—交流討論—自主小結”單元復習課教學模式中，學生的數學雙基是基礎，是形成數學核心素養的載體，問題的提出與解決是核心，學生通過“做數學”“用數學”的實踐活動積累數學活動經驗，加深對數學的理解.另外，在數學課程標準中，把“學會數學交流”作為解決實際問題的重要能力之一.在課堂教學中，教師要創造機會讓學生進行數學的溝通與交流.該模式中，雙基是基礎，情境是主線，問題是核心，交流是路徑，各個環節逐次遞進，構成了一個相互聯系、密不可分的整體.筆者相信該模式的構建與應用，對學生核心素養的培養會起到積極的促進作用.