挖掘題目內涵 提高復習效率

☉江蘇省蘇州市吳中區木瀆金山高級中學 姜 慧

“教師講的多、學生聽的多”，在高中數學課堂教學中已經成為一種極為普遍的現象，因此形成了“教師展示多、學生看的多”的局面，在普遍的教師自問自答的模式下很多學生養成了隨聲附和的習慣，因為教師的直接給出導致學生在教學重、難點的把握上也變得似懂非懂，學生看上去聽懂了，但自主練習時往往很少能正確解題，因此“教師教得苦、學生學得苦”的局面的形成也就不足為怪了.

怎樣令數學課堂成為教師與學生都能開懷的樂園一直是筆者的追求，本文結合一道習題教學來淺談筆者在解題教學中的一點思路.

這是在高三一輪復習中遇到的一個題目，筆者在實際教學中首先將題目進行了展示.

題目 設集合A={x|x2+2x-3＞0}，集合B={x|x2-2ax-1≤0，a＞0}.若A∩B中恰有一個整數，則實數a的取值范圍為______.

筆者給予了學生充分的思考時間并進行了巡視，發現很多學生在思考與探索中得到了以下解題過程：

但學生對后續解題應如何進行不知所措，筆者對這一情況進行了及時的通報并啟發學生對后續解題進行思考與探索.

生1：題目要求的是a的取值范圍，這必然要根據“A∩B中恰有一個整數”這一條件來進行分析，因此應首先求出A∩B，但A∩B并不易求得，因為B中含有字母，因此可以考慮分類討論.

師：求A∩B的關鍵在什么地方？

師：你會比較其中關系嗎？

師：其他同學可否幫忙來判斷這兩者之間的大小關系呢？

師：太棒了，如此我們就能得出（如圖1）.根據條件“A∩B中恰有一個整數”可知該整數必然為2，所以解得

圖1

此時有學生躍躍欲試且表現出十足的把握.

師：說說看.

師：太棒了，真沒想到你居然能夠想到用分子有理化這一思路！

其他學生的情緒與斗志因為生3受到表揚而受到了鼓舞，又有學生發言了.

生4（解法2）：我的解法不一樣，我沒有對B中的不等式進行求解.

師：這個方法可行嗎？你說說看！

生4：令f（x）=x2-2ax-1（a＞0）.設其兩個零點分別為x1和x2，且x1＜0＜x2（x1x2=-1＜0）.

由A={x|x＜-3或x＞1}，若A∩B中恰有一個整數，則該整數只能是-4或2.

（1）如果該整數是-4，這與a＞0矛盾，因此該整數不可能是-4.（2）如果該整數是2，

根據（1）、（2）可知，該整數只能是2.

師：很好！不對B中的不等式求解居然也能求得實數a的取值范圍，這是不是有點令人出乎意料啊？實際上，這一解法是對零點存在性定理的運用，對于大多數同學的思維來說，這是一個全新的視角，那么大家對以上兩種解法有何感想？大家覺得這兩種方法有何優劣呢？

學生的議論聲頓時從教室的各個角落傳來.此時，被大家稱為“數學王子”的學生站了起來，這是一個經常能夠表達獨特思想的優秀生.

生5：我是這么想的，假如將題目中的“A∩B中恰有一個整數”這一條件改成“A∩B中恰有兩個整數”的話，運用解法2來求解實數a的取值范圍可能會復雜得多，應該要用到分類討論.此時若運用解法1來求a的取值范圍，應該會比較好，只要解不等式即可.同理，條件中整數的個數可以擴展為三個、四個…

師：這就是變式和拓展了，非常好，學習數學如果能夠展現出這些變式與拓展的思維就會覺得數學有意思了.

（此時，數學課代表將手舉了起來）

生6（解法3）：解法2應該是可以簡化的.在之前的解法中已經對該整數進行了分析，只能是-4或2.

（1）假如該整數是-4，那么令（fx）=x2-2ax-1（a＞0）.

因為（fx）=x2-2ax-1（a＞0）的對稱軸為x=a＞0且左零點x1應滿足：x1∈（-5，-4］，所以右零點應滿足：x2＞4.

這樣的話，A∩B中就不僅僅只包含一個整數了，至少包含2、3、4這3個整數.

因此，這種情況是不成立的.

（2）假如該整數是2，那么由于x1x2=-1＜0，因此必有正根x2落在［2，3）內，

根據（1）、（2）可知，該整數只能是2.

教師在實際教學中應對習題、例題多加研究，挖掘一些內涵豐富但求解過程不太復雜的題目，引導學生在這些題目的思考、挖掘與探索中進行全方位的研究，使學生能夠在一道題的思考與解決中獲得完整的知識體系的建構，美國著名數學教育家波利亞也曾在這方面提出過相同的觀點.當然，要令學生在解題中有所收獲，教師應首先對試題、習題、例題進行深入的研究，然后在課堂教學中對學生進行充分的激勵和引導，使學生真正成為數學學習的主人并發表不同的見解，使學生的思維之火熊熊燃起，從而與教師共同構筑快樂的數學學習樂園.F