基于教材提升學生數學素養的變式教學*

☉甘肅省渭源縣第一中學 何偉軍

教材中的許多例題都有著豐富的內涵，都是經過教材編寫專家精心挑選的，因此絕大多數教材例題、練習題、習題和復習參考題（簡稱教材“四題”）都具有可變性和可研究性，為此我們開展對教材“四題”的變式研究，進一步夯實學習以及未來發展所必需的“數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”（簡稱“四基”）.基于教材，創設合理的教學情境；基于“最近發展區”，拓展學生的認知，在落實“情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思”的過程中助推學生數學核心素養的培養.

源題（人教A版必修2第127頁）如圖1，已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關系；如果相交，求出它們交點的坐標.

（解答詳見課本第127頁內容，此處略）

圖1

一、條件不變，改變設問方式

通過改變設問方式，實現變式，以檢測學生對所學知識的掌握程度，幫助學生獲得必要的“四基”，從而促進學生的學習.

變式1：求直線l：3x+y-6=0被圓C：x2+y2-2y-4=0截得的弦長.

路徑1：由例題易求得直線l與圓的兩個交點坐標分別是A（2，0），B（1，3），再利用兩點之間的距離公式得

評注：這種基于學生“最近發展區”的解法信手拈來，思路自然流暢，學生易懂，屬于典型的通性通法.

路徑2：采用“設而不求”的方式.將直線方程代入圓C的方程中得x2-3x+2=0，設兩交點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則由根與系數的關系得x1+x2=3，x1x2=2.

評注：“設而不求”是研究直線與圓錐曲線位置關系時常用的技巧，我們無需具體求出直線l與圓的兩個交點，只需應用弦長公式、湊配整體代入即可求解.

評注：利用圓半徑、弦心距、弦長之半構成直角三角形求解，這也是解決有關直線與圓問題的通法.

變式2：設直線l：3x+y-6=0和圓C：x2+y2-2y-4=0相交于A，B兩點，求弦AB的垂直平分線的方程.

解析：將圓C的方程化為x2+（y-1）2=5，圓心為C（0，1），直線l：3x+y-6=0的斜率k=-3，所以弦AB的垂直平分線的斜率為，所以弦AB的垂直平分線的方程為y-1=（x-0），即x-3y+3=0.

評注：根據弦AB的垂直平分線經過圓心，用直線的點斜式方程容易求解.

二、引進參數，增設分類討論

引進參數，適度增加試題的思維量、運算量，問題設置要承上啟下，注重基礎，要具有一定的探究性.

變式3：已知直線l：y=kx+6與圓C：x2+（y-1）2=5.當k為何值時，直線l與圓C相交、相切、相離？

因為Δ=（10k）2-80（1+k2）=20k2-80，所以：

（1）當Δ＞0，即k＜-2或k＞2時，直線l與圓C相交；

（2）當Δ=0，即k=±2時，直線l與圓C相切；

（3）當Δ＜0，即-2＜k＜2時，直線l與圓C相離.

評注：利用代數法，即通過直線與圓的方程組成的方程組的解的個數來判斷，歸根到底是用判別式Δ進行分類討論來作答的，在明晰問題的基礎上，“數學運算”是關鍵，此法也適合直線與圓錐曲線位置關系的判定，故其是解決此類問題的通性通法.

評注：利用幾何法，即由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系進行判斷.

三、互換條件與結論，培養逆向思維

適當改變題目的條件與結論，比如可以將條件與結論互換，探究它們之間的關系，引導學生解答，能有效地提高學生的思維能力和創新能力.

變式4：已知圓C：x2+y2-2y-4=0，直線l過點M且與圓C相交于A，B兩點，|AB|=，求直線l的方程.

解析：將圓C的方程化為x2+（y-1）2=5，其圓心為C（0，1），半徑r=.

評注：采用待定系數法求斜率k，而圓的弦心距（圓心O到直線l的距離）是求解關于k的方程的關鍵.

變式5：已知圓C的圓心在y軸上，且被x軸截得的弦長為4，被直線l：3x+y-6=0截得的弦長為，求圓C的方程.

故所求圓的方程為x2+（y-1）2=5.

評注：求圓的方程的基本方法就是“選形式、定參數、列方程組”，其中運用半徑、弦心距、弦長之半構成的直角三角形來列方程組是思維的核心，正確求解是落腳點.

四、引進對稱，“豐富”設問

以光線反射為代表的很多實際問題，都可以轉化為對稱問題，教師巧妙設問，展示變式新途徑，抓住對稱的本質屬性，從而促進學生思考.

變式6：求與圓C：x2+y2-2y-4=0關于直線l：3x+y-6=0對稱的圓的方程.

解析：將圓C的方程化為x2+（y-1）2=5，圓心為C（0，1）.

所以C′（3，2）.

所以，與圓C關于直線l對稱的圓的方程是（x-3）2+（y-2）2=5.

評注：根據對稱的幾何性質列出關于a，b的方程組是求解的中心環節.

五、引進直線系，變式更精彩

若引進直線系，運用類比、聯想等思維方法，能夠形成新命題，就可以幫助學生克服思維狹窄、短視性思維弊端，并幫助學生提升推陳出新的意識.

變式7：已知直線l：（m+3）x+（1-3m）y+3m-6=0，圓C：x2+（y-1）2=5，問：m為任意實數時，l與C是否相交？若相交，求出相交的弦長的最小值及此時m的值；若不一定相交，則舉出一個反例.

解析：將直線l的方程整理可得（3x+y-6）+m（x-3y+3）=0.

評注：根據方程求出該直線系恒過圓內一定點，理解該定點與圓心的連線垂直于過該點的弦時，其弦長最短是關鍵.用數形結合思想求解更直觀、更容易.

六、改裝題源條件，鏈接高考

在習題教學中分析數學命題的條件與結論，較好地整合、處理教材習題，揭示高考母題題源，尋找命題的內在邏輯和思想方法，有助于提升學生的數學綜合能力.

變式8：已知直線l：y=kx+6.（k∈R）

（1）若圓心在y軸上的圓與直線l相切于點P（2，2），求該圓的方程.

（2）若直線l關于x軸對稱的直線為l′，問：直線l′與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由.

解析：（1）如圖2，設圓心坐標為（0，b），半徑為r，則所求圓C的方程為x2+（y-b）2=r2.由圓C與直線l相切于點P（2，2）知，2=2k+6?k=-2，即圓的切線l的方程為2x+y-6=0.

圖2

（2）因為直線l的方程為y=kx+6，所以直線l′的方程為y=-kx-6.

因為Δ=16k2-4×24=16k2-96，所以當k=±，即Δ=0時，直線l′與拋物線相切；當k≠±時，直線l′與拋物線不相切.

評注：本小題經過變形改造后和2011年福建省高考理科卷第17題極為相似，我們把知識的“生長點”建立在學生認知的“最近發展區”，通過學生自己的思考完成題目的解答，感悟“源于教材，高于教材”不是空穴來風，變式不是無源之水，漫無目的，在解答的過程中用基礎知識做鋪墊，用數學思想方法做統領，用數學語言表達問題.

七、引進極坐標與參數方程，形異質同

以基礎知識為載體，把同一曲線轉化為另一種等價方程，構成新情境，以檢驗學生對多個知識點“串聯”的本領，再啟發誘導學生從不同視角觀察問題、分析問題和解決問題，有力地促進學生創新意識的發展.

變式10：已知曲線C的參數方程為

1（φ為參數），曲線C2的極坐標方程為3ρcosθ+ρsinθ-6=0.

（1）將曲線C1、C2的方程分別化為普通方程和直角坐標方程；

（2）問：曲線C1、C2是否相交？若相交，請求出公共弦長；若不相交，請說明理由.

解析：（1）由得x2+（y-1）2=5，所以曲，線C1的普通方程為x2+（y-1）2=5. 因為3ρcosθ+ρsinθ-6=0，令ρcosθ=x，ρsinθ=y，得3x+y-6=0，所以曲線C2的直角坐標方程為3x+y-6=0.

評注：此題只是將題源中的普通方程以參數方程或極坐標方程進行外“包裝”，要求重新在新情景之中求解原問題，剝取外“包裝”后發現兩題形異質同.