分類討論在初中數學解題中的應用

陳 磊

(江蘇省鎮江市寶堰中學 212125)

一、分類討論的概念

在研究某一問題時，不能用統一的方法進行研究，這時需要采用一個標準，將問題進行分類別研究，得出每一種類別的結果，最后綜合每一種類別的結果給出整個問題的結果，這就是分類討論的思想方法．簡而言之，就是先通過對研究對象進行分類，再分別研究，最后綜合解決問題．

二、分類討論的原則

初中階段采用分類討論應遵循以下原則：

(1)一致性原則：每一次分類的標準必須是一致的．如對三角形進行分類，必須采用一致的標準，按邊分為等腰三角形、不等邊三角形；按角分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．

(2)不重復原則：所有類別之間必須是互斥的．如折線上的動點問題，端點A歸屬于第一種情況，就不能再重復歸屬于第二種情況．

(3)不遺漏原則：分類必須包括所有類別，不出現遺漏．如整數分為正整數、負整數，還有零，零就不能被遺漏．

(4)層次性原則：分類必須逐級進行，不能越級．如實數的分類上，分為有理數和無理數，有理數分為整數和分數，整數分為正整數、零、負整數．層次分明，不同標準的不同層次的分類不能混淆．

三、分類討論的步驟

在解題的過程中，用分類討論思想方法解決初中數學問題時，不僅要遵循上述的四個原則，也要保證在解題過程中的科學、嚴謹、全面，還要依據分類討論的具體步驟操作．

1.分析問題，明確分類對象

一般而言，運用分類討論思想方法解決問題時，要先對問題進行分析，發現問題中有變幻不定的影響因素或者有問題不便于統一處理，確實需要采用分類討論的方法進行解決，并明確將對誰進行分類．

2.回顧知識，尋找分類標準

明確分類對象后，需要回顧和對象有關的知識網絡，找出破壞統一處理的要素或原因，尋找一個標準，能區分所有的情形，能把復雜的不確定的“動態型”問題分解為多個便于具體操作的子問題來解決．

3.分類討論，處理各類情形

有了統一的分類標準，我們就針對該問題進行分類，針對每一類情況，實施該情況內的解題策略，且最后結論也該是這一類情況內.這里，我們也有一個原則，那就是先解決簡單的情況，然后，盡力設法尋找其他情況與該情況的異同點，再各個擊破．如分類不能一次完成，再進行上述重復過程．

4.歸納綜合，揭示總體結論

各種類型的情況研究完并不意味著整個問題的解決，需要將所有情況的結論進行歸納綜合，得出最終結論．

這四個步驟概括的說無非就是一個從確定分類對象、尋找分類標準到分類解決問題，再到綜合歸納總結出結果的過程．

四、分類討論在初中數學解題中的應用

根據以上的分析，筆者以近幾年中考題為例，闡述分類討論在中考解題中的應用．

1.根據概念進行分類討論

2.根據運算進行分類討論

注意m=0的情況，遵循不重復性的原則．最后將結論匯總得出需要解決問題的綜合結論：m=-1或m=3．

3.根據函數性質進行分類討論

例3 若點A(m，n)在直線y=kx(k≠0) 上，當-1≤m≤1時，-1≤n≤1，則這條直線的解析式為____．

分析該題首先要對一次函數圖象與性質有所理解，尋找分類對象，那就是比例系數k，回顧知識點：當k>0時，y隨x的增大而增大；當k>0時，y隨x的增大而減小．對k分兩種情況進行討論研究：① 當k> 0時，m=-1時，n=-1；m=1時，n=1，此時，y=x.② 當k<0時，m=-1時，n=1；m=1時，n=-1，此時，y=-x.最后將結論匯總得出需要解決問題的綜合結論：這條直線的解析式為y=x或y=-x．

4.根據時間進行分類討論

例4 已知：如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=3，動點P從點C出發，沿射線CB方向以每秒2個單位長度的速度運動；同時，動點Q從點O出發，沿x軸正半軸方向以每秒1個單位長度的速度運動．設點P、點Q的運動時間為t(s)．連接CQ，當點P，Q在運動過程中，記△CQP與矩形OABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式．

分類討論思想的應用非常廣泛，涉及到的知識點較多，解決關鍵在于弄清引起分類的原因，明確要分類討論的對象與標準，分不同情況各個擊破，再將各個結論歸納總結，綜合得出最后正確結論，這其實就是一個總—分—總的過程．分類討論思想是一類重要的數學思想，教師一方面引導學生理解其分類精髓，學會運用分類思想解題，另一方面也要不斷培養學生的數學思維能力，對學生學習其它數學思想會產生積極作用．