以一題多解為載體，巧學活學高等數學

馬君兒 李東明

【摘要】在高等數學課程教學中，通過一題多解范例的講解，一方面加深學生對數學學科中相關概念、定理、性質的清晰理解，及應用數學知識的綜合能力。另一方面，培養學生不拘一格的多樣化思維能力，為社會輸送具有較強綜合應用能力的合格畢業生。

【關鍵詞】高等數學? 一題多解? 多樣化思維

高等數學作為本科院校工科類各專業一門重要的基礎課，一方面，使學生系統地獲得數學的基本知識、必要的基礎理論和常用的微積分計算方法，為學生學習后續專業課程打下扎實的理論基礎。另一方面，為了適應高信息化時代的發展要求，通過高等數學課程的系統學習，培養學生比較熟練的運算能力、嚴密的抽象思維能力與邏輯推理能力，創建學生廣開思路、靈活多樣的思維模式，養成不拘一格、善于思考的良好習慣，激發出學生創新求異的動能。因此，教師在高等數學課程的教學實施中，應適時講解一些一題多解的范例，從不同角度出發，運用相應的數學技巧，層層分析透徹，培養學生靈巧的解題方法。使學生更深地理解相關的數學定義與定理，進而提高學生分析問題、解決問題的多樣化思維能力，克服今后在社會工作中用單一性思維考慮問題的弊端。

下面列舉《高等數學》中一題多解的三個例題，內容主要涉及空間解析幾何、多元函數微分學在幾何中的應用、無窮級數等。

在高等數學中，屬一題多解的例題還有很多，如：（一）“證明某方程有實根”的題，既可用連續函數的零點存在定理來證明，也可以通過構造輔助函數，再用微分中值定理：羅爾中值定理來證明。（二）“證明某不等式成立”，既可考慮用函數的單調性，也可將問題轉化為“求函數的極值”來間接證明。當然簡單的不等式，甚至可用逆推法快速證明。（三）“利用定積分，求平面圖形繞坐標軸旋轉一周的旋轉體體積”時，如“求由y=-x（x-2）與x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉一周的旋轉體體積”，既可取y為積分變量，用“切片法”求出兩個旋轉體的體積，再相減，得所求的立體體積。也可取X為積分變量，用“薄殼法”直接求出旋轉體的體積。等等。

總而言之，學生在高等數學的學習過程中，應多動腦筋，舉一反三，常用多種思路、多種方法來訓練自己，那么日積月累，既強化了數學的演算能力與邏輯推理能力，又提高了數學的綜合應用能力，也為今后走向社會培養了良好的創新能力。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系編，高等數學（上、下冊）（第七版）[M]，北京：高等教育出版社，2014.

[2同濟大學數學系編，高等數學習題全解指南（上、下冊）（第六版）[M]，北京：高等教育出版社，2010.

作者簡介：馬君兒（1965-），女，職稱：副教授，主要從事高等數學教學。