構造函數巧解含導數的不等式

安徽省淮北市第一中學 劉冠麟

在平時做題中，我們經常會遇到一些條件為含有導數的不等式的小題，他們形式多樣卻都有異曲同工之妙，如果掌握了這類題目的一般方法，那么這類題目便迎刃而解。以下，筆者將結合例題介紹解此類小題的方法。

一、基本模型

1．系數為單項式

總結：有導函數和原函數之和，常構造積函數的導數；有導函數和原函數之差，常構造商函數的導數。

2．系數為多項式

該類型題目不是很常見，但一旦遇到，便很難找到思路。此處僅列一例，以供參考。

由 ebxxn-1（bx+n）f（x）+xf ′（x）可構造xnebxf（x）。

例3 已知f（x）是定義在R上的可導函數，且滿足（x+2）f（x）+xf ′（x）＞0, 則（ ）。

A.f（x）＞0 B.f（x）＜0 C.f（x）單調遞減 D.f（x）單調遞增

解析：構造f（x）=x·e2x·f（x），則f（x）= e2x·f（x）+x·2e2xf（x）+x·e2x·f ′（x）=e2x[（x+2）f（x）+x·f ′（x）]＞0。因此f（x）在R上單調遞增，故選D。

二、相關技巧

1．換元

有些題目變形較大，一眼看不出適用于哪個模型，這時需適當變形，同時要具備整體意識。如 2f（x）-f′（x）＜ 2?f′（x）-2f（x）+2 ＞ 0?[f（x）-1]′-2[f（x）-1]＞ 0，可構造f（x）=

2．從題目所問得到啟發構造函數

3．變形構造

此處所介紹的方法技巧等只是冰山一角，想要更快更好地解出導數小題，還需要大量的做題和總結。總結出自己的做題“套路”，面對高考導數小題便可胸有成竹。