巧借構造法 妙解數學題
——解析構造法在高中數學解題中的應用

山東省青島市城陽第三高級中學 李朝磊

構造法是一種簡便的解題方法，但其對學生的數學水平及綜合素質要求較高，因此，教學實踐中，教師應結合不同題型講解構造法的具體應用，使學生明晰構造法的應用步驟，把握應用構造法解題的重點與難點，迅速正確解答相關數學題目。

一、構造方程

學生對方程知識較為熟悉，在解答一些數學試題時，通過分析題干條件，構造方程求解可獲得事半功倍的解題效果，因此，教學實踐中，教師應有針對性地對學生加以引導，提高學生應用構造方程解題的意識，培養學生應用構造方程的習慣，促進學生數學解題能力的進一步提高。

例1 已知α+β+γ=π，試證明：

（1）sin2β+sin2γ-2sinβsinγcosα=sin2α；

（2）cos2β+cos2γ+2cosβcosγcosα=sin2α。

分析：該題目已知條件較少，部分學生應用三角函數知識進行變換，雖然能夠得出證明結果，但計算過程煩瑣，出錯率較高，如構造方程，可明顯降低證明復雜度，具體解題過程為：

證明：設x=sin2β+sin2γ-2sinβsinγcosα-sin2α①

y=cos2β+cos2γ+2cosβcosγcosα-sin2α②

① + ② 得：x+y=2+2cosαcos（β+γ）-2sin2α=2（1-sin2α）+2cosαcos（π-α）=2cos2α-2cos2α=0。

同理，② - ①得：y-x=cos2β+cos2γ+2cosαcos（β-γ）=-2cosαcos（β-γ）+2cosαcos（β-γ）=0。

構造方程解答數學題目的技巧性較強，教學實踐中，教師除了講解相關題目外，還應對學生多加訓練，鼓勵學生總結構造方程的適用條件、解題規律，確保構造的方程科學、合理。

二、構造函數

眾所周知，高中數學試題復雜多變，難度相差較大，部分題目無從下手時，可考慮適當的構造函數，利用函數圖形、性質進行求解。實踐表明，構造函數可迅速找到解題突破口，迅速得出正確結果，因此，教學實踐中，教師應注重講解構造函數在解題中的具體應用。

例2 已知關于x的方程x2-（2a+1）sin（cosx）+1-4a2=0有唯一實數解，求實數a的所有取值。

分析：該方程為二次方程，但存在特殊的參數，很多學生面對該題目時不知如何下手。事實上，認真觀察給出的方程，通過構造函數，便可“柳暗花明”。教學實踐中，教師可詳細列出解題過程，要求學生認真思考，感受構造函數法的具體應用，以更好地應用到其他題目解答中。

解：構造函數f（x）=x2-（2a+1）sin（cosx）+1-4a2，

∵f（-x）=f（x），∴f（x）為偶函數。

設x0為f（x）=0的解，則-x0也為f（x）=0的解。

由題干可知f（x）=0有唯一的實數解，即-x0=x0，顯然，x0=0。

通過該例題講解，學生可充分感受到構造函數在解答數學題目中的便捷、巧妙之處，因此，教學實踐中，教師應深入講解函數知識，使學生夯實函數知識，為構造函數法的靈活應用做好鋪墊。

三、構造圖形

解答數學題目時，通過構造相關圖形，將參數間的關系通過圖形直觀地加以呈現，不僅有助于提高解題效率，而且還可加深學生對數學題目的深入理解，因此，教學實踐中，教師應引導學生認真分析題干已知條件，找到已知條件與圖形的契合點，學會運用圖形解答數學試題。

例3 已知a＞0，b＞0，a+b=1，

分析：面對該題目，很多學生不知所措，甚至教師提示使用構造圖形進行證明時，仍找不到解題突破口。因此，解答該題目時，教師做好充分的引導顯得尤為重要，即要求學生認真觀察給出的已知條件以及要證明的結論，找到條件和結論間的聯系。由已知條件可知a+b=1，不難聯想到=2，如此便和結論聯系在了一起。具體解題過程為：

由平方和可以聯想到勾股定理，即構造如右圖的三角形：

構造圖形是數形結合法的具體體現，解答數學題目時，過程簡明、清晰，計算簡單，較傳統方法優勢明顯，因此，解答數學題目時，教師應引導學生學會聯想，構造熟悉的數學圖形輔助解題。

為提高學生的數學解題能力，掌握正確的解題方法尤為關鍵，其中構造法是一種重要的解題方法，在解答高中數學試題中應用普遍，因此，教學實踐中，廣大教師應提高認識，注重構造法知識的講解，尤其是依托具體案例，講解構造法在解題中的具體應用，包括構造方程、構造函數、構造圖形等，使學生掌握構造法的應用技巧，巧妙解答相關數學試題。