解析幾何中巧用圓錐曲線定義解題的探索

江蘇省宜興第一中學(xué) 張郡麟

定義是揭示事物本質(zhì)屬性的思想形式，面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，回顧它的定義，常常是解決問(wèn)題的銳利武器。圓錐曲線的第二定義體現(xiàn)了“形”的統(tǒng)一，第一定義則體現(xiàn)了“質(zhì)”的區(qū)別，兩種定義不僅在解題中應(yīng)用廣泛，而且具有很大的靈活性。第一種定義和第二種定義的靈活轉(zhuǎn)換常常是打開解析幾何問(wèn)題思路的鑰匙，在題目中挖掘這些隱含信息有助于解題。下面我們一起來(lái)看看圓錐“定義”在求解圓錐曲線問(wèn)題中有哪些常規(guī)應(yīng)用。

分析：本題的解題關(guān)鍵在于巧用橢圓的第一定義，首先解出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，然后利用勾股定理求出半焦距c，從而構(gòu)建出橢圓方程。

【例題2】（1）一動(dòng)圓與圓x2+y2=1外切，而與圓x2+y2－6x+8=0內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心軌跡是什么？（2）已知點(diǎn)M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，⊙O與MN相切于點(diǎn)B，過(guò)M，N與⊙O相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的軌跡方程為__________。

解答：（1）已知圓x2+y2=1的圓心為O(0，0)，半徑為r1=1，

圓x2+y2－6x+8=0的圓心為A(3，0)，半徑為r2=1。

設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，半徑為r，則|PO|=1+r，|PA|=r－1，

則有|PO|－|PA|=2＜|OA|=3，所以動(dòng)圓的圓心軌跡為雙曲線的一支。

（2）|PM|－ |PN|=|PA|+|AM|－ |PC|－ |CN|=|MA|－|NC|=|MB|－|NB|=4－ 2=2。

∴P點(diǎn)的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，c=3，a=1，b2=8。

分析：這兩個(gè)小題主要考察的是雙曲線的第一定義，構(gòu)造出兩個(gè)相減后等于一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)點(diǎn)距離，然后注意到與雙曲線定義的不同點(diǎn)，得出所求軌跡只能是雙曲線的一支。

【例題3】設(shè)F1、F2是雙曲線x2－y2=4的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為M，求點(diǎn)M的軌跡方程。

分析：一般情況下，距離之和有什么最值？距離之差有什么最值？現(xiàn)在要求PA+PF的最大值，那我們可以怎么轉(zhuǎn)化呢？首先利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為距離之差，PA+PF=PA+(2a-PF1)，其中F1為橢圓左焦點(diǎn)，然后將PA+(2a-PF1)寫成2a+(PA-PF1)，最后利用數(shù)形結(jié)合法“三點(diǎn)共線”來(lái)確定所求P點(diǎn)即為AF1的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)。

我們?cè)诮庥嘘P(guān)圓錐曲線的問(wèn)題時(shí)，如果題目涉及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、離心率、圓錐曲線上的點(diǎn)這四個(gè)條件中的三個(gè)，我們一般就要聯(lián)想到圓錐曲線定義，有時(shí)甚至只要知道其中的兩個(gè)條件，也可以聯(lián)想到圓錐曲線定義。靈活巧妙地運(yùn)用圓錐曲線的定義，將會(huì)帶給我們意想不到的方便和簡(jiǎn)單。圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ)。因此，對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分，比如橢圓的定義中要求|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，雙曲線的定義中要求||PF1|-|PF2||＜|F1F2|。這樣，在解題過(guò)程中才不會(huì)步入歧途。