直線(xiàn)參數(shù)方程的妙用

楊博翔

摘 要：參數(shù)方程與函數(shù)類(lèi)似，它們都是由一些在指定的集的數(shù)，稱(chēng)為參數(shù)或自變量，決定因變量的結(jié)果。參數(shù)方程可以表現(xiàn)出非常大的靈活性和深刻性，使得直線(xiàn)的參數(shù)方程在某些類(lèi)型的題目的求解過(guò)程中發(fā)揮非常重要的作用。本文將對(duì)一些能夠使用直線(xiàn)的參數(shù)方程的題目進(jìn)行探討，幫助同學(xué)們更加深刻的理解直線(xiàn)參數(shù)方程的作用。

關(guān)鍵詞：直線(xiàn) 參數(shù)方程 解題能力

中圖分類(lèi)號(hào)：G634 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2019）02-0-01

直線(xiàn)的參數(shù)方程在解決某些直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的題目中有著獨(dú)特且不可替代的優(yōu)勢(shì)，用好直線(xiàn)的參數(shù)方程的關(guān)鍵在于深刻理解其幾何意義，能夠理解的話(huà)，可以得到事半功倍的效果。但是現(xiàn)在參數(shù)方程是選修部分的內(nèi)容，數(shù)學(xué)老師們逐漸壓縮了在教學(xué)中分配給參數(shù)方程的時(shí)間，但是參數(shù)方程在解題過(guò)程中的意義是非常重要的，如果能夠熟練應(yīng)用參數(shù)方程，會(huì)在解決數(shù)學(xué)大題上爭(zhēng)取到更多的時(shí)間，還可以拓寬自己思考的方向，所以我認(rèn)為學(xué)好參數(shù)方程是極為必要的。

一、用參數(shù)方程求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離

例1已知點(diǎn)A（2，3）在參數(shù)方程為 （t是參數(shù)）的直線(xiàn)l上，直線(xiàn)2x+y-2=0和直線(xiàn)l相交的點(diǎn)為B，求A到B的距離[1]。

解：第一步，將直線(xiàn)l的方程進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，變形成為 ，將已知的直線(xiàn)2x+y-2=0整體代入第一步化簡(jiǎn)的結(jié)果得t= 。所以AB=

。

有的同學(xué)可能提出了疑問(wèn)，第一步的變形的意義是什么呢？我們需要理解兩種參數(shù)方程形式的不同，即 和 的不同，這兩種都是正確的直線(xiàn)的參數(shù)方程的表達(dá)形式，但是它們的t的幾何意義是不同的的，在使用的時(shí)候如果不加以區(qū)分，那么就會(huì)在解題的過(guò)程中誤用，出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。

第一種形式，設(shè) 是直線(xiàn)l的單位向量，那么 ，設(shè)直線(xiàn)上的一段向量為 ， = 即 ，改變形式可得 ， ，所以參數(shù)t可以表示定點(diǎn)M0到直線(xiàn)上任意點(diǎn)M的距離，當(dāng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交，那么截得的弦長(zhǎng)就是 。

第二種形式，設(shè)方向向量為 ，與第一種形式類(lèi)似我們可以得到 ，即 。 ， 表示定點(diǎn)M0到直線(xiàn)上任意點(diǎn)M的距離，當(dāng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交，那么截得的弦長(zhǎng)就是 。

經(jīng)過(guò)分析，我相信現(xiàn)在同學(xué)們已經(jīng)能夠理解兩種不同形式的直線(xiàn)參數(shù)方程的t的幾何意義的不同了，解題的過(guò)程中一定要小心判斷具體情況，給出正確的答案，若是因?yàn)樽约豪斫馍系牟坏轿唬绞值姆謹(jǐn)?shù)白白飛走，那真的太可惜了。

二、用參數(shù)方程處理最值問(wèn)題

例2過(guò)點(diǎn) 作傾斜角為a的直線(xiàn)與曲線(xiàn) 交于點(diǎn)M、N，求 的最小值及對(duì)應(yīng)的a的值[2]。

解：設(shè)直線(xiàn)方程為 （t為參數(shù)），代入曲線(xiàn)方程，得

，由 ，解得 ，

因?yàn)?，所以 ，那么 = 。

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，其最小值為 。

在極坐標(biāo)和參數(shù)方程類(lèi)的問(wèn)題中，距離問(wèn)題、最值問(wèn)題，都應(yīng)當(dāng)優(yōu)先考慮參數(shù)方程。

三、參數(shù)方程在幾何壓軸題中的妙用

（2014年遼寧理科20題）圓 的切線(xiàn)與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如圖），雙曲線(xiàn) 過(guò)點(diǎn)P且離心率為 [3]。

1.求雙曲線(xiàn)C1的方程；

2.橢圓C2過(guò)點(diǎn)P且與C1有相同的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)C2的右焦點(diǎn)且與C2交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若以線(xiàn)段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，求直線(xiàn)l的方程。

解析：1.雙曲線(xiàn)C1的方程為 且 。設(shè)P點(diǎn)的為 ，則切線(xiàn)的斜率為 ，切線(xiàn)方程為 化簡(jiǎn)得 ，令x=0，則 ，同理 ，切線(xiàn)圍成的三角形面積S= ，當(dāng)且僅當(dāng) 取等號(hào)，此時(shí)P（ ），代入雙曲線(xiàn)方程，又知道離心率為 ，解得 。

2.由1知橢圓C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 和 ，令橢圓C2的方程為 （m>n>0），由已知得 ，解得 ，所以橢圓

的C2的方程為 ；令直線(xiàn)AB的參數(shù)方程為 與橢

圓方程 聯(lián)立得 ，令A(yù)，B

對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為t1，t2則 ， ，又 ，

，由題意可知， =0，即

+ =0，整理可得

+7- =0.將 ，

代入，整理可得 ，

兩邊同時(shí)除以 得 ，解得 或 ，l的方程為 或 。

結(jié)語(yǔ)

直線(xiàn)的參數(shù)方程是考察學(xué)生綜合素質(zhì)的試金石，現(xiàn)在的高中教材中，參數(shù)方程不在必修的內(nèi)容里，但是它的重要性是老師和同學(xué)們都知道的，在直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等問(wèn)題中有著不可替代的優(yōu)勢(shì)，在上文中我們簡(jiǎn)要的描述了參數(shù)方程中的一些重點(diǎn)，對(duì)它的靈活應(yīng)用有了一定的認(rèn)識(shí)。參數(shù)方程在應(yīng)用過(guò)程中減少了巨大的計(jì)算量，在學(xué)習(xí)中我們?nèi)绻懈叩淖非螅敲匆欢ㄒ獙?duì)參數(shù)方程進(jìn)行更加深刻的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，拓寬自己的認(rèn)識(shí)，提升自己的水平。

參考文獻(xiàn)

[1]潘用土.直線(xiàn)參數(shù)方程中t的應(yīng)用與誤用[J].新課程（下），2016，（09）：82.

[2]王新剛.挖掘幾何意義，用好參數(shù)方程[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016，（21）：134.

[3]洪恩鋒，趙雪薇.參數(shù)方程在高考解析幾何壓軸題中的應(yīng)用[J].河北理科教學(xué)研究，2015，（01）：28-29+39.