基于深入解析“錯例”下的數學作業設計

徐晗

摘 要：“圖形與幾何”是小學數學學習領域不可缺少的重要組成部分。聚焦作業，發現小學高段學生在“圖形與幾何”領域存在著一些共性問題。分析原因，根據不同類型的作業提出了有針對性的習題設計策略，從而發展學生的空間，想象力和空間思維能力，提升習題設計的有效性。

關鍵詞：圖形與幾何；習題設計；空間觀念

一、現象與歸因

“圖形與幾何”是數學四個學習領域之一，其核心是要發展學生空間觀念，內容較抽象，僅依靠課堂教學是不夠的。學生要通過觀察、操作、想像、交流、推理等一系列活動，化抽象為具體。二年來，通過對錯題的分析發現學生的錯誤主要是有兩個層面。

（一）知識能力層面

1.概念不清

在將直觀物體抽象成立體圖形的過程中，我們常忽視概念本質的構建，導致部分學生概念不清，沒有真正建立起正方體的概念，只憑借巳有經驗，考慮二維平面上4個小正方形可拼成一個較大的正方形，忽視了立體圖形屬于三維空間。

2.理解不深

在求圓環面積時，公式記憶混亂，誤認為是圓周率乘外圓半徑與內圓半徑的差的平方，或認為兩個數的平方差和差的平方的結果是一樣的。

3.轉化困難

由長方形紙轉化到長方體，在轉化過程中，學生不能將平面圖形中的條件與長方體的長寬高很好地對應起來，所以較多的同學做錯了。

（二）學習習慣層面的

1.思維不嚴謹

部分學生做這題是蒙的。認為題中缺少高，面積無法判斷，也有學生認為如果7厘米和5厘米分別是它的底和高。這些學生在思考時忽視了在拉動平行四邊形的過程中，平行四邊形的一條邊不變，當另一條與它垂直時，另一條邊就成了它的高，此時它的面積是最大的。

2.畫錯草

學生畫錯草圖，把內圓半徑當作了外圓半徑。一個好的草圖是可以幫助理解題意，找出解題關鍵的。

3.忽視隱含條件

根據長方體平面展開圖求長方體體積，轉換中，孩子不清楚長方體的長、寬、高分別對應著平面圖中哪些線段。

4.忽略實際情況

在思維定式影響下學生用以前的經驗：盒子容積除以小正方體體積求出個數。而實際由于長方體長和寬都不是2的整數倍，所以無法放到邊。

5.審題不清

學生沒有仔細審題，題目中要求過點A做直線m的垂線，過點A做直線n的平行線。而學生都做了過點A做直線m、n的垂線。

那么我們如何從學生的作業練習中發展學生空間想象力、訓練學生思維能力？我們通過研究，嘗試改變作業形式，提高學生能力。

二、“圖形與幾何”作業有效設計架構

“圖形與幾何”習題設計要求從注重人的未來發展、個性發展和全面發展角度去考慮，讓學生通過自己的親身體驗感悟，在模擬知識被發現的過程中去探索、去創造，使作業成為學生開發潛能、體現個性和培養能力的場所，要把握以下要領：

三、“圖形與幾何”作業的有效設計

（一）鞏固型作業

常在課堂上教過某種技能和程序后進行。單純模仿和重復練習的題目較多，這種類型的作業一般情況下較乏味，因而教師在設計過程中應多注意練習的靈活性及多樣性，盡可能根據學生的不同請況設計練習。

1.層層遞進，形成序列

數學學習過程是一個循序漸進的過程，如果一開始就做難度較大的題目，有的孩子就會產生畏難情緒。我們根據知識點設計序列題目，有利于孩子更好地理解知識點，建立學習的信心。

組成等腰三角形條件“兩邊之和大于第三邊，且兩條邊是相等的”。據此分析表格中各組的小棒：第一組有兩條邊相等，但不滿足兩邊之和大于第三邊；第四組不滿足有兩條邊相等的條件。

2.變化要素，突出本質

有的知識點學生看似掌握，但一遇到變化就不會解決，我們需要改變關鍵要素，便于學生深入掌握知識，凸顯知識本質。如，四年級畫垂線，可以設計以下練習：

（1）過直線上一點畫已知直線的垂線。

（2）過直線外一點畫已知直線的垂線。

（3）過直線外一點畫已知直線的垂線（點在直線的延長線上）。

（4）過已知點B作角兩邊的垂線（第（1）題的點B在角內，第（2）題的點B在角兩邊的延長線內）。

思考：通過分析明白這個練習的差別在哪里？特別是第（3）題，這個點在直線的延長線上，只需將直線延長即可；而第（4）題就是通過一點分別畫兩條直線的垂線；第（1）（2）題的差別也只是點的位置不同而已。學生通過這些姐妹題，明白了畫垂線的關鍵在于通過哪個點畫哪條直線的垂線，牢牢抓住畫垂線的要領即可。

3.分層設計，拓寬范圍

對于同一知識點，我們可以設計不同層次的題目，每個孩子可以根據自身的情況，選擇合適的題目，體現數學分層學習的需要，使每個人在不同層次上有不同的發展。

思考：這三道題都是正方形與內接或外切圓的位置關系，求組合圖形的面積。三道題由易到難層層深入，學生可以通過對前面題目的解決有所領悟，從而得到啟發，融會貫通，解決后面的題目。

4.相互關聯，聚焦思想

圖形與幾何的學習體現了一些核心的數學思想，我們可以圍繞一個數學思想編寫一系列的題目，幫助學生深刻地理解它。

思考：這5個圖形的空白部分面積看起來完全不一樣，但是學生經過求證以后發現，空白部分的面積都是等于13.76平方厘米。這就引起學生的思考，空白部分的面積為什么會一樣，其中蘊含著怎樣的數學奧秘呢？

（二）探究型作業

1.利用畫圖，解決問題

畫圖是問題解決中常用的一種思考策略，是培養思維能力的有效途徑。心理學研究表明，小學生的思維處于以具體形象思維為主逐漸向抽象思維的過渡期。畫圖可以直觀地把條件和問題呈現出來，有利于發展學生的空間想象力，培養學生的思維能力。如：“圓柱圓錐”的練習課中，我設計了這樣的練習。

一個長為4厘米，寬為3厘米的長方形。分別以長和寬為軸旋轉一周，分別得到了一個什么立體圖形，這個立體圖形的側面積、表面積、體積分別是多少？

思考：通過畫草圖，學生直觀看到以長方形的哪條邊旋轉，旋轉的邊就是圓柱體的高，另一邊為圓柱的底面半徑，把抽象的平面圖形轉化為較為具體的立體圖形，有效地發展了學生的空間觀念，培養學生的思維力。

在“圓錐的體積”的練習課中，我設計了以下題目：

一個直角三角形的兩條直角邊分別為4厘米和3厘米。分別以這個三角形的兩條直角邊為軸旋轉一周，分別得到了一個什么立體圖形，這個立體圖形的體積分別是多少？

2.重視觀察，解決問題

空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體，想象出物體的方位和相互之間的位置關系，描述圖形的運動變化，依據語言的描述畫出圖形等。我們在題目的設計上要有效體現這一點。

下圖中，不能由圖（1）經過一次平移或旋轉得到的是（ ）。

思考：圖形的平移與旋轉不會改變圖形的形狀和各部分相對位置。

3.有效推理，解決問題

推理能力是數學學習需要培養的核心要素之一，我們設計這類題目，讓孩子在觀察、想象、推理中提升孩子的數學能力。

思考：要求每顆玻璃球的體積范圍，可以先求出4顆玻璃球的體積最多是多少以及5顆玻璃球的體積最少是多少。因為杯子里上升部分水的體積就是杯子里放入的玻璃球的體積，根據題意可得4顆玻璃球的最多體積和5顆玻璃球的最少體積應是500-300=200（cm3），進而推測出每顆玻璃球體積的取值范圍。

（三）驗證型作業

猜想與驗證是數學學習的有效手段。通過驗證，既再現了數學結論的形成過程，又讓學生感受到數學知識的嚴謹。

例如：假如給你一根16厘米長的繩子，圍成不同的長方形（邊長為整厘米數），哪一種圍法面積最大。

在通過操作得出“長方形的周長一定，長與寬越接近，長方形的面積越大”后，有的學生推測，“面積一定，長與寬越接近周長越短”；還有的學生推測：“棱長總和一定，長寬高越接近，體積越大”。我就讓孩子進行了驗證活動。

思考：因為課堂上有了對周長一定，長與寬越接近面積越大這一推導過程，很多學生在正遷移的作用下，學會了自己推導。學生對于自己的推導特別感興趣。

（四）操作型作業

新課標指出：有效的數學學習活動，不能單純依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要形式。心理學研究表明：小學生的認識規律由操作把握到圖象到符號把握，即先有感知到表象再到抽象的過程，操作活動是學生認知的基礎。

例如，在初步認識長方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形等平面圖形的基礎上，可以利用學具袋中的七巧板按要求擺一擺：如分別利用2塊、3塊、4塊……七巧板擺出梯形、平行四邊形，并在微信群中展示。這些活動既讓孩子感受到了數學的神奇，激發了孩子的好勝心，同時也讓空間觀念在孩子的心里生根發芽。

四、成效與反思

在通過有效習題的練習后，學生學會了用幾何直觀把復雜問題轉化成簡單問題，不急于給出答案，在觀察、操作、想象、分析等活動中不僅強化了學生對基本概念、物體的幾何特征、計算公式的理解和靈活運用，也培養了學生的空間觀念、空間想象能力和推理能力，同時也提高了學生的學習水平。為此我們特意對實驗班在五年級下學期和六年級下學期進行了“圖形與幾何”的兩次專項測試，并對結果進行了前后對比。

從檢測結果看，實驗班的平均分和標準差都有明顯進步。這說明在實驗班實施有效的作業布置后，“圖形與幾何”方面學生的數學成績有明顯提高。

編輯 魯翠紅