農村初級中學數學習題分層設計策略

摘 要：農村初級中學的學生差異比較大，學困生對于基礎知識的掌握還存在困難，如果給他們一些難的題目，就會打擊其積極性，所以需要設計一些基礎性的數學習題幫助他們打好數學基礎；中等生掌握了數學基礎知識，但是有時不能將數學知識進行遷移，所以他們需要多做些題目，多熟悉一些題型；優等生需要多做一些有挑戰性的題目，拓展他們的知識面，甚至可以用中考真題或改編題。含參數函數是最近幾年數學中考的熱點，學生在解答這些數學習題時經常束手無策，本文以含參數函數為例講解如何進行數學習題分層設計。

關鍵詞：初中數學；習題；分層設計；函數

農村初級中學有的學生學習目標非常明確，希望能考上重點高中繼續學習，而有的學生學習目標不太明確，他們完成家庭作業尚且有困難。為了做到因材施教，教師在命制數學習題時，可以嘗試數學習題分層設計，給每個層次的學生設計的數學習題都符合學生最近發展區的要求，使每個學生經過努力都能解出數學習題。根據農村初級中學的學情，給學困生的數學習題以基礎性數學習題為主，給中等生的數學習題以基礎性+綜合性數學習題為主，給優等生的數學習題以綜合性+拓展性數學習題為主，具體設計如下：

一、 基礎性數學習題設計策略

農村初級中學的學困生大部分或是單親家庭，或是留守學生，或是理解能力差，他們基本上在家里沒有做數學習題的習慣，也沒有人在家里監督或輔導他們做數學習題，他們數學基礎很差，他們中大部分連小學五年級、六年級數學概念和計算都沒有掌握，他們沒有具備獨立解一道數學習題的能力。教師給他們設計基礎性數學習題時要做到：一道數學習題所考查的數學基礎知識不超過兩個，每個數學基礎知識以數學教材母題進行簡單變式；考查層次要求大部分是了解的內容，根據公式可以直接代入，計算量小，解題步驟簡單；每一種題型先設計一題有完整解題過程的例題給他們模仿，讓他們通過重復的機械訓練建立知識之間的聯系，并通過適量的練習建立獨立完成習題的信心。當他們能夠很熟練地完成基礎性數學習題，或者他們的學習動機增強時，可以讓他們做一些比較簡單的綜合性數學習題，提高他們解數學習題的能力，讓他們在每一次數學考試中都能感覺自己數學成績在不斷進步，增強他們學習數學的信心。以下是針對學困生設計的一道習題：

已知點M（0，2）、N（1，0）在y=x2+mx+n的圖象上，以下是我們班小微同學求該函數解析式的過程：

解：∵點M（0，2）、N（1，0）在y=x2+mx+n的圖象上

∴n=21+m+n=0，解得m=-3n=2

∴該函數解析式為y=x2-3x+2

已知點M（0，1）、N（2，0）在y=x2+mx+n的圖象上，你能模仿小薇的解題過程求該函數解析式嗎？

如果在沒有例題的情況下學困生無法單獨解這道題，但他們通過模仿例題的解題過程，只要弄清楚點M、N的橫坐標、縱坐標分別對應的是y=x2+mx+n中的x和y這兩個字母，分別將這兩個點的坐標代入該函數關系式中，就可以得到一個含有參數m、n的二元一次方程組，解這個方程組就可以得到答案，同時也要考慮學困生計算能力比較差，在設計數學習題時計算量要比較小。多設計一些類似的習題，就可以讓學困生對含參數函數哪些是已知數、哪些是未知數多些思考：如果有1個參數，則至少需要列出1個方程；如果有兩個參數，則至少要列出兩個方程。

二、 綜合性數學習題設計策略

農村初級中學的中等生主要有：學習勤奮但理解能力比較差的學生、學習方法不對的學生、理解能力比較好同時比較貪玩經常作業沒做的學生、以前不用功學習造成數學基礎差現在想認真學習的學生。教師在給他們設計綜合性數學習題時要做到：同一道數學習題所考查的數學定理、公式、概念等要兩個或兩個以上；考查層次要求大部分是理解和掌握的內容；題型可以多些變化，難度中等，每個題型命制2-3題比較適合，最好對數學教材母題或中考真題進行變式；培養他們在解數學習題前先復習教材內容，做到解一題數學習題，總結類似數學習題的解法，再做一題該數學題的變式題，復習這種類型數學習題的常規解法；應注意給予中等生更多的幫助，每題數學習題設計三個小題，難度逐漸上升，研究問題方法由特殊到一般，在第（2）小題設計好鋪墊方便中等生解第（3）小題。另外，因為教師個人精力有限，不可能對學生的數學習題都設計得完美無缺，這時教師要充分利用分層的優勢，提倡學生自己設計數學習題，教師指導優等生對課堂數學例題進行變式，讓優等生給中等生命制數學習題，每次優等生命制完數學習題后，讓優等生先自己互相檢查，再交給教師審核，教師審核通過后的數學習題才能給中等生做，中等生做完數學習題后要寫出對數學習題的評價再反饋給優等生，每周分別評選一位優秀命題者和一位優秀習題評價者。不搞題海戰術，例如教師在設計含參數函數習題時，要根據學生對所學含參數函數的理解、掌握程度以及學生能否靈活變通地運用函數相關知識來命制數學習題。以下是教師課堂例題與學生對課堂例題進行變式設計的數學習題：

證明：拋物線y=nx2-2（n-1）x+n-2與x軸總有兩個公共點。

學生對例題變式（1）：已知拋物線y=nx2-2（n-1）x+n與x軸只有一個公共點時，求n的值。

學生對例題變式（2）：已知直線y=x-3經過拋物線y=nx2-2（n-1）x+n的頂點，求n的值。

對于這類習題來說，就不是單純地用函數公式就能解決的，在解題的過程中，需要利用數形結合的數學基本思想。學生解答（1）時，需要了解二次函數y=nx2-2（n-1）x+n的圖象和x軸只有一個公共點時，對應的一元二次方程nx2-2（n-1）x+n=0有實數根，滿足

SymbolDA@ =（-2n+2）2-4n2=0且n≠0；學生解答（2）時，需要根據二次函數的一般式[y=nx2-2（n-1）x+n]，通過用配方法或公式法求出該拋物線的頂點坐標，而這個頂點坐標的橫坐標x，縱坐標y滿足直線解析式y=x-3的關系，所以就可以求出n。從這兩道學生設計的變式題中可以看出，學生在設計綜合性數學習題時，能注意函數知識與其他知識的聯系，做到題型多樣化。

三、 拓展性數學習題設計策略

農村初級中學的優等生是相對于中等生、學困生而言的一個學生群體，他們有“三強”，即上進心強，求知欲強，自學能力也強，這類學生對自己的要求很高，他們希望每次考試數學題目都能解得出來，對自己將來也有比較好的計劃，是希望可以考上重點高中繼續學習的一群人。教師在給他們設計拓展性數學習題時要做到：習題考查的數學基礎知識要盡量多；習題要明確培養他們數學應用能力、數學創新能力，鍛煉他們數學基本思想等；考查層次要求大部分是掌握和運用的內容；教師應本著幫助優等生的原則，以《義務教育數學課程標準（2011版）》和《福建省初中數學學科教學與考試指導意見》為依據，并根據優等生的需要進行知識拓展，選擇近幾年全國各地中考數學真題或對中考數學真題進行改編，從而設計出題量少但質量高且有一定難度的數學習題，從而能讓優等生見多識廣。以下是2018年福建省中考數學試卷（A卷）第25題改編題：

已知點Q（0，-2）在二次函數y=ax2+bx+c圖象上，點A（x1，y1），B（x2，y2）是該函數圖象上任意不同兩點，且滿足：當x1y2；當0

（1） 求b，c的值；

（2） 若圓心是坐標原點O，半徑是2的圓與該函數圖象的另兩個交點是C，D，且∠QCD=60°。

①求該函數的解析式；

②將線段OQ繞點Q旋轉180°到EQ，過點A作AH⊥y軸于H，在AH延長線上截取FH=AH，若O，A，B三點在同一條直線上，求證：點F在直線EB上。

由這道習題可以看到，對于優等生的數學習題設計一定要以幫助他們拓寬視野，發展他們數學思維能力、培養他們創新意識等為主；讓他們在做習題的過程中感悟數學思想、熟悉中考題型、更好地綜合運用所學數學知識為目標，讓學生能在數學考試中取得好成績。

基礎性數學習題、綜合性數學習題、拓展性數學習題是教師根據農村初級中學學生對數學知識的掌握情況進行針對性的設計，關注農村學生個體差異，使他們在解數學習題的過程中，既讓學困生在數學學習中收獲到成功的喜悅，又給中等生和優等生提供了更好提高數學解題能力的機會，使他們各有所需，各有所得，找到各自的價值。

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作者簡介：

張國鑫，福建省福州市，福建省福州市閩清縣文定初級中學。