庫的量子關聯相干輔助系統能量提取的研究*

李海 鄒健 邵彬 陳雨 華臻

1）(山東工商學院信息與電子工程學院,煙臺 264000)

2）(北京理工大學物理學院,北京 100084）

3）(中國科學院理論物理研究所,北京 100190)

4）(貴州師范學院物理與電子科學學院,貴陽 550018）

基于單模微腔與二能級原子系綜(庫)構成的混合動力學模型,探索了非平衡庫中量子關聯相干(quantum correlated coherence,QCC)[Tan K C,et al.2016Phys.Rev.A94,022329])對系統動力學的影響.推導了量子關聯相干庫下系統演化的動力學方程.借助于含QCC的類GHZ庫及其對應的參考庫,清晰地揭示了非平衡庫中QCC扮演著熱力學資源的角色——能夠有效輔助系統從庫中提取更多能量.同時,結合解析與數值模擬方法研究了類GHZ庫的有效溫度和系統與庫間的耦合參數對QCC能量效應的影響.研究發現,QCC對腔場的能量貢獻不僅依賴于庫的有效溫度,而且也和系統與庫間的耦合參數有關.這與二能級原子構成的傳統的熱庫的情況(腔場從熱庫中提取的能量僅僅依賴于庫的有效溫度即二能級原子的熱布局)完全不同.此外,研究發現QCC可視作一類優質的熱力學資源,在特定條件下其對系統的能量貢獻遠大于原子熱布局的貢獻.因此,QCC將是高輸出功率或高效率量子熱機設計中的一類重要燃料.

1 引 言

量子信息科學的快速發展使人們對量子資源,如非定域性、糾纏和量子相干等的物理特性有了更加深入的認識[1].借助于這些量子資源,科學家們可以實現經典物理中不可能完成的一些任務[2].隨著激光技術以及微納米制造工藝的不斷提高,人們正朝著操控越來越小器件的方向發展.同時,這也進一步促進眾多研究者對微小器件中出現的量子效應的關注.尤其是量子相干,其作為核心的物理資源已參與到大多數量子現象之中并得以應用[3].近期,德國物理學家Plenio課題組[4]首次給出了量子相干度量的簡潔的數學描述.這一突破性研究激發了眾多學者對量子相干在量子信息中作為資源的相關理論的進一步探索[5?20].例如,關于量子關聯和量子相干之間的聯系方面,Streltsov課題組[14]和Yao等[15]的研究表明:量子相干能夠產生量子糾纏并可以被視作量子糾纏的源;韓國科學家Tan等[16]提出:量子糾纏可以被認為是一種特殊的量子相干.這種量子相干被稱為量子關聯相干(quantum correlated coherence,QCC),QCC 指的是多體系統的各個子系統之間的量子糾纏或相干.最近,Wang等[17]給出了基于熵的QCC的度量方案,并驗證了量子失諧(discord)和量子糾纏能夠用QCC有效刻畫.

另一方面,量子相干的熱力學特性近年來也引起了廣大學者的興趣[21?43].他們在多種量子系統和模型中對量子相干的熱力學特性進行了探索,包括:量子光學系統如微腔[21?26]、離子陷阱[27]、光學晶格[28]、光力學系統[29,30]和生物系統[31,32]等.從研究角度上看,量子效應的熱力學探索包括兩類:一類是研究熱循環中系統或量子工質攜帶的量子效應的熱力學特性[19,37,44?58];另一類則考察量子非平衡庫中量子效應的熱力學特性,如庫中的熱糾纏[59]、量子相干[22?26]和量子壓縮[60?63].特別地,在量子光學實驗中微腔是為數不多的可以被有效操控的微納器件,它為非平衡庫中量子相干的熱力學效應研究提供了重要的平臺.2003年,物理學家Scully等[22]借助于微腔系統開創性地研究了非平衡相干庫中三能級原子內近簡并能級間相干的熱力學效應.他們揭示了庫中原子的量子相干能夠有效促進微腔系統能量的提取并實現高輸出功率的光子卡諾熱機.受此工作啟發,學者們基于微腔系統對量子相干熱力學特性開展了一系列有趣的研究工作.比如:2012年Liao等[23]利用大量彼此獨立且攜帶量子相干的二能級原子檢驗了原子相干在腔場熱化中的作用;Türkpen?e等[24]探索了多能級相干系統組成的非平衡庫對實現高輸出功率的量子熱機的意義;Dillenschneider等[59]研究了構成庫的原子對中的熱糾纏和量子失諧的能量效應;近期,文獻[25]討論了處于一般X型態下原子對的量子相干和量子關聯對微腔系統做功能力的影響,揭示了影響系統做功能力的較為本質的熱力學源是量子相干而非量子關聯.這些研究使人們對非平衡庫中量子相干或關聯的熱力學特性有了更加深入的認識.

然而,我們注意到:在前面提到的研究中非平衡庫都是由獨立的粒子單元構成(粒子單元指的是每次穿過腔場的單個原子或原子團),庫中的相干或關聯僅僅包含于每個粒子單元之中.為便于描述,我們稱前面這類非平衡庫為“局域相干庫”.在局域相干庫下,由于各粒子單元彼此獨立,腔場在任意時刻的動力學演化僅與進入腔場的粒子單元有關,與腔外的粒子單元無關.這里,一個自然且有趣的問題是:當考慮構成庫的所有粒子單元之間存在量子關聯相干(QCC)時(我們稱這類庫為“量子關聯相干庫”或“QCC庫”.此庫下每次進入腔場的單個粒子單元將攜帶腔外其他粒子單元的信息,腔場任意時刻的演化不僅與進入腔場的粒子單元有關,也與腔外其他粒子單元有關),與局域庫相比系統從庫中提取的能量將會有何變化?QCC是否也能扮演熱力學資源的角色輔助系統提取較多能量?這是本文所關心的核心問題.

為了有效研究QCC的熱力學效應,本文基于微腔系統分別討論了由大量彼此關聯的二能級原子構成的QCC庫和獨立原子構成的局域庫下腔場的動力學過程(如圖1所示).為研究方便,文中考慮了單個二能級原子為粒子單元順次穿腔的情形.借助于具體的庫態—類GHZ態(攜帶QCC)和其對應的參考態(不含QCC),我們清楚地展示了:腔場從類GHZ庫態中提取的能量總大于其從相應參考態的庫中獲得的能量,并表明QCC與局域相干[22?26](單個粒子單元中攜帶的相干)類似,能夠扮演熱力學資源的角色以提高系統的能量.同時,我們也討論了庫的有效溫度以及系統與庫間的耦合參數對QCC的能量效應的影響,并揭示了QCC對腔場的能量貢獻不僅依賴于庫的有效溫度而且與系統和庫間的耦合參數有關.特別是在弱耦合條件下,類GHZ庫中的QCC對腔場的能量貢獻遠大于庫中原子熱布局對腔場的能量貢獻.因此,在特定條件下QCC可視為一種優質的熱力學資源.

圖1 單模微腔與一系列二能級原子組成的原子庫相互作用示意圖 (a)處于QCC庫中的二能級原子順次穿過微腔;(b)庫中無QCC情況下,二能級原子順次穿過微腔Fig.1.Schematic diagram of a single-mode microcavity interacting with a TLA-bath consisting of a series of twolevel atoms:(a) The atoms of bath with QCC passing through the cavity one by one;(b) the atoms of bath without QCC crossing the cavity.

本文主要研究內容如下:第2節簡單回顧了單模微腔系統與一系列隨機穿過腔場的二能級原子相互作用的動力學模型;第3節首先介紹了QCC的特性,然后構造了一類擁有QCC的庫態—類GHZ態及其相應的參考態;第4節給出了非平衡庫下腔場演化的動力學方程;基于系統的動力學方程，我們對類GHZ態中QCC的能量效應進行了研究,并分析了庫的有效溫度以及系統與庫間的耦合參數對QCC的能量效應的影響;第5節對全文進行了總結.

2 腔量子電動力學 (QED)模型

這里,我們考慮由大量完全相同的二能級原子構成的非平衡庫與一單模腔場相互作用QED模型[64?68](如圖1所示).假設庫中原子間無任何相互作用,并讓原子一個接一個隨機地注入腔場.當考慮任意時刻腔內至多保留一個原子,且原子與腔場發生共振耦合即Jaynes-Cummings(JC)耦合時,系統哈密頓可表示為

3 非平衡 QCC 庫

3.1 量子局域相干與QCC

對于一個多粒子系統而言,根據量子相干在其中存儲形式的不同,系統的態可劃分為兩種:局域相干的態和QCC態.這里,局域相干指的是體系中各個子系統之間相互獨立即彼此間無任何的關聯存在,且相干僅僅出現于各個子系統之內;而QCC則是指出現在各個子系統之間的量子關聯或相干[16].為了清晰地對比兩類態的特征,下面給出任意體量子系統的局域相干的態和QCC態,分別記為和,的一般表達形式.根據局域相干的態的特征,可形式地表示為

3.2 類GHZ態和參考態

為了便于分析QCC的熱力學效應,我們構造一類非平衡QCC庫態—類GHZ態及其對應的參考態進行研究.在二能級原子本征基矢構造的非正交基下,類GHZ庫態表示為

根據Wootter關于兩體糾纏的定義[70],原子A和B間的糾纏度可以表示為

從方程(13）可以看出:對于一個確定大小的類GHZ庫或參考庫(庫尺寸固定),其有效溫度僅與參數有關.因此,我們將稱之為溫度參數.當庫尺寸非常大即時,方程(13）可進一步簡化為

4 非平衡庫下的腔場動力學

4.1 局域相干庫下腔場演化

這里,我們將考慮腔場處于N個獨立的二能級原子構成的局域相干庫下的腔場演化.記為庫的密度矩陣并表示為:

上式給出了腔場演化的遞歸形式.根據方程(17）,只要給出腔場的初始態,便可求得任意第個原子穿過腔后腔場的密度矩陣.這里,假設原子隨機穿過腔場,且每次最多只有一個粒子以概率進入腔場(原子未進入腔的概率為).當考慮原子每次穿過腔的時間極短即時,腔場的主方程可表示為

4.2 QCC庫下腔場演化

4.3 類GHZ庫態下QCC的能量效應

這里,我們將基于類GHZ庫態來展示QCC的能量效應,并討論耦合參數以及庫的有效溫度參數對腔場從QCC中提取能量的影響.為簡便起 見 ,記和為 庫 中個 二 能 級 原子(,為庫尺寸即庫中的總的原子數)穿過腔后腔場的能量以及腔場達到穩態時的能量.假設腔場的初始態為真空態.在弱耦合極限下,根據腔場演化主方程(18）和(23）可以分別求得參考庫態和類GHZ庫態下腔場達到穩態時的能量:

圖2 腔場在不同耦合參數 (藍色點線),(紅色點線)和 (黑色點線)下,從不同庫態中提取的能量隨穿腔原子數( )的變化(a)腔場從類GHZ態下QCC中提取能量 隨 的變化;(b)腔場從參考態(熱態)下原子布局中提取的能量 的變化;其他參數取為 ,103;內插圖為 在區間 的圖形Fig.2.The variations of cavity's energy, and,respectively captured from the QCC of GHZ-like state in (a)and the thermal distribution of reference state (thermal state) in (b) with the number of TLAs crossing the cavity ( ),withand for (blue dots), (red dots)and (black dots).In the inset .

圖3 腔場在不同有效溫度參數 (藍色點線),(紅色點線)和 (黑色點線)下,從不同庫態中提取的能量隨穿腔原子數 ( )的變化(a)腔場從類GHZ態下QCC中提取能量 隨的變化;(b)腔場從參考態(熱態)下原子布局中提取的能量 隨 的變化;其他參數取為 ξ =0.3, =200 Fig.3.The variations of cavity's energy, and , respectively captured from the QCC of -like state in (a) and the thermal distribution of reference state (thermal state)in (b)with the number of TLAs crossing the cavity ( )and ξ = 0.3 and for (blue dots), (red dots)and (black dots).

5 結 論

本文基于原子穿腔模型研究了非平衡庫中QCC的熱力學特性,給出了一般量子關聯相干庫下系統演化的動力學方程.借助于類GHZ態及其相應的參考態清晰地展示了非平衡庫中QCC的能量效應,即庫中QCC能夠有效地輔助微腔系統獲取更多的能量.我們所揭示的QCC的這一熱力學特征與近期Francica等[46]的研究結果是一致的(文獻[46]展示了兩體間糾纏能夠輔助系統從中提取更多的功,而我們則展示了多體中的QCC可輔助系統獲取更多的能量).多體系統QCC所展現的這一熱力學特性具有潛在的應用價值.如將傳統的熱庫替換為相應的非平衡QCC庫,來設計高輸出功率或高效率的光量子熱機[22,26,59,61].這可以看作是QCC作為熱力學資源的一個直接應用.再如,隨著激光技術以及微納加工工藝的不斷提高,近年來量子電池[71?74](quantum battery)的設計和制造引起了科學家們極大興趣.最近的研究表明:量子關聯在提高電池充電速度以及電池能量存儲方面扮演了重要的角色[75?76].因此,多體系統中QCC也可視為提高量子電池性能特性的重要資源.此外,本文也討論了庫的有效溫度和耦合參數對QCC能量效應以及系統動力學的影響.揭示了一些有趣的現象:1）庫的有效溫度越高QCC對腔場的能量貢獻越大,這與傳統熱庫下的情況(腔場從熱庫中可提取的能量與熱庫溫度成正比)一致;2）QCC對腔場的能量貢獻與耦合參數有關,且耦合參數越小腔場從QCC中可提取的能量(腔場達到穩態時的能量)越大,這一特征完全不同于傳統熱庫下的情況—腔場從傳統熱庫中可提取的能量獨立于耦合參數,且僅與庫的溫度有關;3）腔場能量的高低與其提取能量的能力存在競爭關系—隨著腔場能量的增加,其從相同原子中可提取的能量逐漸減少;4）非平衡原子庫中QCC對系統能量的貢獻優于原子熱布局的貢獻,特別是在較小的耦合參數下QCC的優勢更加明顯.這展示了QCC可視作一類優質熱力學資源的特性.本研究工作進一步促進了我們對量子相干熱力學特性的理解與認識.未來如何結合信息幾何[77]理論來挖掘多體量子關聯和相干中更加豐富、深刻的熱力學特性是非常有趣并值得研究的課題.

感謝北京理工大學物理學院魏永波博士以及郭麗莎博士的討論.