熱粘彈波在變溫非均勻合金熔體中的傳播*

王汝佳 吳士平 陳偉

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院,哈爾濱 150001）

機(jī)械波在金屬凝固過(guò)程中傳播的定量計(jì)算一直是一個(gè)難題,主要原因就是在這個(gè)過(guò)程中的熔體結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜.本研究考慮到熔體的變溫、非均勻和粘彈性的特點(diǎn),采用Kelvin粘彈性介質(zhì)模型,建立了具有粘熱損失特性的熱粘彈性波動(dòng)方程,通過(guò)隱式有限差分方法對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行求解,并以ZL203A合金熔體為研究對(duì)象,探究了熱粘彈波在變溫非均勻介質(zhì)中的傳播規(guī)律.結(jié)果表明:熱粘彈波從合金熔體的低溫區(qū)向高溫區(qū)傳播時(shí),非均勻的溫度場(chǎng)對(duì)波的傳播有較大影響;相反,當(dāng)波從合金熔體的高溫區(qū)向低溫區(qū)傳播時(shí),非均勻的溫度場(chǎng)對(duì)波的傳播幾乎沒(méi)有影響.熱粘彈波在合金熔體中的衰減系數(shù)隨頻率的增大呈線性增大,而隨溫度的升高先增大后減小,在熔體的枝晶搭接溫度附近達(dá)到最大值.

1 引 言

將機(jī)械振動(dòng)應(yīng)用于合金凝固過(guò)程中能起到細(xì)化晶粒、增加鑄件致密度、除氣除雜、增強(qiáng)補(bǔ)縮等作用[1?6],因此,機(jī)械振動(dòng)在合金凝固領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用和研究.在合金凝固過(guò)程中施加機(jī)械振動(dòng),其實(shí)質(zhì)是周期性的外力在熔體中產(chǎn)生了波動(dòng),波動(dòng)在熔體中傳播并與熔體發(fā)生相互作用,從而產(chǎn)生各種聲效應(yīng)并影響合金的凝固組織和性能[7].因此,研究機(jī)械波在合金熔體中的傳播能夠指導(dǎo)機(jī)械振動(dòng)在合金凝固過(guò)程中的應(yīng)用.由于合金熔體的高溫和不透明等特點(diǎn),實(shí)驗(yàn)研究受到了極大的限制,數(shù)值模擬成為了揭示波在合金熔體中傳播規(guī)律的一個(gè)重要手段[7].其中機(jī)械波在合金凝固過(guò)程中傳播的定量計(jì)算一直是一個(gè)難題,主要原因就是凝固過(guò)程中合金熔體的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜.凝固過(guò)程中的熔體溫度場(chǎng)不均勻,且溫度場(chǎng)在不斷地變化,隨著溫度的變化,熔體中發(fā)生了固液相變.因此,在波的傳播問(wèn)題中,凝固過(guò)程中的合金熔體是一個(gè)典型的變溫變結(jié)構(gòu)的非均勻粘彈性體[8].波在該類介質(zhì)中的傳播問(wèn)題非常復(fù)雜.為了實(shí)現(xiàn)定量計(jì)算,目前的研究都將其進(jìn)行了簡(jiǎn)化:忽略復(fù)雜的微觀結(jié)構(gòu),將具有固液兩相的混合介質(zhì)處理成單一的連續(xù)介質(zhì);將熔體假設(shè)成簡(jiǎn)單的彈性體或牛頓流體;忽略熱力耦合作用造成的熱損失.基于以上簡(jiǎn)化,Kong和Cang[9]采用ANSYS FLUENT軟件模擬了功率超聲在鋼液中產(chǎn)生的聲流效應(yīng);Jiang等[10]利用ANSYS FLUENT中的二次開(kāi)發(fā)功能,模擬了超聲施加在鋁合金半連鑄過(guò)程中的聲-流-熱耦合過(guò)程;Shao等[11]采用COMSOL軟件對(duì)AZ80合金的超聲空化和聲流效應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值模擬.簡(jiǎn)化處理的缺點(diǎn)是只能計(jì)算波在溫度比較高的熔體中的傳播,對(duì)于波在固液兩相區(qū)的半固態(tài)熔體中傳播的計(jì)算偏差較大.

同時(shí),波在傳播過(guò)程中,介質(zhì)會(huì)產(chǎn)生周期性的壓縮和膨脹,壓縮區(qū)溫度升高,膨脹區(qū)溫度降低,導(dǎo)致介質(zhì)中的溫度場(chǎng)分布不均勻,從而產(chǎn)生熱傳導(dǎo),這將導(dǎo)致波的衰減.這個(gè)波是和熱耦合在一起的,若介質(zhì)是彈性的,叫作熱彈波;若介質(zhì)是粘彈性的,那么這個(gè)波就叫作熱粘彈波[12].Nowinski和Boley[13]指出熱力耦合的作用是將施加給物體的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱流,而后消耗掉.因此耦合項(xiàng)造成的能量耗散是不可逆的.Bruno等[14]認(rèn)為,耦合效應(yīng)的物理實(shí)質(zhì)是對(duì)熱彈性波的阻尼.范緒箕和陳國(guó)光[15]指出,耦合作用使應(yīng)變(應(yīng)力、溫度等)在波前的突變迅速衰減,這是熱力耦合波動(dòng)方程中耦合項(xiàng)的重要特征之一.Takeuti和Tanigawa[16]認(rèn)為,對(duì)于金屬材料,耦合項(xiàng)的影響比動(dòng)力項(xiàng)的影響更大.因此在波動(dòng)方程中考慮熱力耦合作用是非常重要的,而目前的大部分波動(dòng)計(jì)算中均未考慮熱力耦合效應(yīng).

針對(duì)以上問(wèn)題,本研究考慮了合金熔體的粘彈性特點(diǎn),將熔體看作Kelvin粘彈性介質(zhì),同時(shí)考慮到熱力耦合作用,在本構(gòu)方程中加入了熱應(yīng)力項(xiàng),并在熱傳導(dǎo)微分方程中加入了熱力耦合項(xiàng),利用動(dòng)量守恒、能量守恒原理建立了熱粘彈波的波動(dòng)方程組.然后采用隱式有限差分法對(duì)一維平面熱粘彈波進(jìn)行了求解,在計(jì)算中考慮了介質(zhì)的變溫和非均勻的特點(diǎn),采用了ZL203A合金熔體的熱力學(xué)參數(shù)作為計(jì)算參數(shù),對(duì)熱粘彈波在變溫非均勻介質(zhì)中的傳播進(jìn)行了數(shù)值模擬研究.

2 熱粘彈波的控制方程

本文基于如下假設(shè)建立熱粘彈波的波動(dòng)方程組.

1）介質(zhì)滿足連續(xù)性假設(shè)條件;

2）介質(zhì)滿足各向同性假設(shè);

3）介質(zhì)發(fā)生的變形為小變形,應(yīng)變和位移梯度滿足線性關(guān)系;

4）熱傳導(dǎo)滿足傅里葉熱傳導(dǎo)定律;

5）非熱力耦合的粘彈性介質(zhì)的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系滿足Kelvin模型.

波在傳播過(guò)程中,由于波動(dòng)的應(yīng)力會(huì)在介質(zhì)中產(chǎn)生形變,同時(shí)對(duì)微元體做功,因此在熱傳導(dǎo)微分方程中應(yīng)該加上應(yīng)力做功項(xiàng).通過(guò)對(duì)熱力學(xué)中的態(tài)函數(shù)分析,認(rèn)為主要由介質(zhì)的體積形變來(lái)產(chǎn)生力與熱的耦合作用[16],因此該應(yīng)力做功項(xiàng)可以簡(jiǎn)化為.當(dāng)介質(zhì)溫度變化時(shí),介質(zhì)若不能自由變形,那么介質(zhì)中將會(huì)產(chǎn)生熱應(yīng)力,這個(gè)力主要是因?yàn)榻橘|(zhì)的不自由壓縮或膨脹引起的,因此在應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)方程中還需要加上由于溫度變化引起的熱應(yīng)力.根據(jù)以上分析,結(jié)合動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律、Kelvin介質(zhì)的熱粘彈性本構(gòu)方程和幾何方程,一維熱粘彈平面波的波動(dòng)方程組可表示為

當(dāng)剪切彈性模量為零時(shí),介質(zhì)中只能產(chǎn)生縱波,此時(shí)方程(1）退變?yōu)榱黧w中的聲波方程;當(dāng)聲粘滯系數(shù)為零時(shí),介質(zhì)中的波不發(fā)生衰減,此時(shí)方程(1）退變成為完全彈性介質(zhì)中的熱彈性波動(dòng)方程.方程(1）的求解難點(diǎn)在于能量守恒方程和本構(gòu)方程中的熱力耦合項(xiàng),它要求對(duì)溫度場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行耦合求解.

3 波動(dòng)方程的數(shù)值求解

對(duì)波動(dòng)方程組(2）在空間方向上采用中心差分,時(shí)間上采用向后差分.差分方程中的計(jì)算參數(shù)都是溫度的函數(shù),因此可以根據(jù)節(jié)點(diǎn)的溫度來(lái)確定節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值.由于在波動(dòng)傳播過(guò)程中,熱力耦合效應(yīng)造成的溫度變化相較于初始溫度非常小,所以本研究忽略熱力耦合效應(yīng)造成的溫差對(duì)計(jì)算參數(shù)的影響,差分方程中所有節(jié)點(diǎn)的計(jì)算參數(shù)值按照初始溫度場(chǎng)的分布給出.

將方程組(5）進(jìn)行整理,并代入初、邊界條件,得到波動(dòng)方程的隱式差分表達(dá)式:

4 熱粘彈波在變溫非均勻介質(zhì)中的傳播規(guī)律

4.1 計(jì)算參數(shù)

本研究以ZL203A合金熔體的熱力學(xué)參數(shù)作為數(shù)值模擬的計(jì)算參數(shù),其中Kelvin介質(zhì)模型中的剪切彈性模量()和剪切粘滯系數(shù)()可以從文獻(xiàn)[17]中獲得,密度()、熱焓()、熱傳導(dǎo)系數(shù)()和熱膨脹系數(shù)()可以從Procast數(shù)據(jù)庫(kù)中獲得.在ZL203A固相線處的泊松比為0.372(來(lái)自于材料性能模擬軟件-Jmatpro),根據(jù)體積彈性模量、剪切彈性模量和泊松比的關(guān)系,知,.由于體積彈性模量隨溫度的變化不大[18],所以在ZL203A合金的固液區(qū)間假設(shè)其為常數(shù).熔體的體積粘滯系數(shù)和剪切粘滯系數(shù)之比近似為常數(shù)[19],根據(jù)Bansal[20]的研究結(jié)果可知,鋁溶液的近似為 1.34,因此可以根據(jù)已知的求得.本研究中所用到的計(jì)算參數(shù)隨溫度的變化關(guān)系如圖1所示.

圖1 數(shù)值模擬中采用的計(jì)算參數(shù)Fig.1.Parameters used in numerical simulation.

4.2 熱粘彈波在不同介質(zhì)模型中的傳播規(guī)律

如前所述,Kelvin粘彈性介質(zhì)模型可以通過(guò)介質(zhì)參數(shù)的變化演變成完全彈性介質(zhì).因此本研究通過(guò)變換參數(shù),考慮波在不同介質(zhì)模型中的傳播規(guī)律.在波動(dòng)方程 (1）中,將粘滯系數(shù)設(shè)為零,該方程組演變成了熱彈性波動(dòng)方程組.由于Kelvin介質(zhì)的相速度和彈性模量、粘滯系數(shù)、頻率滿足關(guān)系(7）[21],當(dāng)波的振動(dòng)頻率不變,介質(zhì)模型退化為完全彈性介質(zhì)模型后,波的傳播速度也將發(fā)生變化,為了保持波速不變,以便于比較,在將粘滯系數(shù)設(shè)置為零后,還需要將彈性模量按照(7）式進(jìn)行修改.

頻率為 20kHz,速度振幅相同的振動(dòng)在 600℃的均勻熔體中的傳播過(guò)程如圖2所示.由于粘滯系數(shù)的存在,Kelvin熱粘彈波的階躍被抹平了,如圖2中的波前所示,彈性波的波前梯度變化比較清晰,而粘彈波的波前被拉得很寬.在相同波長(zhǎng)和相同溫度場(chǎng)條件下,熱粘彈波的衰減非常快,而在完全彈性介質(zhì)中無(wú)衰減.從圖2中還可以看出,熱粘彈波場(chǎng)中的溫度變化比位移超前約.

4.3 熱粘彈波在變溫均勻介質(zhì)中的傳播

頻率為20kHz,速度振幅相同的振動(dòng)在不同溫度的均勻熔體中的傳播過(guò)程如圖3所示.熱粘彈波在高溫介質(zhì)中的波長(zhǎng)小,衰減快,傳播距離短.當(dāng)熔體完全處于液相時(shí),波衰減最快,傳播距離只有 0.1m,而在固液區(qū)傳播距離大于 2m.波在介質(zhì)中的衰減主要有熱損失、粘滯衰減和散射.本文所建立的模型并未考慮介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu),因此在均勻介質(zhì)中不產(chǎn)生散射,這里的衰減主要是粘滯衰減和熱損失.從該結(jié)果可以推斷,超聲在液相中的粘滯衰減和熱損失要大于高溫固相.

4.4 熱粘彈波在變溫非均勻介質(zhì)中的傳播

在變溫非均勻介質(zhì)中波傳播的數(shù)值模擬,需要將各個(gè)節(jié)點(diǎn)的計(jì)算參數(shù)按實(shí)時(shí)的溫度值給出,這個(gè)溫度是在不斷變化的,但由于波的傳播速度較大,引起介質(zhì)的溫度變化也較小,因此可以將變溫介質(zhì)看成是瞬態(tài)恒溫介質(zhì)來(lái)給計(jì)算參數(shù)賦值.介質(zhì)中的一維溫度場(chǎng)為550℃到650℃的線性分布,振源位于550℃的一端.

圖2 熱粘彈波在彈性介質(zhì)和 Kelvin介質(zhì)中的位移和溫差的分布Fig.2.Distribution of displacement and temperature difference of thermoviscoelastic wave in elastic medium and Kelvin medium.

圖3 熱粘彈波在變溫均勻介質(zhì)中的位移和溫差的分布Fig.3.Distribution of displacement and temperature difference of thermoviscoelastic wave in homogeneous medium with variable temperature.

如圖4所示,正弦熱粘彈性波在非均勻介質(zhì)中傳播時(shí),波動(dòng)影響區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)位移都隨時(shí)間成正弦變化,但在空間上,波的振幅隨傳播距離的增加而衰減.當(dāng)介質(zhì)處于壓縮狀態(tài)時(shí),介質(zhì)中的溫度升高;處于拉伸狀態(tài)時(shí),溫度降低.雖然熱粘彈波會(huì)對(duì)溫度場(chǎng)造成影響,但圖4表明,由熱損失和粘滯衰減引起的熔體溫度變化非常小,幾乎可以忽略不計(jì).許多研究表明,熔體中施加超聲后會(huì)對(duì)熔體的溫度場(chǎng)造成非常大的影響,使熔體溫度場(chǎng)變均勻,金屬凝固時(shí)間變短[22].圖4的結(jié)果表明,熔體溫度場(chǎng)的劇烈變化很難由熔體對(duì)超聲的吸收引起.該結(jié)果間接證明了,超聲對(duì)熔體溫度場(chǎng)的改變主要由聲流對(duì)熔體的攪拌作用引起.

圖4 熱粘彈波在非均勻介質(zhì)中的傳播 (a)位移隨時(shí)間和空間的變化；(b)溫差隨時(shí)間和空間的變化Fig.4.Propagation of thermoviscoelastic waves in inhomogeneous medium: (a) Displacement changes with time and space;(b) temperature difference changes with time and space.

圖5 熱粘彈波在不同的均勻溫度場(chǎng)中的位移分布Fig.5.Distribution of displacement of thermoviscoelastic wave in different uniform temperature field.

圖6 熱粘彈波在不同的非均勻溫度場(chǎng)中的位移和溫差的分布 (a)波從低溫區(qū)域向高溫區(qū)域傳播；(b)波從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳播Fig.6.Distribution of displacement and temperature difference of thermoviscoelastic wave in different inhomogeneous temperature field:(a)Propagation from low temperature region to high temperature region;(b)propagation from high temperature region to low temperature region.

不均勻的溫度場(chǎng)對(duì)波動(dòng)會(huì)產(chǎn)生非常大的影響,在如圖5所示的線性溫度場(chǎng)中,熱粘彈波在初始時(shí)傳播速度快,衰減較小.熱粘彈波在非均勻溫度場(chǎng)中傳播相當(dāng)于在層狀介質(zhì)中傳播,每層的波阻抗不同,因此波在遇到界面時(shí)會(huì)發(fā)生折射和反射,在傳播過(guò)程中不斷遇到界面,散射衰減加重,傳播距離縮短.

如圖6所示,當(dāng)波從合金熔體的高溫區(qū)向低溫區(qū)傳播時(shí),非均勻溫度場(chǎng)的分布對(duì)波傳播的規(guī)律有非常大的影響,波入射處的溫度場(chǎng)梯度越小,波的衰減越小,傳播的距離越遠(yuǎn);當(dāng)波從合金熔體的高溫區(qū)向低溫區(qū)傳播時(shí),溫度場(chǎng)的不同分布對(duì)波傳播幾乎沒(méi)有影響.造成此現(xiàn)象的原因和波在不同溫度區(qū)的衰減系數(shù)不同有關(guān).波在高溫區(qū)的衰減系數(shù)比低溫區(qū)大很多,所以在高溫區(qū),溫度場(chǎng)的分布對(duì)波造成的影響不如衰減系數(shù)的影響大,波還未來(lái)得及對(duì)不同分布的溫度場(chǎng)產(chǎn)生響應(yīng),波已經(jīng)完全衰減了,所以不同溫度場(chǎng)下位移和溫差的分布差異較小.

4.5 頻率和溫度對(duì)熱粘彈波衰減的影響

波的衰減系數(shù)如公式(8）所示.

根據(jù)公式(8）,對(duì)波在不同溫度分布的介質(zhì)中的衰減系數(shù)隨頻率的變化關(guān)系進(jìn)行了統(tǒng)計(jì).如圖7所示,不論是均勻溫度場(chǎng)還是非均勻溫度場(chǎng),熱粘彈波的衰減系數(shù)都隨頻率的增大而增大,而且都和頻率成線性關(guān)系.衰減最大的是在非均勻高溫區(qū)中傳播的波,衰減最小的是在均勻低溫區(qū)中傳播的波.隨著熱粘彈波頻率的增大,熱粘彈波在熔體中的衰減愈嚴(yán)重,傳播距離愈短.由于本研究中的衰減包括粘滯衰減,這是一個(gè)不可逆的熱力學(xué)過(guò)程,頻率越高,在相同的時(shí)間里內(nèi)摩擦的次數(shù)越多,因此消耗的機(jī)械能越多,表現(xiàn)為衰減越快.

圖7 不同溫度場(chǎng)下熱粘彈波的衰減系數(shù)與頻率的關(guān)系Fig.7.Relationship between attenuation coefficient and frequency of thermoviscoelastic wave in different temperature fields.

如圖8所示,熱粘彈波在金屬熔體中的衰減系數(shù)隨溫度升高而先增大后減小,衰減轉(zhuǎn)折點(diǎn)發(fā)生在ZL203A合金的枝晶搭接溫度處.Lavender[23]測(cè)量了超聲在0.47%碳鋼的固相區(qū)、兩相區(qū)、液相區(qū)中的衰減系數(shù),也發(fā)現(xiàn)了在固液區(qū)間隨著溫度的升高,超聲衰減先增大后減小的現(xiàn)象,但他并未對(duì)此現(xiàn)象作出解釋.通過(guò)Al-4.5%Cu的流變實(shí)驗(yàn),我們可以確定ZL203A的枝晶搭接溫度在635℃(固相線 530℃,液相線 640℃)附近[24],由于本計(jì)算的 液 相 線 取 為 650℃,所 以 640℃ 約 是ZL203A合金的枝晶搭接溫度.從圖8的結(jié)果我們可以推斷,當(dāng)合金熔體從高溫液相開(kāi)始凝固時(shí),由于粘度的降低,超聲的粘滯損失增大,超聲衰減加劇[25].當(dāng)熔體中出現(xiàn)固相時(shí),隨著溫度的降低,粘度增加的速度加快,衰減也快速增加,此時(shí)的固相顆粒完全分散于金屬液中,還不能抵抗剪切應(yīng)力,相當(dāng)于粘度非常大的流體.當(dāng)枝晶搭接到一起時(shí),形成了多孔介質(zhì),液相被搭接的枝晶分割開(kāi),形成不連續(xù)的流體.這時(shí)的熔體能夠承受一定的剪切應(yīng)力,表現(xiàn)出彈性的性質(zhì),溫度越低,固相越多,彈性性質(zhì)越明顯,而超聲波在彈性介質(zhì)中無(wú)衰減,所以超聲的衰減系數(shù)又隨溫度的降低而減小.綜上,超聲在合金熔體中衰減系數(shù)最大時(shí)的溫度是合金的枝晶搭接溫度.利用該結(jié)論,我們可以采用測(cè)量超聲衰減的方法來(lái)確定枝晶搭接溫度,進(jìn)一步指導(dǎo)超聲熔體處理工藝的改進(jìn).

圖8 不同頻率下熱粘彈波的衰減系數(shù)與溫度的關(guān)系Fig.8.Relationship between attenuation coefficient of thermoviscoelastic wave and temperature in different frequency.

5 結(jié) 論

本研究通過(guò)Kelvin粘彈性介質(zhì)模型的熱力耦合波動(dòng)方程,采用隱式有限差分方法對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行求解,探究了熱粘彈波在變溫非均勻合金熔體中的傳播規(guī)律.以ZL203A合金熔體為研究對(duì)象,通過(guò)對(duì)相同波長(zhǎng)的波在彈性介質(zhì)和粘彈性介質(zhì)中傳播規(guī)律的對(duì)比,發(fā)現(xiàn)熱粘彈波的衰減特別快,而熱彈波無(wú)衰減;熱粘彈波的階躍會(huì)在傳播過(guò)程中迅速被抹平變得光滑,而熱彈波的階躍比較明顯.通過(guò)熱粘彈波在不同溫度均勻介質(zhì)中的傳播對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn),熱粘彈波在高溫金屬熔體中的波長(zhǎng)較小,衰減較嚴(yán)重,傳播距離短.通過(guò)對(duì)熱粘彈波在具有不同溫度分布的非均勻介質(zhì)中的傳播對(duì)比,發(fā)現(xiàn):熱粘彈波在非均勻介質(zhì)中傳播相當(dāng)于在阻抗不同的層狀介質(zhì)中傳播,相較于在均勻介質(zhì)中的傳播,其衰減更快;熱粘彈波從合金熔體的低溫區(qū)向高溫區(qū)傳播時(shí),非均勻溫度場(chǎng)的分布對(duì)波的傳播有較大影響,波入射處的溫度場(chǎng)梯度越小,波的衰減越小,傳播的距離越遠(yuǎn);當(dāng)波從高溫區(qū)向低溫區(qū)傳播時(shí),非均勻溫度場(chǎng)的分布對(duì)波傳播幾乎沒(méi)有影響.計(jì)算不同頻率的熱粘彈波在不同溫度的均勻介質(zhì)中的衰減系數(shù),結(jié)果表明,熱粘彈波在金屬熔體中的衰減系數(shù)隨頻率的增大呈線性增大,而隨溫度的升高先增大后減小,衰減系數(shù)最大時(shí)的溫度是枝晶搭接溫度.