用光晶格模擬狄拉克、外爾和麥克斯韋方程*

朱燕清 張丹偉 朱詩亮 2）?

1）(南京大學物理學院,固體微結構國家實驗室,南京 210093）

2）(華南師范大學物理與電信工程學院,廣東省量子調控工程與材料重點實驗室,廣州 510006）

相對論性量子力學波動方程,如狄拉克、外爾和麥克斯韋方程,是描述微觀粒子運動的基石.最近的實驗和理論研究表明,冷原子系統中幾乎所有參數都可精確調控,因此冷原子系統被認為是實現量子模擬的理想平臺,可以用來研究高能和凝聚態物理中的一些基本問題.本文介紹了設計原子光晶格哈密頓量的思路和方法,主要涉及激光輔助跳躍的理論.基于這些方法,物理學界提出了利用光晶格體系模擬相對論性量子力學波動方程,包括狄拉克、外爾和麥克斯韋方程等,并且預言了一些在基本粒子物理中很難觀察到,但在冷原子體系可能觀察到的物理現象.本文綜述了國際上此領域的研究進展.

1 引 言

自上個世紀80年代以來,伴隨著超冷原子系統中實驗技術的日臻成熟,例如超冷原子氣體制備[1?5]、原子間相互作用的調控[6]、光晶格[7]和人工規范場的產生[8?10]等,科學家對于冷原子系統的操控已取得令人矚目的成就.最近的理論和實驗研究都證明,超冷原子體系可用于模擬和研究凝聚態和高能物理中的一些重要模型[11],特別是可以模擬一些很難實驗實現的模型或理論上很難處理的體系或物理現象,例如量子相變、高溫超導、量子磁阻挫、極端條件下的相對論性粒子等.冷原子量子模擬的突出優點是,絕大部分相關的物理參數在實驗上都能夠精確調控,從而可以人為設計和實現所需要的哈密頓量.

另一方面,相對論性量子力學波動方程,如狄拉克、外爾和麥克斯韋方程,是描述微觀相對論性粒子運動的基石.并且有些很早就預言的現象,如薛定鄂預言的狄拉克粒子的Zitterbewegung振蕩等,一直沒有在基本粒子中觀察到.如何在冷原子體系中模擬這些相對論性波動方程,并且觀察到之前不能觀察的極端條件的物理現象,正成為冷原子量子模擬的一個重要研究方向.相對論性波動方程中,哈密頓量是動量的一次方,而描寫冷原子的原始哈密頓量一般是動量的二次方.如何消除動量的二次方,突出一次方的效應,是此類量子模擬的關鍵.在現有的理論中,有兩種方式可以做到此點:1）基于誘導規范勢的方法,利用激光對有內部能級結構的原子產生幾何相位,可以實現自旋相關的等效規范勢,從而可實現類似的哈密頓量,其中為原子的動能項.在超冷原子中,原子動量可以很小,上述哈密頓量中,在某些情況下第一項遠小于第二項,從而得到相對論性方程需要的線性色散關系[12].2）由于晶格中的某些對稱性,在動量空間中,一些點附近是線性色散關系,從而描寫具有這些準動量的粒子需要相對論性方程.類比凝聚態系統中電子在固體周期勢場和外加電磁場中的運動[13],將冷原子放置在由激光形成的光晶格中,輔以適當的激光調制以實現人工規范場,如激光輔助跳躍[14,15]、周期調制光晶格[16]等技術,可以實現有線性色散關系的格點哈密頓量.這兩個方式都可以用于模擬相對論性粒子及其物理效應.本文著重介紹利用光晶格體系實現相對論性量子力學波動方程的研究.該量子模擬的關鍵在于設計合適的光晶格和激光調制,使得超冷原子在能帶中某些特定點附近的低能激發滿足相應的相對論波動方程.本文首先概述激光輔助跳躍和光晶格緊束縛哈密頓量的基本理論,然后分別介紹在光晶格系統中實現狄拉克、外爾和麥克斯韋方程的幾個具體方案,最后是總結和展望.

2 原子哈密頓量的設計

2.1 激光輔助跳躍

激光輔助跳躍的基本思路是:首先抑制原子在近鄰格點的自然跳躍(如光晶格勢阱較深或近鄰格點的能量差較大),然后通過外加拉曼激光耦合近鄰格點中的原子來恢復和調控原子跳躍,進而產生等效規范勢和自旋軌道耦合[8,9].這里主要介紹文獻[15]中利用激光輔助跳躍產生規范勢的方案.如圖1所示,為實現自旋依賴的光晶格,可考慮在方向施加波長處于“反魔數”(“anti-magic”)波段的駐波場,同時在方向施加處于“魔數”波段的駐波,處在兩個不同內態和的原子在平面內感受到的光晶格勢為

圖1 基于激光輔助跳躍實現人工磁場,黑 (灰)色圓分別表示內態為 的Yb原子(a)內態被標記為 和 的原子被囚禁在自旋依賴的光晶格勢 和 中,其中 ;(b) 方向上的激光輔助躍遷;(c) 自旋依賴光晶格示意圖. 方向存在自然跳躍, 方向由一束拉曼光 誘導跳躍Fig.1.Realization of artificial magnetic field based on laser-assisted tunneling.Gray and black dots represent the Yb atoms correspond to internal states and ,respectively:(a)The atoms and are trapped in the state-dependent optical lattice potentials and ,where ;(b)laser-assisted tunneling along direction;(c)sketch of state-dependent optical lattice.Nature tunneling occurs along the direction,and the tunneling along direction is induced by a Raman beam .

2.2 緊束縛哈密頓量

當晶格勢阱足夠深,描述光晶格中粒子的有效模型是緊束縛近似下的格點哈密頓量.此時囚禁在勢阱中的原子可由局域的瓦尼爾函數描述.假設光晶格中原子一直處于布洛赫能帶的最低帶上,則原子哈密頓量(1）式的二次量子化形式為

3 六角光晶格和交錯磁通光晶格中狄拉克方程的實現

1928年,英國物理學家狄拉克提出了著名的狄拉克方程,即描述自旋粒子的相對論波動方程,其形式為

這里首先回顧一下由Zhu等[18]最早在二維蜂巢光晶格中模擬狄拉克方程的理論方案.考慮將單分量費米原子(如，等)囚禁在蜂巢光晶格中,該晶格可由三束駐波激光照射原子團形成,其勢場為

Zhang等[19]提出另一個實現狄拉克方程的理論方案:在自旋依賴的正方光晶格中,通過兩束拉曼光耦合兩分量的費米原子,以形成一個交錯磁通的晶格,此時系統的有效哈密頓量也是二維狄拉克哈密頓量.考慮處于自旋依賴呈棋盤狀的正方晶格中的二分量費米氣,如圖2(a)所示.該晶格在實驗上可通過疊加存在偏振夾角的兩束線偏振激光產生,其中兩個子格(A和B)間的距離以及勢阱的深度都可通過調節激光的強度和夾角大小很好

圖2 (a)交錯磁通光晶格;(b)雙光子拉曼過程;(c)等效磁通Fig.2.(a) Staggered flux optical lattice;(b) two-photon Raman process;(c)effective flux.

2012年,蘇黎世聯邦理工學院的Tarruell等[26]報道了在蜂巢光晶格中使用超冷原子實現具有可調節性質的狄拉克點的實驗,他們利用三束回歸反射的激光作用在原子團上,通過調節激光間的相對強度實現了與蜂巢晶格拓撲等價的磚墻晶格.狄拉克費米子的探測則通過測量狄拉克點附近的能帶色散來實現,能帶結構可以通過布洛赫-朗道-齊納震蕩的技術[26?28]進行探測.實驗中通過改變激光之間的失諧量,可在子格間產生能量差并導致在狄拉克點打開能隙,而從最低能帶隧穿到上一能帶的概率隨著的變化而改變.當時,即能隙在狄拉克點閉合,隧穿的概率最大,對應上能帶的原子布局數最大.隨著從0開始變大,對應的隧穿率變小,標志著系統從存在無質量狄拉克粒子到有質量狄拉克粒子的過程.此外,當時,布里淵區中狄拉克點的位置以及相關線性色散的斜率可通過調節激光強度來改變.如文獻[18]所述,調節激光間的相對強度,可使得布里淵區中兩個拓撲不等價的狄拉克點位置發生移動,當這兩個狄拉克點在布里淵區的角落相遇時會相互融合然后湮滅,能隙打開.依據這一原理,就可將發生拓撲相變的臨界線描繪出來.而對于狄拉克點對應非零的貝里相,則可以通過原子干涉儀進行探測[29].

三維的狄拉克方程所需的狄拉克矩陣為四個,故不再是泡利矩陣,而是的矩陣,此時的狄拉克哈密頓量在外爾表象下寫作

4 三維光晶格中外爾方程的實現

無質量的狄拉克方程(8）式在外爾表象下可寫成

冷原子光晶格系統中實現外爾半金屬的理論方案已有許多,如在二維光晶格中引入自旋軌道耦合,再加一個人工維度可以實現外爾半金屬[36];通過在兩個人工維度中堆垛一維雙勢阱晶格的拓撲相,或者是直接將二維的具有交錯磁通棋盤結構或蜂巢光晶格堆垛成三維的晶格[37?40],都可以實現外爾半金屬[37].在這些方案中,自旋自由度可選擇用兩個原子內態或者兩個子格子,對應所需要實現的跳躍項需用到人工自旋軌道耦合和人工磁場.文獻[41]給出了通過堆垛Hofstadter-Harper系統成為一個立方晶格以實現拓撲外爾半金屬相的方案.圖3中展示的是沿和方向存在激光輔助跳躍的三維晶格示意圖.為實現這樣的跳躍,應先通過在每個格點引入足夠大線性傾斜以抑制這兩個方斜可以通過在方向引入線性的勢場(如重力場、磁場等)產生.正如在2.1節中介紹的方法,引入兩束遠失諧頻率和動量分別相差和的拉曼光可重新誘導這兩個方向發生共振跳躍[15,16].該三維晶格對應的有效哈密頓量為

圖3 實現外爾半金屬的三維立方晶格示意圖.合理設計 和 方向跳躍,在動量空間會出現外爾點.虛線和實線分別表示獲得相位 和0[41]Fig.3.Schematic diagram of a three-dimensional cubic lattice of a Weyl semimetal.The Weyl points will be created in the momentum space if the tunneling alongand directions are well-designed.The dashed and solid lines indicate the phase and0,respectively.

除了使用與測量二維狄拉克點類似的方法可以探測三維的外爾點之外,另一種觀測外爾點的方法是布拉格光譜法:采用額外的一對拉曼光耦合外爾哈密頓量,將下能帶的原子激發至上能帶用以探測能帶結構.該方案將揭示具有非常高分辨率的外爾點的存在,因為它不會改變內部原子態,因此對塞曼位移并不敏感.獲得外爾半金屬相后,可進一步研究其獨特的拓撲表面態,即連接兩個手性相反的外爾點的費米弧.外加與一對手性相反的外爾點平行的人工電磁場,系統因手征反常將會出現負磁阻效應,其對應的輸運性質也是一個熱門的研究課題[39].此外,在標準的線性色散的外爾哈密頓量上增加某一方向的線性項,可獲得第二類的外爾點,在費米能級附近的激發同時包含電子和空穴型的激發[42?44].文獻[42]中提出的方案可實現一類和二類的外爾半金屬以及兩者間的Lifshitz型拓撲相變.

5 光晶格中麥克斯韋方程的實現

介質中無源無流的麥克斯韋方程可寫為

下面簡要介紹文獻[45]中的第一種方案.首先考慮實現的二維晶格哈密頓量為

該模型同樣可以推廣到三維,此時哈密頓量為

6 總結與展望

本文介紹了利用光晶格實現相對論性量子力學波動方程的幾個具體方案,并討論了相應的獨特性質和所用到的相關測量方法.這套方法和思路可以用于實現和研究更高自旋的相對論性波動方程[47,48],以及最近引起廣泛研究興趣的可用于拓撲量子計算的阿貝爾或非阿貝爾任意子,如馬約納拉(Majorana)費米子、斐波納吉(Fibonacci)任意子、仲費米子 (parafermions)等[49?53].此外,贗自旋1的拓撲麥克斯韋費米子有非常豐富的物理性質,值得更進一步研究.類似于狄拉克和外爾費米子,可以討論麥克斯韋粒子的克萊因隧穿效應[54,55]和 Zitterbewegung振蕩[56]動力學,以及非常規的輸運特性[57]等.例如,在狄拉克和外爾費米子的Zitterbewegung效應中存在一個振蕩頻率,但在麥克斯韋費米子的Zitterbewegung振蕩中有兩種不同的振蕩頻率[58].此外可將二維模型推廣到時間反演的體系,用于模擬光的量子自旋霍爾效應[59].光晶格中的超冷原子因具有高度可控性[60],目前已經成為了模擬凝聚態系統的一個強有力的工具和平臺,并且已經取得了一些值得慶賀的成績,如 Su-Schrieffer-Heeger[61],Bose-Hubbard[62,63],Haldane[64],Hofstadter-Harper[24,25,65]模 型 等 ,這些模型在凝聚態系統中難以實現,但已經在冷原子光晶格系統中被實驗實現[11].未來,冷原子光晶格系統將繼續用于模擬和研究量子多體系統、拓撲量子物質、高能、天體、甚至是量子信息等領域的問題[66,67].由于具有獨特而有趣的物理性質,超冷原子物理必將在各個領域的研究和實現上大放異彩.