光晶格中超冷原子系統的磁激發*

趙興東 張瑩瑩 劉伍明

1）(河南師范大學物理與材料科學學院,新鄉 453007）

2）(中國科學院物理研究所,北京凝聚態物理國家研究中心,北京 100190)

囚禁在光學晶格中的旋量凝聚體由于其長的相干性和可調控性,使其成為時下熱點的多比特量子計算的潛在候選載體,清楚地了解該體系的自旋和磁性的產生和調控就顯得尤為重要.本文主要從理論上回顧了光晶格原子自旋鏈的磁性的由來和操控手段.從激光冷卻原子出發,制備旋量玻色-愛因斯坦凝聚體,并裝載進光晶格,最后實現原子自旋鏈,對整個過程的理論研究進行了綜述;就如何產生和操控自旋激發進行了詳細探討,其中包括磁孤子的制備;討論了如何將原子自旋鏈應用于量子模擬.對光學晶格中的磁激發研究將會對其在冷原子物理、凝聚態物理、量子信息等各方向的應用起指導性作用.

1 引 言

近年來,在光晶格系統中觀測到了很多有趣的物理學現象,比如超流-絕緣相變、Landauzener隧穿、布洛赫振蕩、孤子等[1?5],囚禁在光學晶格中的玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)很快成為了冷原子物理和多體物理的研究熱點之一.其主要原因有二:第一,光學晶格不存在任何雜質和缺陷,這個優點是很多固體系統無法企及的,它為我們搞清楚諸如量子微粒(如冷原子等)在勢阱之間如何進行量子隧穿,噪聲和耗散是如何影響原子在勢阱之間的量子運輸以及量子和經典場是如何關聯等問題提供了理想而又豐富的環境,同時光晶格中的超冷原子系綜為模擬傳統凝聚體物理和固體物理中的復雜物理問題提供了一個理想模型;第二,光學晶格中的超冷原子系綜極易被操控,目前為止已經有大量的實驗和理論工作對如何操控光晶格中超冷原子系綜的動力學性質進行了研究,相對于難以調控的固體材料中的交換相互作用,利用原子與磁或光的相互作用可以更方便地實現對晶格中原子相互作用和晶格間的交互作用的調節.

伴隨著實驗技術的發展,自旋疇和其中的量子隧穿以及自旋交換動力學相繼在光晶格系統中被觀測到[6,7],這引發了人們對囚禁在光阱中的帶有自旋自由度的BEC產生了極大的興趣[8?14].在晶格勢阱很深的條件下,光晶格中的旋量BEC通過量子相變而處于莫特絕緣態,此時整個體系可以看成是一個相干的原子自旋鏈.此時,各個晶格格點上的旋量BEC就像一個自旋磁子.這些自旋磁子能夠通過光誘導的和靜磁的偶極-偶極相互作用進行耦合.從這個意義上來說,這樣的旋量BEC的原子自旋鏈和固體物理磁性系統中的自旋鏈有著一定的相似性.當然,它們也有著明顯的差別.在固體自旋鏈中,由于格點間自旋耦合是短程海森伯交換相互作用所導致,理論模型和處理方法都采用近鄰相互作用近似,長程相互作用通常被忽略.在光晶格旋量BEC的原子自旋鏈里,長程相互作用是非常重要的,而且自旋耦合的強弱可以通過外部光場來控制.近年來,一些與自旋相關的現象如自旋混合、自旋結構的形成、自發磁化的產生、自旋波的激發、磁孤子、宏觀自旋隧穿等的物理機理得到了詳細研究[1,6,8].由于晶格中原子之間長程偶極相互作用的存在,光晶格超冷原子系綜為研究格點系統中更為豐富的自旋耦合動力學特性提供了一個理想的工具,也為超冷原子向量子信息科學與凝聚態物理交叉領域的發展開辟了廣闊的前景.

2 激光冷卻與玻色-愛因斯坦凝聚

當激光的頻率與原子的固有頻率相同時,激光射向運動著的原子,原子就會共振吸收迎面射來的光子從低能級躍遷到高能級(圖1(a)),由于整個過程動量守恒,原子在得到光子以后的動量等于原子的初始動量和光子動量的矢量和,由于二者反號,被激發的原子的動量就會變小(圖1(b)).同時處于激發態的原子會自發輻射出光子而回到低能級的初態并獲得反沖動量,因為自發輻射出的光子的方向是隨機的,所以多次自發輻射的平均結果并不會增加原子的動量(圖1(c)).所謂激光冷卻,實際上就是通過激光與原子的作用下使原子減速,溫度是物體分子熱運動的平均動能的標志,從微觀角度看,原子減速了,溫度也就降低了.

圖1 (a)運動的原子和反向傳輸的激光;(b)吸收光子動量減少的原子;(c)原子隨機輻射光子Fig.1.(a) Moving atoms and counter propagating laser;(b) atoms with reduced momentum after absorbing photons;(c)atoms radiate photons in random directions.

激光冷卻原子技術可以分為:多普勒冷卻、偏振梯度冷卻、亞反沖冷卻等.激光冷卻技術可以將原子冷卻到幾十的量級,如果要得到更低的溫度以實現BEC,還需要其他的冷卻技術,如射頻蒸發冷卻等.射頻蒸發冷卻技術可以將原子冷卻到的量級,此時BEC就可以形成.當溫度低于一個臨界溫度時,理想玻色氣體會在最低的能態上突然凝聚,這一物理現象現在被稱為BEC,這個現象可以在粒子間沒有相互作用時發生,它是全同玻色子體系波函數對稱性的結果.對于BEC而言,具有實際意義的情況是原子被外勢場束縛且原子間存在相互作用的情況,這也是我們著重討論的內容.束縛在外勢阱中的個相互作用的玻色子的多體哈密頓量的二次量子化形式為:

3 光晶格技術

簡言之,相對傳輸的幾對激光束的干涉能在空間形成明暗相間的周期分布,這種周期性場強分布通過與中性原子的偶極相互作用,形成一種控制質心運動的周期性網狀勢場,這種由激光束干涉而形成的原子偶極勢網就是光晶格.激光束中的原子受到的兩種力:偶極力和散射力.偶極力使原子陷在晶格中,而散射力則幫助原子冷卻,第2節我們已經解釋了散射力的原理.

偶極力可以理解為:將非平面波看成是不同模的光波的疊加,原子在這種光場中同時與許多模的光子發生相互作用,它可以從某一模式吸收光子,而在受激發射時發出另一模式的光子.由于不同模式的光子動量不同,在這一過程中雖然吸收和發射光子的能量相同,但動量卻有變化.這一動量轉移靠原子動量變化來補償,從而使原子受力.這一過程與相干的受激躍遷有關,其結果是光子在不同模間轉移,所以此力也稱為感應力.根據半經典理論可得偶極力的表達式為其中是自發輻射率(上能級寬度),即單位時間內原子的吸收率,是躍遷機率,為光強,為激光的失諧.很明顯,此力與光強梯度成正比,所以又稱為梯度力.當失諧為紅失諧時(),力指向方向,即光強最強處;而當失諧為藍失諧時,力的方向指向光強最弱處.也就是說,當激光頻率調諧到低于原子共振頻率時,該力就把原子拉向電場最強的地方,如圖2(a);而當激光調諧到高于共振頻率時,該力又把原子推向電場最弱的的區域,如圖 2(b).總之,偶極力可以把原子囚禁在光晶格中.

圖2 偶極力捕獲原子示意圖(a) 紅失諧;(b)藍失諧Fig.2.Atoms are trapped by dipole force:(a)Red-detuning case;(b)blue-detuning case.

通過改變激光束的偏振和它們的傳播方向可以產生一維、二維和三維的光晶格.如圖3所示,一維晶格簡單的由一對正交的偏振行波組成,對于二維和三維的光晶格,已經發展了很多種不同的激光束配置.

圖3 一維、二維和三維光晶格的產生以及原子在晶格中分布的示意圖 (a)一維光晶格;(b)二維光晶格;(c)三維光晶格[15,16]Fig.3.Optical lattice with different dimension and corresponding atomic distributions:(a)One-dimension case;(b)two-dimension case;(c)three-dimension case.

4 光晶格中的旋量凝聚體

4.1 勢阱中的旋量凝聚體

這里仍然選擇光勢阱.和磁阱只能通過弱場搜尋囚禁單個超精細子能級的原子不同,光囚禁可以捕獲所有磁子能級的原子.光勢阱中自旋為旋量玻色-愛因斯坦凝聚體的哈密頓量的二次量子化形式為

光晶格的光勢阱列陣為我們研究多體相互作用提供了一個非?？煽康沫h境,將旋量凝聚體裝載到光晶格中,在最低能帶的瓦涅爾基中展開玻色場個格點的瓦涅爾函數,表示第個格點上-自旋組分的玻色湮滅算符.值得注意的是,自旋對稱相互作用遠遠大于自旋非對稱相互作用,即只有當時,不同自旋組分的原子才可以用同樣的空間波函數描述.如果只考慮最近鄰格點間的相互作用,哈密頓量(4）可以約化得到自旋的玻色-哈伯德模型[17]:

圖4 旋量凝聚體的自旋疇示意圖.圖 (b) 中, 時凝聚原子會分成三個疇而且有明顯的邊界,相互作用會誘導疇邊界交疊如圖(a)和圖(c)所示,在圖(c)中自旋疇已經沒有了明顯邊界[7]Fig.4.Spin-domain diagrams for condensates with .The cloud is separated into three domains with distinct boundaries in(b),components are miscible as shown in(a),all three components are generally miscible in(c).

5 光晶格中的自旋激發和磁孤子

5.1 光晶格中的自旋激發

光晶格中的旋量凝聚體的動力學行為主要是受到三種兩體相互作用的影響:自旋交換碰撞相互作用、磁偶極-偶極相互作用、光誘導的偶極-偶極相互作用.對于藍失諧的光晶格,原子被捕獲的位置是波節處,這時光誘導的偶極-偶極相互作用可以忽略,很多工作都這樣處理.

當勢阱足夠深的時候,體系會相變到莫特絕緣態.在沒有外磁場作用的情況下,每個晶格中的凝聚原子可以看成是一個個獨立的小磁子,并且它們的自旋指向是任意的,并沒有格點間的自旋關聯.此時,光晶格系統非常類似于磁學中的自旋格子系統,但是它們存在明顯的差別.首先磁學中的交換相互作用在這里幾乎可以忽略,畢竟小磁子之間約有半個波長的距離,莫特絕緣態的格子系統中格點間粒子交換也幾乎是零.另外,由于玻色增強效應,在固體系統中經常被忽略的磁偶極-偶極相互作用這時開始發揮重要作用,如果格子中的平均粒子數,磁偶極相互作用可以獲得平方量級的增強.

常用的磁偶極-偶極相互作用的形式為

由上兩式可以看出,光晶格中旋量原子的哈密頓量和固體物理里的海森伯自旋鏈的哈密頓量形式非常相似,所以我們也稱這個系統為光晶格中的原子自旋鏈模型.和海森伯自旋鏈相比,原子自旋鏈有兩個獨有的優點:其一是格點之間的耦合是長程耦合,充分考慮了非近鄰格點間的相互作用;其二是耦合距離和強度可以調節,通過調節外場參數,可以增加或者減弱長程特性,特別地,適當調節參數可以實現近鄰和次近鄰的有效近似.由于磁偶極相互作用的存在,張衛平、蒲晗等[11]研究發現鐵磁相變和自發磁化可以在一維自旋鏈中發生,如圖5所示.

以上考慮都是沒有光誘導的偶極-偶極相互作用的情況.在紅失諧光晶格中,凝聚體被囚禁在駐波波腹,即光強最強處.這時需要考慮光誘導的偶極-偶極相互作用,其形式為[10]

圖5原子自旋鏈中磁偶極-偶極相互作用誘導的自發磁化[11]這里縱軸 代表 方向的自發磁化強度,橫軸 是平面上的外磁場強度,虛線是平均場近似的結果,數值模擬所得實線對應的是不同的格點填充數Fig.5.Spontaneous magnetization of atomic spin chain dominated by magnetic dipole-dipole interaction. is the magnetization components in the -axis direction, is intensity of the external magnetic field.The dashed line represents the mean-field result and the solid lines,from left to right,correspond to the exact numerical results for a two-site lattice with atoms.

從方程(13）中可以看出,光誘導的偶極-偶極相互作用只是在平面起作用,而磁偶極-偶極相互作用在不同方向上都有貢獻.方程(15）給出了光誘導的偶極-偶極相互作用在格點間耦合的分布,很明顯的是這個耦合強度幾乎完全依賴于外場的參數包括強度、頻率和囚禁寬度.適當調節外場可以極大地增加格點之間的耦合強度,只要格點之間的耦合足夠強,橫向的自旋激發就會在格點上傳播,這就導致晶格中原子的自旋扭曲在自旋鏈上傳播.從哈密頓量(13）可以導出自旋激發的海森伯運動方程:

這個方程描述了自旋激發沿坐標軸方向的傳輸,非常類似于量子力學中有效質量為的粒子的質心運動方程.和聲子定義類似,這就是光晶格原子自旋鏈系統中產生的磁振子.圖6給出了原子自旋鏈中的自旋波產生和傳播的示意圖.

5.2 光晶格中的磁孤子

凝聚態物理發展過程中,孤子作為基態元激發的引入對處理非線性問題是巨大的推動,孤子激發在海森伯自旋鏈中已經被廣泛研究過.在低溫條件下,這些元激發實際就是我們上面提到的自旋波,自旋波孤子也是大家比較感興趣的課題.只是在固體系統中,摻雜和缺陷一直存在,溫度的影響也很大,增加了研究和觀測的難度.這方面,光晶格系統的優越性很明顯:一方面這里的原子自旋鏈系統是一個非常純凈的系統,沒有任何雜質;另一方面,系統具有很高的可控性,而且溫度的影響變得微乎其微.在這個意義上,光晶格可以作為一個非常理想的工具用來模擬固體物理中的許多動力學特征.

圖6 原子自旋鏈中自旋波的激發.圖的上部分是原子自旋鏈的鐵磁基態示意圖,下部分是偶極-偶極相互作用下自旋進動在晶格方向的傳播[18]Fig.6.Spin waves are excited in atomic spin chain in optical lattice.Top:ferromagnetic ground-state structure of the spinor BEC atomic spin chain.Bottom:spin in each lattice site processes in spin space and spin waves can be excited.

基于偶極-偶極的可調性,原子自旋鏈中的磁孤子激發被大量地研究.但是,針對如何在原子自旋鏈中實現可觀測的孤子的研究很有限.由于連續近似下自旋波的傳播服從方程(17）,通過研究孤子存在的條件,我們建議通過調節橫向場來實現磁孤子的觀測.圖7中給出了如何通過控制外部光場的強度和囚禁寬度來實現磁孤子激發.

6 光晶格中的磁激發應用于量子模擬

6.1 磁振子壓縮態

近年來,隨著精密測量的發展,壓縮態無論從理論上還是實驗上都得到極大的關注.在凝聚態物理中,有研究表明通過調節固體材料的參數可以實現磁振子的壓縮態,這個方法實驗上有很大的難度.如第1節所述,光晶格中的超冷原子系綜由于其得天獨厚的性質,為模擬傳統凝聚體物理和固體物理中的復雜物理問題提供了一個理想環境.

圖7 通過控制外場實現磁孤子的產生(a)紅失諧光晶格中控制驅動光場和束縛場產生磁孤子, Q 是驅動光場的強度, 是晶格的橫向囚禁寬度,空白的區域對應有磁孤子產生,反之,暗的區域不能激發磁孤子;(b)藍失諧光晶格中調節束縛場來產生磁孤子,藍線、綠線和紅線分別代表考慮近鄰、次近鄰和長程的結果, 代表有磁孤子激發[19]Fig.7.Magnetic soliton are excited by tuning external field:(a)Magnetic soliton are produced by tuning driving light field and trapping potential in red-detuning case, the vertical axis Q stands for the intensity of the modulated laser,and thehorizontal axis represents the transverse width of the condensate,the blank region corresponds to the existence of solitons;(b)magnetic soliton are produced by tuning trapping potential in blue-detuning case,the three lines correspond to the nearest-neighbor approximation (blue), the next-nearest-neighbor approximation(green),and the continuum limit approximation (red),respectively, magnetic solitons occur in the region.

如圖8給出了不同參數下磁振子的壓縮特性.值得強調的是,這里磁振子的壓縮態可以通過調節外部光場來實現,這種方式對系統的固有屬性改變很小,在以往的系統中是很難實現的.

6.2 有限溫度的動力學卡西米爾效應

對動力學卡西米爾效應這一有趣的物理學現象的實驗觀測也是近年來科學家們比較感興趣的課題,很多設想的實驗在實踐過程中難度頗高.直到2011年,人們才在超導量子干涉設備中觀測到比較完整的動力學卡西米爾效應[20].與此同時,實驗過程中環境溫度幾乎是很難忽略的因素,這時有很多物理學家才開始研究有限溫度的卡西米爾效應[21,22],這個方向的研究幾乎都是理論層面的,所以急需找一個方便操控的系統實現實驗觀測.

圖8 通過調節束縛場實現磁振子壓縮態實紅線、綠虛線和黑實線分別對應于橫向囚禁寬度為 的情況, 代表產生了壓縮[19]Fig.8.Spin waves are excited in atomic spin chain in optical lattice.We choose three transverse trapping widths of the condensate: (solid red line),(dashed blue line), and (dotted black line),respectively, the magnon squeezing states occur when.

圖9 外磁場驅動下囚禁勢中旋量凝聚體的橫向和縱向的磁化隨時間的演化紅線是橫向的磁化 ,藍線代表縱向的磁化 ,圖中插圖顯示的是橫向磁化被放大的過程[23]Fig.9.Time evolution of the average squared transverse magnetization (red curve) and longitudinal magnetization (blue curve),the exponential growth ofis shown in subgraph.

光晶格自旋鏈系統中,磁偶極-偶極相互作用和光誘導的偶極-偶極相互作用能誘導不同的自旋激發,這和理論上研究有限溫度的動力學卡西米爾效應的光學共振腔系統非常相似.相對弱的磁偶極-偶極相互作用誘導的激發可以作為有限溫度激發源,在外部光場的驅動下,我們發現磁振子激發會產生指數形式的增長,如圖10所示.

7 結 論

圖10 不同強度的驅動場下自旋起伏的放大倍數隨有效溫度的變化圖中紅色圈、綠色方塊和藍色三角分別代表我們選擇的不同的驅動光場強度,通過適當選擇光場強度可以使磁振子激發產生指數形式的增長,也就是動力學卡西米爾效應[18]Fig.10.Amplification factor as a function of the effective temperature under different intensities of the external modulation laser,the the dynamical Casimir effect at finite temperature take place if the proper parameters are selected.

我們對光晶格原子自旋鏈的磁性的由來、操控和應用做了簡要的理論回顧.光晶格中旋量BEC原子自旋鏈模型和固體物理中的自旋鏈模型有一定的相似性,同時差別也很顯著.首先系統組成的元素不再是電子而是電中性的玻色原子,其基本相互作用不再是短程的交換相互作用,而是長程的偶極-偶極相互作用,其中磁偶極-偶極相互作用和光誘導的偶極-偶極相互作用的存在使得這個系統具有了更大的潛在應用價值.在這個理想模型中還存在額外的可控自由度,這就使得很多現象可以在理想的系統中進行觀察.對晶格原子自旋和磁學性質的研究不僅是理論的拓展,未來可望在原子光學器件、集成原子光學及其原子芯片乃至量子計算與信息處理等的研究與應用中有廣闊的應用前景.