超冷原子系綜的非高斯糾纏態與精密測量*

鹿博 韓成銀 莊敏 柯勇貫 黃嘉豪 李朝紅?

1）(中山大學物理與天文學院,量子工程與精密測量實驗室,珠海 519082）

2）(中山大學,光電材料與技術國家重點實驗室,廣州 510275）

量子精密測量是基于量子力學的基本原理對特定物理量實施測量,并利用量子效應提高測量精度的交叉科學.隨著超冷原子實驗技術的發展,超冷原子為量子精密測量提供了一個優異的研究平臺.利用發展成熟的量子調控技術,人們可以基于超冷原子系綜制備一些新奇的非高斯多粒子糾纏態.基于多體量子干涉,利用這些非高斯糾纏態作為輸入,可以實現超越標準量子極限的高精度測量.本文簡要綜述這一研究領域的進展.

1 引 言

量子精密測量是量子物理學與精密測量科學相結合的學科[1?4].其研究對探索基礎科學問題、發展前沿技術都具有重要意義.它不僅能提高基本物理學常數(如萬有引力常數、精細結構常數、普朗克常數等)的測量精度,在更高精度上檢驗物理學基本定律[5?8],而且能應用于設計制造各種量子器件,提高時間頻率、磁場、重力加速度等參數測量的靈敏度[9?16].

量子精密測量主要研究如何利用量子力學的基本原理以及操控其獨有的量子糾纏、量子關聯和量子壓縮等量子特性來提高參數的測量精度[1?4].目前,用于研究的物理體系主要包括超冷原子體系[17,18]、囚禁離子體系[19?21]、光子體系[22,23]、金剛石色心體系[24]、核磁共振體系[25?27]、固態體系[28]等.其中,超冷原子氣體作為一種環境潔凈且便于操控的多體量子系統而備受關注.超冷原子體系具有穩固的量子相干性和高度的可控性.利用磁光囚禁技術,超冷原子氣體幾乎處于沒有其他雜質存在的空間中,體系與環境的相互作用可以忽略,因而體系具有超長的量子相干時間.超冷原子體系是原子層次的人造量子體系,原子被囚禁在特定的空間范圍之內,原子的超精細態和原子之間的相互作用可以用電場、磁場、微波或激光等外場進行精確地操控.這些特性使超冷原子氣體成為研究多體量子物理的一個新平臺,尤其為基于超冷原子系綜的量子精密測量提供了新的機遇.

一般地,對于參數的精密測量可以利用干涉過程來實現[29,30].基于量子力學的基本原理,干涉結果可由每個粒子沿不同路徑或內態的振幅相干疊加而得到.不同路徑或者內態受到待測參數的影響會積累一個相對相位.根據干涉的結果可以測定這一相對相位,從而得到待測參數的信息.增加干涉儀中使用的粒子數目可以提高測量的信噪比.如果用個沒有關聯的獨立粒子作為干涉儀的輸入態,這等同于對同一個粒子進行次測量.由中心極限定理可知,其所能達到的測量精度最終將受限于標準量子極限:,也叫經典極限.進一步,如果引入多體量子效應,利用粒子之間的量子關聯,將有可能突破這一經典極限.例如,把輸入態制備成最大糾纏態,在理想情況下可以把測量精度提高到.此精度極限比標準量子極限提高了倍,通常被稱為海森伯極限.

近些年,國內外在這方面的研究取得了很多新進展.眾多新奇的多粒子糾纏態(如最大糾纏態、自旋壓縮態、雙數態、雙模壓縮真空態、自旋貓態等)在理論上被提出用于突破標準量子極限的量子精密測量,并陸續在冷原子體系的實驗中成功實現.自旋壓縮態是其中最為典型且已被廣泛研究的一種[13,17,18].由于自旋相干態和壓縮態的概率分布可以用高斯統計來描述,因而它們都是多粒子高斯態.與之相反,若概率分布不能用高斯統計來描述,則這樣的多粒子量子態屬于非高斯態.最大糾纏態、自旋貓態、雙數態等都是典型的非高斯糾纏態.最近,這些非高斯糾纏態也逐步受到人們的關注,在理論與實驗上均取得了很大的突破[34?38].

本文先介紹高斯型的自旋相干態與自旋壓縮態,隨后著重討論幾個重要的非高斯多粒子糾纏態,介紹如何在超冷原子系綜實現這些多粒子糾纏態的制備,并展示它們在量子精密測量中的應用.

2 基于量子干涉的精密測量

一般的物理量測量過程可以分為如下3個步驟:1）將探針制備到所需的輸入態;2）讓探針經歷一個與待測參數有依賴關系的動力學演化;3）對探針含有待測參數信息的末態進行相應的測量,選取合適的分析方法估算出參數的值.

這里僅討論基于量子探針的物理量測量過程.假設初始輸入態為;在動力學演化過程中,輸入態在演化算符的作用下演化成含有信息的末態;得到末態后,再選取適當的可觀測量,并作用到上得到相應的期望值.要成功地提取出未知參數的信息,所選取的觀測量的期望值必須與有一定的函數依賴關系.如果對動力學演化過程有一定的先驗知識,而且能得到觀測量期望值與未知參數的函數依賴關系,那么未知參數的信息可以通過觀測量的測量結果提取出來.同時,估計未知參數的誤差也能相應得到.根據誤差傳遞公式,可以得到

量子干涉是一種常用的參數測量手段.對應參數估計的3個步驟,運用量子態進行兩模干涉可以概括為:1）把初態分成兩個不同的模;2）自由演化一段時間積累與待測參數相關的相位;3）將兩模進行復合讀取相位并估計待測參數.下面以單原子的Ramsey干涉為例.

3 多粒子高斯態與精密測量

3.1 自旋相干態

3.2 自旋壓縮態

自旋壓縮的概念由兩位日本物理學家Kitagawa和Ueda于1992年提出,他們把量子光學的壓縮定義推廣到自旋算符中[40].對于無糾纏的自旋相干態,在垂直于平均自旋方向上,每個獨立的自旋1/2粒子的漲落均為1/4.假如可以在各個獨立自旋間建立一定的關聯,就有可能抵消或者增加某個方向上的漲落.類似于位置動量的量子壓縮,在不違背海森伯不確定關系的基礎上,一個自旋分量的漲落(方差)能以增大另一個共軛自旋分量的漲落(方差)為代價而降低.對于自旋為J的系統,如果一個量子態沿某個自旋方向的漲落(為平均自旋方向),這個量子態就可以被稱為自旋壓縮態.自旋壓縮的產生與粒子間的量子關聯密切相關.其相對粒子數差的概率分布也會從標準的高斯分布(自旋相干態)變為半高寬狹窄的高斯型分布[39],如圖1右邊所示.

常見的自旋壓縮參數有三種.第一種是根據海森伯不確定關系定義的:.第二種壓縮參數定義為垂直于平均自旋方向的自旋分量漲落的最小值與平均自旋長度的里可以通過尋找垂直于平均自旋方向上所有可能的對應自旋分量的最小值,來確定最佳的自旋壓縮方向.第三種壓縮參數與精密光譜密切相關,它是通過給定的量子態相位不確定度與一個參考的自旋相干態對應的相位不確定度的比值來定義,為平均自旋長度.當壓縮系數時,可知體系產生自旋壓縮.輸入自旋壓縮態進行Ramsey 干涉,其量子 Fisher信息,因此測量精度能突破標準量子極限.

自旋壓縮態可以從一個自旋相干態出發,通過單軸扭曲來實現.單軸扭曲的哈密頓量可以寫成[13,18,41]:

4 非高斯糾纏態與精密測量

4.1 最大糾纏態

對于超冷原子系綜,最大糾纏態也可以用單軸扭曲的方法來制備.當演化時間與有效相互作用滿態演化為最大糾纏態.然而,要達到這一條件比較困難.其一,實驗上可實現的有效相互作用較弱,需要很長的演化時間,體系難以長時間保持相干性;其二,演化的時間需要控制得非常精確,制備具有很大的隨機性.另外,最大糾纏態非常脆弱,糾纏特性容易受粒子數損失、失相等環境效應影響而被破壞.這些都是利用最大糾纏態來進行量子精密測量時亟待解決的問題.

4.2 自旋貓態

由于最大糾纏態極端脆弱且制備較為困難,實驗上能實現的并不多,即使實現了,其糾纏的粒子數也很少.因此,尋找對環境效應具有魯棒性同時實驗上又易于制備的多粒子態成為關鍵.下面,著重介紹另一種有潛力運用到量子精密測量中的非高斯多粒子糾纏態—自旋貓態.首先,簡要闡述自旋貓態的基本特點,然后討論其制備的方案和在精密測量中的表現.

自旋貓態實際上是一種宏觀自旋相干疊加態[55].假設有兩個不同的自旋相干態相干疊加,對于這樣形成的量子態,可以由彼此正交的或非正交的自旋相干態疊加而成.宏觀(自旋相干疊加態的形式)可以寫 成,其中 ,代 表 量 子 態 的 歸 一 化 系 數 .和徑角,這時,在 Dicke 基矢下,宏觀自旋相干疊加態表示為

圖2 上圖為不同自旋貓態在廣義 Bloch球上的Husimi分布;下圖為不同自旋貓態在有原子數損失( 為原子的損失率)情況下的相位測量精度極限(摘自文獻[55])Fig.2.Top:The Husimi distribution of different spin cat states on the generalized Bloch sphere. Bottom: The ultimate phase measurement precision with different spin cat states under atomic loss( denotes the ratio of atom loss).Adapted from Ref.[55].

自旋貓態的一大優點是其對環境效應的魯棒性.在基于耗散體系的自旋貓態的量子相位測量方面有一些研究工作[55].通過與不同的輸入態(尤其與最大糾纏態)做對比,發現糾纏適中的自旋貓態對原子損失具有很強的魯棒性,其在耗散下所能達到的相位測量精度依然很高,如圖2所示.

此外,相對最大糾纏態,自旋貓態較容易在實驗中制備.針對不同體系,已有一些制備自旋貓態的方案被提出來[57?71].在玻色-愛因斯坦凝聚體中可以利用原子碰撞引起的非線性Kerr效應來制備[57,58].也可以從自旋相干態出發利用非線性動力學來制備,但制備的自旋貓態可能需要合適的旋轉操作才能作為輸入態[59].利用與熱庫的耦合[60,61]、非破壞測量[62?65]、里德伯阻塞[66]等手段都可以產生有效非線性,從而制備自旋貓態.引入一系列自旋測量操作也可以條件性地產生自旋貓態[67?69].此外,還有研究組在熱原子體系中利用量子澤諾(Zeno)效應也能實現自旋貓態的制備[71].

最近,通過驅動系統穿越量子相變的絕熱基態制備方法來實現自旋貓態被提出[48,51,72].通過絕熱改變系統的參數,初態可以從一個非簡并的基態逐漸演化到一個高度簡并的糾纏態[72].這樣的過程既實現了產生糾纏態的作用,同時又發揮了分束的作用,如圖3所示.利用這樣的方法可以在超冷原子系綜上實現自旋貓態.

考慮一團兩態的玻色凝聚原子(占據兩個超精細態),用兩模玻色-約瑟夫森哈密頓量來描述[17,18,41,73]:

圖3 基于量子相變和多體量子干涉的相位測量方案示意圖(摘自文獻[61])Fig.3.Schematic of precision phase measurement based on driving through quantum phase transitions and many-body quantum interferometry.Adapted from Ref.[61].

對于自旋貓態的制備,可以利用有效非線性相互作用為負時(即)的基態特性[48,49].理論上,對于的對稱玻色-約瑟夫森結 (),可以利用絕熱制備的方法產生從自旋相干態到自旋貓態等各種糾纏態.當,,體系基態性質只由系數決定.在強耦合極限下(),其基態為自旋相干態.當從變到時,基態的布居數差概率分布會出現從單峰形態到雙峰形態的轉變.這種雙峰形態所對應的基態可以被看成是兩個對稱的自囚禁態的等概率宏觀疊加,與自旋貓態類似.

自旋貓態還可以通過其他巧妙設計的量子調控手段來獲取.最近,國外的研究組提出運用相干驅動[75]、絕熱捷徑[76]等手段在玻色-約瑟夫森系統中產生自旋貓態,其態制備時間能進一步縮短.

在實驗中,自旋貓態積累完待測相位后,還需要進行可觀測量的測量來提取待測相位的信息.最初,人們發現常用的布居數之差測量無法提取相位信息,需要利用宇稱測量[51].然而,宇稱測量需要分辨原子數的奇偶性,實際需要單原子分辨率的探測器.這是一個比較嚴苛的實驗要求,在實驗中很難實現.

為了克服這一困難,引入與絕熱制備基態的相反過程(絕熱改變系統參數使系統從簡并區域回到非簡并區域,如圖3所示)作為合束器后,就可以利用布居數之差的測量來提取相位信息,從而不需要單原子分辨的探測器[61].另外,在探測前引入非線性探測過程也可以實現.非線性探測過程包括一個單軸壓縮、兩個脈沖和布居數測量,均可用當前實驗技術實現.相比之前基于自旋壓縮態的非線性探測方案,改用自旋貓態,其測量精度對探測噪聲的魯棒性大大增強[56].

4.3 雙數態

雙數態是兩個模具有確定相等粒子數目的Fock 直積態,即

理論上,選用雙數態作為初態,結合宇稱測量,可以實現接近海森伯極限的相位測量.得到輸出態后,再經過合束器得到末態,并進行宇稱時,宇稱測量的相位不確定度與總粒子數成反比.最近,國內外在基于超冷原子系綜的雙數態制備及其相位估計方面取得了巨大的實驗突破.

通過旋量玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)中原子的自旋交換碰撞可以實現大原子數的雙數態[34].若將原子制備在 mF=0 的初始態,兩個 mF=0原子通過自旋交換碰撞就可以產生一對自旋向上和向下 (mF=±1）的原子.Klempt等[34]利用自旋交換動力學成功制備了雙數態,他們的實驗利用旋量為2的87Rb凝聚體,通過選擇合適的磁場強度 (1.23G)和演化時間 (15ms),制備了原子數可多達104的雙數態,并利用雙數態得到低于散粒噪聲dB 的干涉靈敏度.然而,利用旋量BEC中的自旋動力學產生的雙數態總原子數存在很大的漲落,因此在利用雙數態展示突破標準量子極限的測量時需要對樣本總原子數進行后選擇,大大降低了雙數態的實用性.

最近,通過調控旋量為1的87Rb凝聚體自旋混合過程,實現連續發生兩次量子相變,可以在實驗中確定性地制備約11000個原子的雙數態[35].在這個實驗中,旋量BEC的自旋動力學哈密頓子數算符,Nt=N+1+N–1+N0為總粒子數.第一項代表與自旋相關的相互作用,包括自旋交換相互作用,參數|c2|表示自旋交換發生的平均速率;第二項代表二階塞曼效應對系統的影響,實驗上通過磁場或者微波可以調控 q.對于該哈密頓量,在 q=±2|c2|處有兩個量子相變點,如圖 4(a)所示,對于,所有基態為 polar(P)相;對于,基態變成雙數相,產生相等數目的mF=±1 態;–2|c2|

圖4 (a)旋量BEC的基態由單原子內態的二階塞曼效應和BEC中自旋交換作用強度的大小決定,會出現兩個相變點,將相圖分為三個區域,分別為 P,BA 和 TF 相;(b)線性掃描q時,通過吸收成像觀察到的BEC在各個內態上的分布隨時間的變化(摘自文獻[35])Fig.4.(a)The thick black solid line denotes the gapbetween the first excited and the ground state of Hamiltonian,which together with the two minima at q=±2|c2|defines three quantum phases,illustrated by their atom distributions in the three spin components,the firstorder Zeeman shifts are not shown because they are inconsequential for a system with zero magnetization;(b)absorption images of atoms in the three spin components after Stern-Gerlach separation,showing efficient conversion of a condensate from a polar state into a TFS by sweeping q linearly from3|c2|to–3|c2|in3s.Adapted from Ref.[35].

4.4 精密測量中的應用

基于上述非高斯糾纏態,通過多體量子干涉可實現對物理參數的高精度測量.第一,利用多粒子GHZ態的Sagnac干涉來提高旋轉頻率的測量精度[51].利用態依賴的旋轉勢,兩態的玻色原子系綜在一個環內移動.其中,不同內態的原子沿不同方向運動.然后,原子通過Ramsey脈沖進行復合干涉.相位積累的時間由態依賴的旋轉勢的形式確定.只要原子的內態存在糾纏(把原子制備在GHZ態上),其旋轉頻率的精度極限將有可能達到海森伯極限.第二,基于玻色凝聚銣原子氣體,耦合不同Zeeman能級并調控原子之間的相互作用強度[13],制備磁敏感非高斯糾纏態(自旋貓態、雙數態等)并實施Ramsey干涉,再選取恰當的可觀測量提取磁場信號,可實現超越傳統測量極限的精密磁場測量.第三,利用旋量玻色凝聚原子,可利用多模的多體量子干涉實現線性與非線性Zeeman系數的同時測量[52].把原子制備在多模的GHZ態上,兩個系數的測量精度有可能同時達到海森伯極限.

此外,基于這些新型的非高斯糾纏態,還可以發展超越經典測量極限的量子器件,如高精度重力儀[79]、磁力計[80]、陀螺儀[81,82]、糾纏原子鐘[83?85]等.雖然這些工作目前仍處于實驗研發階段,但是已顯現出巨大的實用前景和研究價值.

5 總結與展望

綜上所述,基于非高斯糾纏態的量子精密測量是一個正在穩步發展的研究方向.其中,基于超冷原子系綜的絕熱量子相變與多體量子干涉實施量子精密測量是一種有廣泛應用前景的探索.利用跨越量子相變臨界點的絕熱過程可成功制備超冷原子系綜的非高斯糾纏態(如自旋貓態和GHZ態).基于多體量子干涉,輸入所制備的非高斯糾纏態,可實現超越標準量子極限的高精度測量.這些都為基于超冷原子系綜實施超越標準量子極限的精密測量給出了一條可行的新途徑.當然,在實際應用中還面臨許多挑戰,如實驗中各個過程都可能存在退相干效應,非高斯糾纏態在環境中會變得脆弱,對最終測量精度產生影響;針對不同的非高斯輸入態,需要設計合適的探測過程等.針對這些挑戰,還需要進行更深入的理論分析與實驗探索.