冷原子物理中的一維少體問題*

劉彥霞 張云波

1）(山西大學,理論物理研究所,太原 030006）

2）(中國科學院物理研究所,北京 100190)

作為構成量子多體系統的基本單元,一維少體系統的研究不僅可以在理論上為多體系統的量子關聯及動力學等性質提供更為基本的理解,也可以為實驗上制備多體系統提供更加方便和功能更加全面的方法.本文回顧了冷原子物理中一維少體系統最新的實驗和理論進展.首先介紹了少體實驗中實現的諧振子勢阱中確定原子數的精確制備,亞穩態勢阱和雙阱系統中原子的隧穿,以及強相互作用下等效自旋鏈的實驗結果.然后深度解析了理論研究方面,特別是基于精確可解模型的一些重要結果,包括亞穩態勢阱中相互作用原子的隧穿概率,以及相應實驗上常見勢阱的能譜分析、密度分布、隧穿動力學以及強相互作用極限下的有效自旋鏈模型等.

1 引 言

少體物理幾乎在所有的物理分支中都起著重要作用,比如天體力學中的三體開普勒問題以及量子力學中把氦原子中的核子看做是質點的三體問題,一般情況下三體問題很難退化到一個有效的單體問題.這里簡單介紹一些囚禁在勢阱中的玻色子或費米子的少體問題,這些都是研究少體物理的理想模型.這些系統中有很多是可以解析處理的,盡管存在很強的相互作用和很多的自由度,但是在某些情況下,可以轉換成單體問題來求解.

如今,簡并的玻色和費米氣體在世界各地的實驗室都可以產生.大多數實驗小組都以堿金屬原子作為研究對象,如 Li,Na,K,Rb,Cs,這些原子的共同特點是最外層只有一個價電子.在超冷溫度下,當兩體相互作用的有效力程遠小于德布羅意波長時,原子間的相互作用主要是以各向同性的s波碰撞為主.s波碰撞的效應可以通過s波散射長度描述,在很多情況下成為用來描述系統的唯一微觀參數[1,2].一個經典的例子就是平均場Gross-Pitaevskii方程[3?6]只依賴于粒子數 N 和s波散射長度.Gross-Pitaevskii方程將多體問題轉換成一個有效的單體問題,可以非常準確地描述弱相互作用稀薄玻色凝聚體的特性.除了堿金屬原子,實驗上也可以實現價電子結構更復雜的原子的凝聚,如 Ca,He,Cr,Yb,Sr.例如兩個 Cr原子間的碰撞是各向異性和長程的[7,8].這些特性會引起超出s波的物理,兩原子間的相互作用除了依賴s波散射長度外還依賴偶極相互作用的強度.

實驗上囚禁少體系統可以通過所謂的微勢阱裝載少數個粒子來實現[9].一系列的少體系統可以通過將多個原子囚禁在很深的光晶格中來實現,其中不同格點間的隧穿被抑制,近鄰相互作用可以忽略[10,11].對于冷原子系統,原子間的相互作用可以通過外磁場在Feshbach共振附近調節[12].超冷堿金屬原子間的Feshbach共振現象可以用兩通道模型解釋.兩個原子最外面的兩個電子的相互作用可以由一個比較淺的電子自旋三重態和一個比較深的單重態的Born-Oppenheimer勢能曲線來描述.超精細相互作用將單態和三重態的勢能耦合,形成一個閉通道和一個開通道.當閉通道的束縛能量和開通道入口處的能量相同時就發生Feshbach共振,散射長度趨于發散,1998年首次在超冷原子氣體中觀察到Feshbach共振[13?15],為理論和實驗對比鋪平了道路.

一個特別有趣的少體現象是Efimov效應.早在 1970年,俄羅斯核物理學家 Efimov[16,17]就發現在無窮大s-波散射長度時,自由空間的兩體系統只存在一個零能束縛態,沒有其他弱的束縛態.但是當加入第三個粒子以后,就會出現令人驚訝的結果,相應的三體系統會出現無窮多個弱的束縛三體態,且束縛能有分立標度不變性[18,19](這里假設只有兩體相互作用).Efimov效應激發了很多理論和實驗的研究[20],直到現在仍然是少體物理中的重要研究課題.在氦的三聚物、核物理、還有其他系統中都有三體Efimov效應和關聯的Efimov共振的研究.然而,它的第一個實驗驗證是2006年由Kraemer等[21]在銫原子氣體中完成的.從更廣的范圍看,Efimov態是 Borromean環的一種,這一類物態的標志特征是只有三個粒子會形成束縛態環鏈,而其中任意兩個都不互相束縛.這是一個純粹由量子力學導致的效應,有豐富而深刻的物理內涵.自從 Efimov效應提出以后,推廣到大系統已經有很多進展,但這仍然是一個開放問題.在自由空間或者有外勢的情況下N體系統(N>3）的能譜如何依賴于三體參數,四體、五體和更多體系統的研究可能會給出答案.

本文主要回顧最近超冷原子實驗在準一維少體系統中的突破性進展及相關的理論研究[22,23].海德堡Zürn等首先將兩個費米子囚禁在光勢阱中,研究了強相互作用下費米子的費米化,通過施加一個磁場梯度,在排斥相互作用下研究了單粒子的隧穿[24],在吸引相互作用下研究了配對粒子的隧穿[25].然后通過精確地逐個增加原子個數,測量單個雜質粒子與背景氣體的相互作用可以用來研究從少體到多體的跨越,觀察到了費米海的形成[26].該實驗組接著實現了兩個原子在雙勢阱間的量子隧穿,得到相互作用強度對雙勢阱的本征態以及占據概率的影響[27],在一維的諧振子勢阱中準確制備由自旋1/2費米子構成的反鐵磁海森堡自旋鏈[28].Kaufman等[29]用光鑷子將單個原子冷卻到它的振動基態,隨后擴展實驗技術將兩個原子冷卻到雙阱的基態,通過兩個粒子的干涉觀察粒子的統計效應[30].

2 一維冷原子少體實驗

目前超冷氣體的研究大部分關注的是多體系統的性質,在熱力學極限下粒子數的漲落和散粒噪聲一樣,不會明顯改變熱力學量,例如溫度、壓強等.與此相反,少體系統非常依賴于粒子的數目.目前的實驗技術已經可以很精確地控制少體系統中粒子的個數.海德堡Jochim實驗小組從2011年開始對一維冷原子物理中的少體問題做了一系列關鍵實驗,包括相互作用原子在亞穩態和雙阱模型中的隧穿[24?28],從少體到多體的轉變,以及一維自旋鏈的量子磁學.他們用光偶極阱和磁場梯度將少數6Li費米原子制備到基態,精確度可以達到93±2%.粒子囚禁在縱橫比為1:10的三維雪茄狀的勢阱中,各方向可近似認為是諧振子勢阱,此系統可以作為一維系統來處理.文獻[31]中給出的解析解可以很好地描述這種勢阱中兩個相互作用原子的基態.一維光勢阱加上梯度磁場可以將勢阱的一邊打開而形成一個亞穩態勢阱,是研究隧穿動力學的重要模型之一.原子間的相互作用可以通過Feshbach共振[12]和束縛誘導共振[32]來調節.一維的耦合常數g可以通過三維散射長度和橫向諧振子勢的特征長度來確定,這里是普朗克常數,是兩個質量為m的原子的約化質量.耦合常數為

2.1 原子的費米化及單粒子隧穿

當相互作用強度趨于無窮時,兩個可區分的粒子的能量和波函數的模平方與兩個無相互作用的全同費米子相同,這被稱為原子的費米化.實驗上通過直接比較強相互作用極限的兩種可區分費米子和相同勢阱中的兩個全同費米子來觀察這種現象.文獻[24]將兩個6Li費米原子制備到最低的兩個Zeeman子能級的超精細態,分別標記為和.對于可區分粒子系統和全同系統分別用和和表示.由于費米子的反對稱性,全同系統感受不到s波相互作用,對于可區分粒子系統的相互作用則可以通過磁Feshbach共振來調節.實驗上可以測量其中一個原子隧穿出勢阱的時間隨相互作用強度g的變化規律,通過擬合留在阱中的平均粒子數可定義一個隧穿時間常數.實驗發現隨著磁場的增加，兩個可區分原子的減少了兩個數量級,而全同費米子的保持為常數,二者在 CIR處相交.對6Li原子,該 CIR 共振發生在磁場為 (783.4±0.4）G()處.也就是說在相互作用強度時,態和態的能量,波函數密度分布及隧穿時間常數都是相同的.文獻 [33]通過WKB(Wenzel-Kramers-Brillouin)近似給出了隧穿的準粒子理論,很好地解釋了實驗的數據點,揭示了波函數在束縛誘導共振點處的費米化特點.

2.2 原子的配對隧穿

原子費米化的研究是將兩個可區分的原子制備到排斥相互作用區域,該區域系統中的粒子只會出現單粒子隧穿.當原子處在吸引相互作用區域時,會發生兩個原子同時隧穿的現象[25].測量過程如下:首先將兩個原子制備到基態,一個原子處在態,另一個處在態,然后突然加上磁場梯度,使勢阱的一邊傾斜形成勢壘,這時粒子會跑出去,在某個固定的時間迅速去掉磁場梯度,將勢阱恢復,然后測量勢阱里面的原子個數,重復多次,計算某一時刻的勢阱出現兩個原子、單個原子、以及零個原子的概率.通過這些概率可以得到平均粒子數隨時間的演化.

為了描述兩個粒子的配對隧穿,實驗中用一個簡單的模型來描述,如圖1所示.對于兩個原子的隧穿有兩個過程:一個過程是配對隧穿,即兩個原子同時離開勢阱,發生這個過程的速率記為.另一個過程是原子按次序離開勢阱,第一個粒子先離開勢阱,第二個粒子處在勢阱的非微擾基態,這個過程第一個粒子隧穿的速率記成.這個速率主要由隧穿勢壘的高度決定,同時依賴于兩個原子的相互作用能.對于第二個原子,沒有相互作用的影響,因此離開勢阱的速率是無相互作用系統的.考慮實驗上有限的準備精確度以及通過改變磁場調節相互作用強度會影響原子自旋的取向,隧穿速率可以修正成為一個依賴于自旋的結果.實驗結果表明在相互作用強度g>–0.59時是沒有配對隧穿的.在強吸引相互作用區域 g<–0.64,粒子配對隧穿占主導地位,單粒子的隧穿速率很小,可以認為兩個粒子綁在一起形成了束縛態,相互作用可看做是其內部的自由度.文獻[33,34]通過WKB近似理論計算給出了隧穿率和其隨相互作用強度的變化.

圖1 雙原子的兩種隧穿過程:單原子次序隧穿及兩原子配對隧穿.本圖摘自參考文獻[25]Fig.1.The loss processes include two tunneling processes of two atoms out of a metastable potential:subsequent singleparticle tunneling and direct pair tunneling (Reproduced with permission from Ref.[25]).

2.3 雙阱中的兩個費米子

實驗上雙阱可以由兩束激光通過高分辨率的物鏡聚焦產生,通過聲光偏轉器獨立地控制兩束激光的強度和位置,可以調節雙阱的隧穿耦合系數J和兩阱之間的偏差.雙阱是構成光晶格的基本單元,文獻[27]介紹了半滿填充時Fermi-Hubbard模型的基本構建塊的實現,即在雙阱中態和態原子形成的自旋單態.在Hubbard模型體系,兩個粒子的空間波函數可以由基矢展開,其中和分別表示單粒子在左阱和右阱的基態.通過對角化對稱雙阱在雙模近似下的哈密頓量,可以得到四個本征態,其本征能量分別是,這里c 是依賴隧穿能J和相互作用強度U的,并且這兩個態都是滿足交換對稱的.文獻[27]給出了實驗結果:基態a的雙占據概率隨著排斥相互作用的增加而增加,第二激發態c則相反,雙占據幾率隨著相互作用的增加而減小.b和d這兩個態的占據概率則不依賴于相互作用強度.d是交換反對稱的態,其占據概率不隨相互作用強度改變.但是b是交換對稱的態,實驗中并沒有給出這個態的占據概率隨相互作用強度的改變.另一方面,從這幾個態的宇稱對稱性來看,a和c是偶宇稱態,b和d是奇宇稱態.雙模近似下b是一個兩粒子的NOON態,是量子力學兩體的最大糾纏態.

為了研究兩個粒子在雙阱中的隧穿動力學.實驗上首先將兩個原子制備到態,然后迅速將勢壘降低到可以使原子在雙阱中來回隧穿.為了觀察動力學的結果,在演化的不同時刻,迅速增加勢壘的高度使原子在雙阱中的空間分布鎖定,然后通過熒光譜測量每個阱中原子的個數,重復測量多次得到每一時刻的占據概率.實驗可以給出不同參數下占據概率隨時間的振蕩圖像,也可以將原子制備到系統的本征態,如基態、激發態,探測兩個粒子在不同阱的概率和兩個粒子在同一個阱的概率,得到相互作用強度對雙勢阱的本征態以及占據概率的影響.

2.4 少體到多體: 觀察費米海的形成

知道一個物理體系什么時候可以具有宏觀特性并且可以用多體理論很好地描述是非常困難的.一維冷原子的少體實驗[26]通過精確控制單雜質系統中全同費米子的數目來研究從少體到多體的跨越.首先制備一個 N+1 個粒子的系統,其中 1 個雜質粒子和N個囚禁在細長光偶極阱基態的全同粒子之間存在排斥相互作用.實驗上將超冷費米子原子制備到兩個精細態來實現這樣的系統,這里雜質粒子處在態,全同粒子都處在態.為了探測這個系統,實驗上主要測量雜質和全同粒子間的相互作用能隨多數粒子數的變化.相互作用能的測量可以通過RF(radio frequency)脈沖改變雜質粒子的內態來實現.如果沒有全同粒子的存在,轉變發生在頻率,對應雜質粒子初末態超精細能級差.對于有N個全同粒子存在的情況,雜質粒子和全同粒子之間的相互作用引起一個的頻率移動.對于給定的相互作用強度,相互作用能為.

每個全同粒子的添加都會增加與雜質粒子相互作用的原子數目,因此隨著粒子數的增加,√相互作用能是增加的.對于弱相互作用,滿足.當時,是發散的.因此,通過自然能量標度重新定義相互作用能,無量綱的相互作用能為,這里是全同原子的費米能.由于只考慮相互作用能,因此忽略零點動能,這意味著對于諧振子的情況.為了補償由于增加粒子引起的密度改變,引入無量綱的排斥相互作用參數>0.為了判斷系統是否達到多體極限,實驗的數據要和兩種極限情況比較,一種是N=1 的情況,另一種是的情況.前一種情況的相互作用能可以通過兩相互作用原子的精確解得到,后一種情況是多粒子極限,即單個雜質粒子浸入到無窮多個粒子形成的費米海中.對于=0,相互作用能為0.對于,系統達到費米化極限,雜質粒子和N個全同費米子相互作用的能量與N+1個沒有相互作用的全同粒子的能量相同,因此這種情況的相互作用能與費米能量是相同的.N=1 和兩種極限情況在時結果是一致的.比較理論和實驗的結果,可以發現時的相互作用能和無窮多個粒子情況符合很好,也就是說,就已經體現了多體的特性.

2.5 一維勢阱中的反鐵磁Heisenberg自旋鏈

實驗[28]報導了個自旋向上的粒子和個自旋向下的粒子在一維勢阱中如何實現Heisenberg自旋鏈.實驗中研究的系統有.這些體系的基態在強相互作用區域都表現出反鐵磁態的特征.實驗上通過兩個獨立的測量來判斷系統是否處于反鐵磁態:利用隧穿技術探測自旋鏈最外邊粒子自旋的方向,以及利用波函數在單粒子能級的投影探測自旋向下粒子在體系中的空間波函數.

在準一維的系統中可以通過磁Feshbach共振和束縛誘導共振,將不同組分間的一維相互作用強度調到共振區域,即費米化區域,此時相同自旋組分的散射是被禁止的.在費米化區域,原子之間是不可穿透的,因此原子在勢縱軸方向的排序是固定,這樣就可以通過隧穿確定最外邊原子的自旋方向.傾斜勢阱,最外邊的原子會隧穿出去.通過探測勢阱中剩余自旋向上原子的個數,來判斷隧穿出去的原子的自旋,重復多次測量,計算概率,與理論結果比較.例如,對于系統 (2,1）,其基態為,自旋向下粒子隧穿出去的概率為.在實驗中由于要加磁場梯度,因此實驗結果要考慮外加磁場梯度使外勢不對稱引起的變化.通過以上的測量計算就可以判斷是否處在反鐵磁態.對于強相互作用系統,相對坐標在雜質處會產生一個尖峰,這個尖峰會導致更高能量的能級占據.一個態空間波函數越對稱,尖峰就會越多.因此單粒子能級占據數的分布直接反應了系統自旋的結構.不引入外勢的情況下,兩分量間的強相互作用就可以使自旋鏈達到穩定,這使得在非格點模型中制備自旋鏈成為可能,也為磁學性質的研究提供了一個新的平臺.

3 一維冷原子少體可解模型

量子力學中只有屈指可數的幾個問題是可以嚴格求解的,其中應用最廣的例子之一是諧振子勢阱中的單個粒子.考慮相互作用的兩體問題可精確求解的則更少,特別地,氫原子中由于庫侖相互作用只和相對坐標有關,引入相對坐標和質心坐標可將動能部分分離變量,描述質心運動的方程是一個自由粒子的能量本征方程,而描述相對運動部分的方程形式上與單體波動方程完全一樣,兩體問題于是簡化為單體問題.實驗上使用激光冷卻和蒸發冷卻技術實現的簡并原子氣體需要將原子囚禁于外勢場中,這些囚禁系統中的相互作用所起的作用與自由空間中的超冷碰撞不同.在自由空間中,通過微分散射截面和碰撞相移因子來探測兩原子間的相互作用,而在存在囚禁勢的情況下這些物理量都沒有了意義,因為囚禁系統中無法構造入射態和出射態的漸進行為.相反,在囚禁勢中相互有作用的多原子系統的特征在于其離散能譜以及能級間的躍遷矩陣元.下面簡單介紹幾種一維囚禁勢阱中嚴格可解的相互作用少原子體系的離散能譜及相關的動力學結果,該體系的哈密頓量為

3.1 Bethe Ansatz方法簡介

對于多組分系統,粒子具有內部自旋自由度,S 矩陣通常是算符,滿足Yang-Baxter方程

該方程是Yang[39]和Baxter[40]在研究一維勢相互作用費米氣體模型和二維格子統計模型時分別提出的.其含義是系統從初態到末態有兩種途徑,這兩種散射過程是等價的.(4）式是周期性邊界條件系統可積的條件.根據Yang-Baxter方程,得到轉移矩陣,這里Lax算符形式與散射矩陣相同:

3.2 諧振子勢阱中的兩粒子問題

1998年Busch等[31]給出了兩個冷原子在諧振子勢中的精確波函數和解析解.為了避免處理真實原子間相互作用的困難,在稀薄原子氣體中通常采用零程的點狀勢將原子間相互作用近似為接觸相互作用,一維系統中只含有簡單的項.質量為m的兩個原子在頻率為的一維諧振子勢中的運動由(2）式中描述的哈密頓量,其中

圖2 三種相互作用的兩原子系統的能量E與相互作用強度g的關系:(a)諧振子勢阱中的兩原子,黑實線和紅虛線分別表示相對運動奇宇稱和偶宇稱波函數所對應的能量;(b)周期邊界條件下兩異核原子,黑實線和紅虛線分別表示質量相等兩原子和質量比為2.175情況下對應的能量;(c)雙勢阱中相互作用兩原子的奇宇稱態,一維無限深方勢阱中心為一個強度為d=0.5的 勢壘劈開,黑實線和紅虛線分別表示準動量為實數的原子本√征態和準動量為復數的分子態對應的能量.這里能量的單位分別是,相互作用強度g的單位分別是Fig.2.Energy spectrum of three types of interacting two-atom system:(a)Two atoms in a harmonic oscillator potential.Black solid lines and red dashed lines are odd parity and even parity energy level respectively;(b)two heteronuclear atoms in a ring trap.Black solid lines and red dashed lines are energy levels for equal mass and mass ratio =2.175respectively;(c)two atoms in a -split hard-wall double well.Five lowest odd parity levels for barrier height d=0.5.Black solid lines and red dashed lines are the bound states for atoms with real-valued quasimomentum and the molecule states with complex-valued quasimomentum respectively.

Rubeni等[75]用變分法對一維諧振子勢阱中兩相互作用費米子的基態波函數進行了研究,但其試探波函數存在缺陷,即在邊界處一階導數不連續,Liu等[76]改進了該變分法方案得到了關于動量的一個限制條件,該條件類似于 Bethe ansatz方程,但是與邊界條件無關,結合變分法和波函數及其一階導數的連續性條件得到的基態能量和精確結果符合,給出了更為合理的基態波函數,可以作為兩原子亞穩態隧穿的初始波函數.

3.3 周期邊界條件下兩異核原子的解析解

冷原子混合物體系是不同質量原子的混合,實驗 上 已 經 成 功 制 備 了40K-6Li,40K-87Rb,6Li-23Na等異核系統[77–79].異核費米子的超流性質、配對機制以及異核分子的形成等新現象得到廣泛研究[80–82].在異核系統中,一個新的自由度——質量比表征了原子混合物體系的特性,誘導了異核模型中新的物理效應.這里介紹一種精確求解周期邊界條件下兩體相互作用異核系統的精確求解方法[83],其關鍵在于較為普適的波函數假設.

具有接觸相互作用的兩個異核原子在周期邊界條件下可以看作原子囚禁在一維環狀的勢阱中,在哈密頓量(2）式中取

異核系統的動量分布與全同粒子系統區別很大,因為系統不再有交換對稱性.質量比為時的動量分布表明[83],對于全同粒子系統,每個粒子的動量分布相同,動量位于或者0的概率相同;對于異核系統,質量大的粒子以為中心,質量小的粒子則集中在0處,從而保證總體能量更低.

3.4 雙原子在亞穩態勢阱的隧穿

冷原子少體實驗的準確制備使得在少體系統中研究隧穿問題成為可能.隧穿理論的兩個主要模型包括亞穩態勢阱和雙勢阱.在這兩種勢阱中研究隧穿已有很長的歷史,最新進展包括隧穿的干涉效應以及共振隧穿等[24,25,84].亞穩態勢阱的量子隧穿衰變是早已熟知的量子現象,如核衰變、量子成核等,這些模型都是在單粒子圖像上建立的.這里主要介紹相互作用的雙原子體系在亞穩態勢阱的隧穿問題,哈密頓量中的外勢場如下

圖3 (a)衰減時間隨磁場的變化.黑色虛線和實線分別是WKB和考慮準粒子波動方程的修正的結果.綠色線表示通過微擾論考慮非諧項貢獻的結果;(b)相互作用強度和隧穿能量隨磁場的變化.本圖摘自參考文獻[33]Fig.3.(a)Decay time vs magnetic field B.The points with error bars are the experimental data[24],the dashed and solid lines are,respectively,the WKB and QPWF predictions. The green light gray lines include the perturbation theory correction to the tunneling energy ;(b) interaction strength (red gray curve) and tunneling energy(black and green light gray curve)vs B(Reproduced with permission from Ref.[33]).

3.5 雙阱中少體玻色系統的基態性質及隧穿動力學

雙阱是研究超導比特Josephson振蕩[86]和玻色愛因斯坦凝聚中自囚禁現象[87–89]的典型模型.受實驗啟發,對于雙阱的研究,目前大部分的工作都是基于雙模近似[90,91],或者是數值求解[92,93,94],沒有嚴格解的結果.Murphy等[95]研究中間帶有勢壘的一維簡諧勢阱中一對超冷玻色原子的基態和低能激發態性質.通過計算約化單粒子密度矩陣、動量分布和雙粒子糾纏來完整表征基態性質,得到了無限排斥相互作用Tonks-Girardeau極限的幾個解析表達式,并通過數值解處理了有限粒子間的相互作用,這里空間坐標的離散化是通過分立變量表象(DVR)做到的.雙阱中的對相互作用形成了周期勢中多體系統的基本構件,勢壘的添加使得系統變得不平庸,由于中間勢壘的存在,勢壘兩邊的粒子可以發生隧穿,人們在雙阱中發現了約瑟夫森振蕩和自束縛現象等.文獻[96]研究了束縛在中間帶有勢壘的無限深方勢阱中的少體玻色氣體的基態性質.利用玻色子與費米子的對應關系構建了Tonks-Girardeau氣體的基態波函數,研究了勢壘兩邊的關聯特性以及這種特性和粒子數目宇稱的關系,并且運用精確對角化方法計算了在任意勢壘高度和原子間相互作用強度下系統基態的密度分布、占據數分布、動量分布等.計算表明動量次峰峰值隨著勢壘的升高而增大,隨著原子間相互作用強度的增大而減小.該模型甚至可以被推廣到玻色費米混合物系統[97],在動量分布中次峰的出現顯示了勢壘兩邊有著顯著的關聯.

Liu和Zhang[98]給出了雙阱中的BA嚴格解,在嚴格解的基礎上研究了其隧穿動力學問題.考慮N個質量為m的玻色子在中間加勢壘的一維無限深方勢阱中運動,(2）式的系統哈密頓量中

區別于(3）式中的BA波函數,這里引入額外的求和指標n,其物理意義為位于勢壘左邊的原子個數.用下標n來標記這一塊(block)區域,(17）式中對n的求和包含所有可能的 N+1個塊.另外表示粒子向右或向左運動,在勢壘處粒子發生反射.因此對于固定的塊區域n,開邊界條件對于左邊界和右邊界是不同的,在左阱的粒子()只能感受到左邊的邊界條件,在右阱的粒子()只能感受到右邊的邊界條件0.于是存在兩個反射矩陣和分別在左右邊界上反射.

至于兩個粒子的散射,注意到僅當相鄰兩個粒子的坐標位于雙阱的同一側時才能發生散射.由相互作用條件導致波函數相對坐標的一階導數不連續,可以得到散射矩陣.根據位于中心處勢壘的階躍條件連接塊區域和n,可以得到第n個粒子和勢壘的散射矩陣.存在勢壘時準動量滿足的BA類型的方程為

準動量要同時滿足(18）式和(19）兩式,通過數值求解得到N=2即兩粒子在雙阱中的能譜圖.圖2(c)展示了d=0和2的能譜隨著相互作用強度g的變化.在無勢壘的情況下奇宇稱和偶宇稱的解析解都存在,除g=0外該方法只找到了奇宇稱的解.對于 g>0 的情況,準動量的解都是實數,對于 g<0 的情況,準動量有兩種解,實數解對應亞穩態,互為共軛的復數解對應分子態.

精確解模型得到的能譜可用來研究兩個原子在雙阱中的布局數及隧穿動力學.隨著排斥相互作用的增加,雙占據的概率減小,單占據概率則增加,強相互作用時雙占據和單占據的概率都接近50%.將兩個原子制備在一個無限高勢壘的NOON態(數值上取 d=300),然后將勢壘的強度突然降低到 d=0.5,原子在兩阱間隧穿.圖 4 給出了兩個原子在同一個阱中的占據概率隨時間的演化.隨著排斥相互作用強度從弱到強,雙占據概率振蕩過程的振幅逐漸增強.強排斥相互作用使得振蕩不再完整,雙占據概率不能再100%回到初始NOON態.圖4(b)展示了相互作用強度分別為g=1.5和20的兩體密度分布在一個周期內的變化.

3.6 強相互作用系統的等效自旋鏈

強相互作用系統有很豐富的物理,但通常情況下求解是非常困難的.然而有一種情況除外,即相互作用趨于無窮大時.對于無窮大相互作用極限的情況,不論是玻色子還是費米子都表現出無自旋費米子的行為,每個粒子占據不同的位置,不可穿透,也就是說具有了費米化的特點,因此相互作用趨于無窮時的系統是容易處理的.對于強相互作用區域,相互作用強度為有限值的連續系統可以等效成自旋鏈模型,在實驗上通過自旋1/2的費米子系統已經實現了海森堡自旋鏈.一個重要的區別在于外勢的不同會導致格點間的耦合強度的非均勻性.比如對強相互作用極限下的自旋1/2系統,無窮大相互作用附近的微擾計算可以將連續模型的哈密頓量等效為一個自旋鏈模型

圖4 (a)兩個原子在同一個阱中的占據概率隨時間的演化圖.黑實線,藍虛線,紅點線分別表示不同的相互作用強度g=0.5,1.5,20.在 t=0 時刻勢壘高度突然從 d=300 降到 d=0.5.(b)g=1.5 和 20 時一個周期里不同時刻的密度分布圖,這里坐標 和 的單位是 .本圖摘自參考文獻 [98]Fig.4.(a)Tunneling dynamics of the occupation probability of finding both atoms in the same well for g=0.5(black solid line),g=1.5(blue dashed line),and g=20(red dotted line).The barrier is abruptly lowered from a height d=300to0.5at time t= 0.(b)the two-body density functions at different times t,for g= 1.5 and 20,respectively.Here the coordinates and are in units of (Reproduced with permission from Ref.[98]).

4 結 論

量子少體問題是當前研究的一個熱點問題.少體系統的研究對于理解微觀現象有很大的幫助,也為研究多體系統奠定了基礎.隨著冷原子實驗迅速發展,實驗上的精確操控,少體系統的研究成為目前關注的熱點.本文簡單介紹了實驗和理論兩方面的進展.由于目前冷原子實驗的精確操控,少體實驗可以準確地觀察到一些重要的物理現象,比如強相互作用時的費米化,格點模型中的量子相變,以及少體到多體轉變等等.這些基本物理現象在少體實驗中的實現讓我們看到了少體研究的重要性.對于少體的理論研究不同于多體物理,基于精確可解模型的一些重要結果,包括亞穩態勢阱中相互作用原子的衰減率以及雙勢阱中的相互作用原子的隧穿動力學研究,使得該研究領域富有挑戰性又對理解單體到多體系統的物理性質提供了過渡.

感謝陳星博士在關于異核系統精確解方面的討論,以及昌茂林同學在論文撰寫方面提供的幫助.