動力學淬火過程中的不動點及衍生拓撲現象*

鄧天舒 易為

(中國科學技術大學,中國科學院量子信息重點實驗室,合肥 230026）

本文對近兩年來有關淬火動力學過程中拓撲現象的研究做簡要綜述.這些動力學拓撲現象被動力學過程中的衍生拓撲不變量保護,與淬火前后體系的拓撲性質有密切關系.基于人工量子模擬平臺的高度可控性,已在諸如超冷原子、超導量子比特、核磁共振、線性光學等眾多物理體系中,通過對人工拓撲體系動力學過程的調控,觀測到如動力學渦旋、動量-時間域的Hopf映射及環繞數、拓撲保護的自旋環結構、動力學量子相變、動量-時間斯格明子等諸多動力學拓撲現象.其中某些拓撲結構還可以在非幺正動力學淬火過程中穩定存在.這些研究將人們對拓撲物相的認識和研究從平衡態推廣到非平衡動力學領域,具有重要的科學價值.

1 引 言

對拓撲相與相變的研究是現代物理的重要方向之一.在傳統的金斯堡-朗道相變中,量子相與體系的對稱性有深刻的關系,量子相變由局域序參量刻畫,同時伴隨著對稱性的破缺.拓撲相和相變與此截然不同:拓撲相變一般不伴隨對稱性的破缺,拓撲相則與體系基態波函數在希爾伯特空間的幾何性質相關并由拓撲不變量刻畫[1,2].從人們發現量子霍爾效應至今已有三十余年了,此間人們對無相互作用體系中拓撲相的理解和分類日趨完善,對有相互作用體系中拓撲相的認識也有了長足進展.近年來拓撲物態研究領域的一個新興方向是在凝聚態物質之外的體系中尋找、刻畫拓撲相及與拓撲相關的現象.隨著超冷原子、線性光學等量子模擬平臺的蓬勃發展,具有拓撲能帶及拓撲特性的人工拓撲體系相繼在這些平臺上得以實現[3?11].此外,人工拓撲體系的高度可控性使對動力學過程及非厄米體系中拓撲現象的實驗研究成為可能[7?11],而這也驅動了相關領域的理論研究[12?16].值得強調的是,動力學過程及非厄米體系中的拓撲現象在傳統凝聚態體系中一般很難被實現.因此各量子模擬平臺上的人工拓撲體系具有重要的價值.

在這一背景下,本文簡要綜述近年來人們對淬火動力學過程中拓撲現象的理論和實驗研究.所謂淬火,即體系由初始哈密頓量的本征態出發,在末態哈密頓量作用下演化的動力學過程.對于拓撲體系,一個重要的問題是該體系的淬火動力學過程中是否也會出現受拓撲保護的拓撲現象?更進一步,如果初態和末態哈密頓量具有不同拓撲性質的能帶,體系淬火過程中的拓撲現象是由初態還是末態哈密頓量的拓撲性質決定?對這些問題,一個最直接的回答來自于對體系瞬時波函數幾何性質的刻畫.文獻[17,18]研究了幾種簡單拓撲體系在淬火過程中瞬時波函數的拓撲不變量,結果表明瞬時波函數的拓撲不變量不隨時間變化,即淬火過程的拓撲性質完全由初始哈密頓量決定.由于這些工作中考慮的體系都是無相互作用(或者平均場意義下無相互作用)的厄米體系,淬火動力學時間演化相當于對初始態做局域幺正變換.此時,由于局域幺正變換不破壞保護拓撲性質的對稱性,瞬時態的拓撲不變量必然不變.然而,人們發現在淬火過程中會出現衍生的動力學拓撲現象,這些拓撲現象或與初態和末態哈密頓量的拓撲性質相關,或由衍生的動力學拓撲數保護,并在動力學過程中表現出可觀測效應[19?31].有趣的是,即使基于同一淬火過程中觀測到的拓撲現象,也可以構造不同的衍生拓撲結構加以解釋.這一方面說明了淬火動力學過程中豐富的物理內涵,另一方面也會引發關于動力學拓撲現象普適描述的思考.

冷原子體系的高度可控性使其成為研究淬火動力學過程中拓撲性質的理想平臺之一.2017年初，德國漢堡大學的研究組通過周期驅動光晶格,在冷原子中實現了基于Floquet Haldane模型的淬火過程,并利用動力學量子相變理論對淬火過程中的動力學渦旋進行了刻畫[24].此后,清華大學的研究組從理論上研究了淬火動力學過程中的衍生拓撲結構,利用Hopf映射和環繞數重新解釋了漢堡實驗,并把環繞數與淬火前后哈密頓量的靜態拓撲性質聯系了起來[19].這一理論隨后被漢堡大學研究組的另一實驗所證實[25].與此同時,來自中國科學技術大學和北京大學的研究組在對拉曼晶格上的冷原子氣體進行淬火時發現了動力學過程中原子自旋分布中的環形結構,并通過能帶反轉面的理論把環的出現與靜態哈密頓量的陳數聯系了起來[22,23,26].這些實驗充分反映了淬火動力學中衍生拓撲現象的普遍性和豐富性.除冷原子氣體之外,淬火過程中的動力學拓撲現象也在超導量子比特、單光子量子行走等量子模擬平臺上被實驗觀測.目前這些模擬平臺都還是通過操控單量子比特模擬費米體系拓撲模型的淬火過程,其優勢是更易于進行實驗操控和態重構,以及可以方便的實現耗散以研究非幺正動力學淬火過程.

我們將從幾個不同的方面介紹這一領域的一些最新進展,著重描述與拓撲保護的動力學不動點相關的衍生拓撲結構.所謂動力學不動點,即在這些參數點上體系不隨時間演化.而拓撲保護的動力學不動點的存在性與淬火前后靜態哈密頓量的拓撲性質直接相關.由此,拓撲保護的動力學不動點為這些動力學拓撲現象提供了一個普適的基礎,并成為連接動力學拓撲現象和體系靜態拓撲性質的橋梁.

2 動力學量子相變及動力學拓撲序參量

我們首先介紹動力學量子相變及其與拓撲保護不動點的關系.先回顧動力學過程中Loschmidt回波的定義.Loschmidt回波是量子體系動力學演化中的一個重要可觀測量,它描述體系初態在演化過程中的重現行為.如體系的時間演化由決定,則Loschmidt回波可表示為

從上述定義可知,動力學相變發生在瞬時態和初態正交的時刻,此時動力學自由能非解析.與熱力學相變不同,動力學量子相變的臨界點可以在體系演化時周期性地出現,而不是通過調節體系哈密頓量參數達到.動力學量子相變在多大程度上可以定義為相變仍然是有爭議的話題.比如動力學量子相變是否繼承了傳統熱力學相變中重要的性質,如在臨界點附近的標度行為,相變普適類等.

與此同時,人們發現動力學量子相變有深刻的幾何溯源,它的出現可以由動力學拓撲序參量聯系起來[35].在這個意義上,動力學量子相變可以看作是動力學過程中的衍生拓撲現象.動力學序參量的定義與所謂的Pancharatnam幾何相位有密切聯系.Pancharatnam 相位是 Loschmidt振幅的輻角中與動力學相位無關的部分,源于體系動力學演化過程中的幾何性質.以無相互作用的半滿晶格模型為例,由于晶格平移對稱性,不同晶格動量子空間的動力學演化解耦.此時,Pancharatnam 幾何而為的 輻 角 .體 系 的 動 力 學 相 位 為的Bloch哈密頓量(假設不含時).

在拓撲不動點的基礎上,可以進一步定義動力學拓撲序參量.對于一維體系,動力學拓撲序參量可以寫作

從上述討論可以看出,動力學量子相變及動力學拓撲序參量與拓撲保護的不動點有深刻聯系.基于這一認識,下面我們將進一步揭示動力學量子相變與其他衍生動力學拓撲不變量的關系.

3 動力學拓撲不變量

我們在第2節討論了拓撲體系淬火過程中的拓撲不動點.在拓撲不動點上,Pancharatnam相位在時間演化過程中恒為零.相位在拓撲不動點消失的本質原因在于這些不動點同時也是動力學不動點,即在這些參數點上體系的態不隨時間演化.基于這一認識,人們發現可以基于不動點在動量-時間的二維參數空間里定義衍生動力學拓撲不變量[20,21,27,28,31].這些動力學拓撲不變量跟同樣基于不動點的動力學量子相變、動力學拓撲序參量以及淬火前后哈密頓量的拓撲性質等緊密關聯.目前文獻里這方面的工作主要集中在一維兩能帶拓撲體系的淬火過程,我們也將具體介紹這類體系中的不動點結構和動力學拓撲不變量.高維多帶體系的動力學淬火過程中的拓撲結構會更加豐富,但仍有待進一步研究.

對于無相互作用且具有晶格平移對稱性的體系,不同動量部分的動力學解耦.因此,一維兩能帶拓撲體系的普適Bloch哈密頓量可表示為

如圖1所示,淬火動力學過程可以形象的表示為瞬時態矢量從初態出發,在Bloch球面上繞軸的轉動.這里有兩種值得注意的特殊情況.

圖1 Bloch 球上的動力學演化 (a)態矢量在 Bloch 球上繞 運動;(b)動力學不動點對應于 ;(c)臨界點對應于.實線代表 (綠色) 與 (紅色),虛線代表態矢量;假設初態處于 基態上,即 時態矢量與 方向相反Fig.1.Visualizing dynamics on the Bloch sphere:(a)State vector revolving around the axis;(b)illustration of fixed points when ;(c)illustration of critical points with .

由此可見,拓撲不動點的存在與動力學量子相變臨界點的存在有直接關系.同時,基于這些動力學不動點,我們可以在衍生的動量-時間空間內定義動力學拓撲不變量.由于每個動量上的態演化都是周期性的,態矢量的演化在動量-時間參數空間內的軌跡是垂直于動量軸的圓.而在動力學不動點,態的軌跡是動量軸上的一個點.這樣,任意兩個動力學不動點間的態演化都可以映射到一個Bloch球上.我們由此可以定義衍生的動力學拓撲陳數

圖2 淬火前后哈密頓量具有不同拓撲數時的典型斯格明子結構.黑色箭頭為自旋在平面內方向,背景顏色對應自旋在與平面垂直方向上的分量大小,藍色對應向內,黃色對應向外.豎直虛線為不動點位置,紅色實線表示不同動量 點的周期Fig.2.Momentum-time skyrmions when pre- and postquench Hamiltonians possess different winding numbers.

4 非厄米體系中的非幺正淬火過程

前述的動力學拓撲結構也存在于非厄米體系的非幺正淬火過程中,前提是體系的動力學演化仍然是相干的[41].這一前提滿足的條件體系具有宇稱-時間對稱性.一般而言,非厄米哈密頓量的本征值不是實數.但如果該哈密頓量有宇稱-時間對稱性,即,且本征態也為算符的本征態時,該本征態對應的哈密頓量本征值為實數[42?44].這里為宇稱算符,為時間反演算符.如果宇稱-時間守恒的哈密頓量所有本征值均為實數,則體系處于宇稱-時間對稱守恒相;反之,如哈密頓量某些本征值非實數,體系處于宇稱-時間對稱自發破缺相.

這里我們考慮最簡單的宇稱-時間守恒的拓撲體系,一維宇稱-時間守恒的Su-Schieffer-Heeger(SSH)模型[45,46].

如圖3(a)所示,該模型與標準SSH模型的區別在每個格點上均存在增益或損耗項.體系的Bloch哈密頓量仍然可記為,其中撲數可由全局貝里相對應的繞數刻畫

圖3 非厄米 SSH 模型及其拓撲相圖 (a)非厄米 SSH 模型.在厄米SSH模型的基礎上,每個格點上均有增益或損耗;(b)體系拓撲相圖.實線為拓撲邊界,虛線為宇稱-時間對稱與對稱破缺區域的邊界. , 為SSH模型的躍遷系數, 為增益損耗系數, 為繞數Fig.3.Non-Hermitian SSH model and its topological phase diagram:(a) Non-Hermitian SSH model;(b) topological phase diagram.

當末態哈密頓量處在宇稱-時間守恒區域時,瞬時態矢量在Bloch球上繞著南北極旋轉.此時,Bloch球南北極對應的動量就是動力學不動點.當末態哈密頓量處在宇稱-時間對稱自發破缺區域時,瞬時態矢量在Bloch球上會沿著大圓漸近趨近北極.此時不存在動力學不動點.基于這一圖像,我們可以在動力學不動點存在的時候構造動力學拓撲不變量.事實上,可以證明當體系在宇稱-時間守恒的不同拓撲相間淬火時,不同種類的不動點(即分別對應于南北極的不動點)會成對出現.此時,所有幺正淬火演化過程中的動力學拓撲構造和相關可觀測量也會存在.而只要淬火前后的哈密頓量之一處于宇稱-時間對稱自發破缺區域,不動點以及動力學拓撲構造就不一定存在了.需要強調的是,在非幺正動力學淬火過程中,不動點和動力學量子相變的臨界點不再出現在布里淵區的高對稱點.這會導致多個臨界時間尺度的出現.如圖4所示,此時動力學量子相變的發生會存在多個周期,同時也會存在多個對應的動力學拓撲序參量.

圖4 非厄密SSH模型淬火中的典型動力學自由能與動力學拓撲序參量 (a)動力學自由能 ;(b)動力學拓撲序參量 .在非厄米淬火過程中存在兩個臨界時間尺度及兩個動力學拓撲序參量Fig.4.Dynamic free energy and dynamic topological order parameter in the quench dynamics of non-Hermitian SSH model: (a) Dynamic free energy ;(b)dynamic topological order parameter .

實驗上,具有損耗-增益的宇稱-時間守恒非厄米體系在光波導,微波腔陣列,線性光學等多中物理體系中實現.在一些難以實現增益的物理體系如冷原子氣體、單光子量子行走中,可以實現基于純損耗的被動宇稱-時間守恒非厄米體系[49,50].被動宇稱-時間守恒非厄米體系雖然不會有純實數的本征譜,但體系的能譜及動力學性質可以方便地映射到基于損耗-增益的主動宇稱-時間守恒非厄米體系上.最近,動力學量子相變、動力學拓撲序參量、動力學拓撲不變量等衍生動力學拓撲現象已經在具有被動宇稱-時間守恒性質的單光子非幺正量子行走實驗里被探測到[31].

5 總結與展望

本文集中討論了幾種基于拓撲保護動力學不動點的動力學拓撲結構的構造和關聯.由于相關動力學拓撲不變量的定義都基于不同類拓撲不動點的存在,而后者又與靜態哈密頓量的拓撲性質密切相關,拓撲保護的動力學不動點成為有機聯系各種動力學衍生拓撲現象及平衡態拓撲相的核心要素.目前對于動力學拓撲現象的討論多數集中在低維(一維或者二維)兩能帶五相互作用體系的突變淬火過程.高維多能帶拓撲系統淬火過程中會出現更豐富的拓撲結構,如何系統的刻畫它們是今后研究的一個方向.除本文討論的衍生拓撲現象以外,其他已知的動力學拓撲結構如Hopf映射、環繞數、基于能帶反轉面的拓撲環等與動力學不動點及動力學量子相變臨界點的關系則需要進一步研究討論.因此,關于動力學拓撲結構的更普適的描述是個亟待解決的問題.