探究課堂教學線段問題中的數學思想
——以由平行線段截的比例線段為案例

☉浙江省余姚市姚北實驗學校 陳迪輝

前不久聽了八年級趙老師的一節課，感受至深，課后學科組的交流反饋也給予很高的評價.再次打開手機觀察課堂視頻片段，許多感想油然而生，于是，筆者將這些感想流于筆端.

一、課堂整體結構與效果，值得點贊和學習

趙老師的這節課是平行線段成比例章節的重點，這節課也是探究相似三角形的重點、基本的理論出發點.正如趙老師所說：“本節課的知識內容不但是為了讓學生能夠直接判定線段成比例，而且能夠掌握當不能直接證明要證的比例成立時，可以采用這個定理把兩條線段的比遷移成另兩條線段的比來證明，是一種數形結合的數學思想”.從課堂教學來看，趙老師切實做到了這一點，她在引導學生了解平行線分線段成比例定理的證明基礎上拓寬了定理的內容；在教會學生應用定理證明線段成比例、平行等問題基礎上升華了形與數轉化的有關計算.她在課堂上的精彩之處在于能夠恰當運用類比，讓學生在類比中獲得啟發、在探究中獲得發現，這些都是值得點贊和學習的.讓我們再次走進趙老師的課堂吧！

二、課堂整體設計與實錄

1.課堂導入

師：請同學們回答下列問題：

（電子白板展示）（1）平行線等分線段定理的具體內容是什么？

學生共同回答.

（2）如圖1，l1∥l2∥l3，若AB=理方法.

圖1

學生舉手、解答.

課堂設計感悟：趙老師從學生已經學習的平行線等分線段定理出發，創設問題情境，并讓學生用推理證明的方法導出“由平行線段截的比例線段”的課題.一方面檢查了學生對舊知的識記情況，另一方面讓學生集中精力，為展開新課做好了準備.

2.展開新課

師：再來討論一個問題，（展示）如圖2，l1∥l2∥l3，若AB≠BC，行猜想，然后進行分組討論.

圖2

生2：三條平行線截兩條直線，所截的對應線段_____.

師：（補充完整學生的猜想）請同學們分組討論這個猜想.

學生分組討論并進行證明，并對證明進行展示.

圖3

課堂設計感悟：從創設問題情境到新課的展開，趙老師一氣呵成.這也為后面的類比做好鋪墊，通過步步為營的方法讓學生發現“平行線分線段成比例定理”，學生親歷了定理的發現過程，自然明確定理真正的含義和推理.還有通過教師的評價，學生對知識有了深刻的理解，盡管不需要學生掌握定理完整的證明過程，但仍然要給學生灌輸任何猜想都需要證明的理念，這些都是值得每位教師學習的地方.

3.深化知識

（電子白板展示）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.

師：在圖2中，這個定理中什么是“對應線段”？（提示：想一想全等三角形的對應邊）

生：（展開討論）在圖2中，AB對DE、BC對EF.（補充）AC對DF.

師：怎樣應用幾何用語表達平行線分線段成比例定理？

學生自主表達、舉手.

教師巡視、指導，收集不同的表達形式，用投影展示.

……

課堂設計感悟：課堂上趙老師為了讓學生深刻理解平行線分線段成比例定理，設計了這部分的問題.尤其是第二個問題，建立在學生理解什么是對應線段的基礎上，引導學生根據對應的線段寫出表達式.教師引導學生親歷用幾何用語表達定理的過程，這樣的做法有利于培養學生數學思維的靈活性和深刻性.

師：談談你對“平行線分線段成比例定理”與“平行線等分線段定理”的關系的認識.（組織學生分組討論）

學生有的從證明推導進行認識，也有的從比例的結果進行認識、交流.

師：平行線分線段成比例定理的“等量”關系和“不等量”關系有哪些？（組織學生分組討論）

學生形成結論，進行投影展示、交流.

師：平行線分線段成比例定理的內涵與外延是什么？

生：內涵是平行線的性質定理，外延是判斷線段是否成比例關系.

課堂設計感悟：課堂上趙老師設計的這三個問題，讓學生再次感悟從特殊到一般，然后從一般再到特殊的過程.這樣的做法就是為了讓學生能夠掌握數學的基本思想——數形結合；同時讓學生在結論反復變形和線段反復改變的過程中培養舉一反三的技能.尤其是設計的第二個問題，讓學生在圖形中找出定理的“等量”關系和“不等量”關系，并展示結果，讓學生有一種成功的自豪感，能樹立他們的自信心，激發他們勇敢探究數學奧秘的雄心壯志.

4.例題探究

（電子白板展示）

例1 如圖4，在△ABC中，DE∥BC，AD=m，DB=n，

學生練習并展示，略.

圖4

圖5

學生練習并展示，略.

課堂設計感悟：趙老師的課堂設計是對新知的一種鞏固與應用，讓知識發生正遷移.設計的例題不是很難，有代表性，尤其是例1采用了三角形的底邊平行線，體現了平行線分線段成比例定理的具體應用，做到了從理論到實踐的再認識，更顯示了數形結合的思想.

5.課堂練習（略）

6.課堂小結（略）

7.課后作業（略）

三、寫在最后

總之，趙老師的這節課，有渾然天成的感覺.課堂上學生積極思考，勇于探究，將動嘴、動手和動腦融為一體，讓學生真正明確了平行線分線段成比例定理的知識內容，也將數形結合的數學思想具體應用到知識的實處.同時，還有一點值得筆者學習的地方是，能巧妙地利用教材例題進行簡單改編，設置的環境從純理論變成了實際應用，充分說明趙老師有深厚的專業知識.我相信，“他山之石可以攻玉”，自己也能夠快速成長起來.