錯誤也是“財富”

☉山東省萊蕪市雪野中心中學 畢于茂

作為教師，都希望學生學習內容一聽就會，作業一做就對.然而，現實并非如此.在日常教學中，學生數學作業中經常會出現這樣或那樣的錯誤，其實這也正常，不經風雨，怎見得彩虹，這正是學生認知規律的體現.正如當代科學家、哲學家波普爾所云：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素.”那么，教師如何善待這些錯誤，將錯誤變廢為寶，讓錯誤成為“財富”？筆者結合初中數學教學實踐，談幾點做法與體會.

一、“誤”中有悟誠可貴

在數學教學中，作為教師，不能輕易放過學生的任何一個錯誤，沒有錯誤就沒有成功.讓學生自己發現錯誤，自己糾正錯誤，這才是學生糾錯的最高境界.教師可以將學生的錯解公布出來，作為第二次作業布置給學生，讓學生來一次糾錯大行動，這不僅符合初中生的年齡特點和認知水平，更能引發學生濃厚的興趣.

例如，在學習全等三角形時，筆者給學生布置了兩道全等三角形的判定與性質的證明題，收上來批閱的時候，發現學生的解題過程“大病沒有，小病不少”，為此，筆者張榜了兩個具有代表性的錯解，要求學生來個“捉錯大行動”

第1題：已知：如圖1，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，求證：∠D=∠E.

下面是小A同學的方法：

證明：在△ACE與△CBD中，AC⊥BC，DC⊥EC，則∠ACB=∠ECD=90°. 又AC=BC，DC=EC，則△ACE≌△BCD，則∠D=∠E.

圖1

圖2

第2題：如圖2，已知AC、BD交于點E，∠A=∠B，∠1=∠2.求證：AE=BE.

下面是小B同學的方法：

證明：在△ADC和△BCD 中，∠A=∠B，DC=DC，∠2=∠1，則△ADC≌△BCD.

則△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△ADE≌△BCE.

則AE=BE.

錯解張榜公布后，學生議論紛紛，躍躍欲試，都想做一回“捉錯英雄”，可有些學生就是找不出其中的錯誤.而班內堪稱“解題王”的王俊生同學，勇敢地揭下了榜，并且公布了自己的“戰果”.下面就是王俊生同學的糾錯戰果.

第1題：小A的證明似乎有理有據，但細心的你是否發現，上面的證明中，錯誤地應用了“SAS”，即∠ACB與∠ECD并不是這一對三角形中的內角，因此他用的是“歪理”.

正確證明：由AC⊥BC，DC⊥EC，得∠ACB=∠ECD=90°.則∠ACE=∠BCD.

在△ACE與△BCD中，AC=BC，∠ACE=∠BCD，DC=EC，則△ACE≌△BCD，則∠D=∠E.

感悟：全等三角形的判定定理是“法律”，證明三角形全等必須“遵紀守法”.

第2題：小A的證明中，將等式性質盲目地搬到了全等三角形中，這是完全錯誤的.

正確證明：在△ADC和△BCD中，∠A=∠B，DC=DC，∠2=∠1，則△ADC≌△BCD.則AD=BC.

在△ADE和△BCE中，AD=BC，∠A=∠B，∠AED=∠BEC，則△ADE≌△BCE.則AE=BE.

感悟：代數和幾何雖然有聯系，但它們之間也存在著很大的區別，我們不可不分青紅皂白而張冠李戴.

這種糾錯行動很特別，很有趣且很有效.從糾錯中引發學生的學習興趣，這遠比學生糾錯有意義得多.因此，善待學生的“錯誤”，如何把“錯誤”變成教學資源，是一個值得研究的問題.從中我們不難得到：錯誤取之于學生，又用之于學生，這樣組織學生改錯，往往會產生更好的糾錯效率，更能使學生有效地避免“重蹈覆轍”.

二、無中生“誤”情有原

常言道：防患于未然.又云：亡羊補牢，未為晚矣.意思是說，在問題沒有發生的時候，要有防范意識，即使發生了，只要以后多加注意，也沒有什么問題.其實，學生學習數學不就是如此嗎？作為教師，不鼓勵學生犯錯，應給學生防范錯誤支招.當學習了某個單元的知識后，教師可以讓學生自己去發現錯解，搜集錯解，找到錯誤的原因.

例如，在學習了因式分解后，我發動學生開展搜集因式分解的錯解行動，并要求給出正確解法，部分成果如下：

1.符號出錯

例1 分解因式：-ab（a-b）2+a（b-a）2-ac（a-b）2.

錯解：原式=a（a-b）2（-b+1-c）.

正解：原式=-a（a-b）2（b+c-1）.

2.公式用錯

例2 分解因式：4（2p+3q）2-（3p-q）2.

錯 解 ：原式=［4（2p+3q）＋（3p-q）］［4（2p+3q）-（3pq）］=11（p+q）（5p+13q）.

正解：原式=［2（2p+3q）］2-（3p-q）2=（4p+6q+3p-q）·（4p+6q-3p+q）=（7p+5q）（p+7q）.

3.分解不徹底

例3 分解因式：8a-4a2-4.

錯解：原式=4（2a-2a2-1）.

正解：原式=-4（a2-2a+1）=-4（a-1）2.

4.盲目展開

例4 分解因式：（m+n）4-18（m+n）2+81.

錯解：原式=［（m+n）2-9］2=（m2+2mn+n2-9）2.

正解：原式=［（m+n）2-9］2=［（m+n+3）（m+n-3）］2.

從學生搜集的錯解可以看出，錯解已成為一種“反面教材”，學生理解了出現錯解的原因，也就真正掌握了因式分解的內涵.這樣的搜集錯誤活動，有助于學生養成數學反思的好習慣，用批判的眼光看待錯解，更有利于學生數學學科核心素養的形成.

三、執“誤”探究價更高

愛迪生發明了電燈，經歷了無數次失敗，但他沒有停止試驗，依然默默探究.面對學生的錯誤，教師也應該引導學生像愛迪生那樣不畏艱難，從失敗走向成功，從數學學習的過程中，培養學生堅韌不拔的學習品質.

例如，有一次，筆者布置了這樣一道題：已知方程x2-mx+1=0的兩個實數根分別為x1、x2，求的最大值.

批閱作業的時候，筆者發現班級里八成的學生都是這樣解的：

解：因為方程x2-mx+1=0的兩個根分別為x1、x2，所以，由根與系數的關系有x1+x2=m，x1x2=1，所以（x1+x2）2-2x1x2=m2-2≥-2，所以的最小值是-2.

第二天上課，筆者提出疑問：兩個實數的平方和怎么是負數呢？學生面面相覷.

筆者追問：題目告訴我們，方程x2-mx+1=0有兩個實數根，這個條件你用了嗎？

學生恍然大悟，原來自己在解題時把隱含條件忘了.

錯誤原因找到了，學生訂正已不成問題.但我沒有到此為止，而是借題發揮，引導學生繼續探究.

探究2：設x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的兩個實數根，當m為何值時，x12+x22有最小值？請求出這個最小值.

探究3：已知關于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m-7=0有兩個負數根，那么實數m的取值范圍是______.

探究4：設m是不小于-1的實數，使得關于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有兩個不相等的實數根x1、x2.

探究5：實數k為何值時，關于x的一元二次方程x2-（2k-3）x+（2k-4）=0：

（1）有兩個正根？

（2）兩根異號，且正根的絕對值較大？

（3）一根大于3，一根小于3？

以上由學生錯解引發的探究，由淺入深，步步為營，不僅培養了學生思維的批判性，更培養了數學思維的深刻性，這正是教師所期待的理想效果.

馬克思曾言：年輕人犯錯連上帝也會原諒.因此，犯錯并不可怕，只要教師善待這些“錯誤”，用好這些“錯誤”，同樣可以成為學生的“財富”，也同樣可以成為教師教學的“寶貴財富”.