例析幾何證明中邏輯推理典型錯誤
——以“全等三角形”為例

☉山東省莒縣第三中學 趙海龍

幾何證明是初中階段幾何入門教學的一項重要內容，而幾何證明題是當前中考的必考題，它既能考查學生幾何語言的書寫能力，還能考查學生的邏輯推理和邏輯思維能力［1］.然而，目前幾何證明的解題過程存在不少問題，主要表現為心理上、知識上、策略上及邏輯上，其中邏輯上的問題不利于學生邏輯推理能力的鍛煉和提升［2］.在初中數學幾何證明教學過程中，教師要圍繞目標，結合學情和學科特點，優選有效策略和方法，有計劃、有目的、有針對性地加強學生幾何推理和圖形證明的滲透訓練，從而幫助學生掌握數學思想方法和解題技巧，發展學生的創造性思維，提升學生的邏輯推理能力.下面，筆者結合幾何證明具體題目，分析、歸納幾何證明中邏輯推理的典型錯誤.

一、虛假理由——任意推理引申定理，違反了邏輯上的充分理由律

部分學生對于幾何相關概念、定理并未真正理解、掌握，因此在幾何證明時，往往會任意推廣引申定理，進而得出有利于論題成立的“假”判斷，并將其作為論證的根據，導致證明出現誤差甚至錯誤.概括來講，這樣的證明違反了邏輯上的充分理由律，未跨過“虛假理由”這一攔路虎.“虛假理由”是初中生證明過程中出現頻率較高的錯誤，而要想避免學生犯“虛假理由”這一錯誤，教師就要加強學生對幾何概念、定理的理解，完成概念、定理的內化.因此要尊重教材，解讀教材的所有內容，教材是一切教學工作的根源，其中涵蓋了涉及初中幾何所有知識點的經典例題.若學生可以將教材的例題研究通透，就可以解決百分之八十的基礎幾何證明題了.所以，對于教材上的例題，要反復進行斟酌，第一遍要大致理解要求證明的題目和提供的已知條件，第二遍要讓學生完整按照已知條件逐步推理出要證明的結論，第三遍要理解題目中的細節和關鍵內容.

圖1

例1 已知：如圖1，△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：AD為EF的中垂線.

錯證：由AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，得DE=DF.（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）

則AD為EF的中垂線.（到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上）

評析：從表面來講，上述證明方法確實不存在偏差，但是結合定理來講，DE=DF作為論證根據，只能夠推斷出“D是EF中垂線上的點”，而過點D的直線有無數條（如圖2），也就是說，AD不一定就是EF的中垂線.

圖2

二、循環論證——未挖掘命題中的隱含條件，違反了邏輯上的嚴謹律

循環論證是指學生利用需要證明的命題本身或等價命題作為證明的根據，而實質上并未對命題做出證明，其是初中生證明過程中出現頻率較高的錯誤.因此，在日常教學中，教師要充分發揮自身的引導作用，讓學生養成認真審題、仔細讀圖、命題與圖形相結合，善于、樂于抓住命題的“隱含條件”，結合自己掌握的定理，充分利用已知條件，有時也可以運用反證法通過結論倒推出已知條件，來覓得證明的著手點，構建有效的證明途徑.在這個過程中，學生的邏輯思維能力、抽象能力都有所提升.同時，教師要充分發揮自身的指導作用，結合典型例題，點撥學生掌握挖掘隱含條件的技巧和方法，進而順利解決幾何證明路途中的“攔路虎”，體驗成功的喜悅，調動學生解題的積極性和主動性，降低“循環論證”錯誤的發生幾率.

例2 如圖3，△ABC中，D是AB邊上一點，且DF交AC于 點 E，DE=FE，AE=CE，AB與CF存在什么位置關系？請給予證明.

錯解：由DE=FE，AE=CE，得AD=CF.（直接作為命題已知條件）

圖3

由AD=CF，DE=FE，AE=CE，得△AED △CEF.

又∠AED與∠CEF是對頂角，則AD//CF.

又AD與AB是同一直線，則AB//CF.

評析：該題目的難度較小，且證明思路清晰明了，但是仍舊有少部分學生會出現錯誤，其中最典型的就是上述證明過程，而這類錯誤往往被稱為 “循環論證”.AD=CF并非是命題中的已知條件，而學生在證明過程中，將AD=CF作為證明的根據，卻未能挖掘“∠AED與∠CEF是對頂角，即∠AED=∠CEF”這一隱含條件，所以證明過程出現錯誤.

三、偷換命題——特殊代替一般進行證明，違反了邏輯上的同一律

部分學生為了降低證明難度，往往會將“一般”轉化為“特例”，導致幾何證明出現錯誤，而這種錯誤被稱為“偷換命題”.“偷換命題”最主要的表現形式就是由特殊情形代替一般情形.具體來講，就是學生將一般情形特殊化，如將三角形特殊化為“等邊三角形”，這樣一來，證明思路確實更清晰，難度也相應降低，但是這違反了邏輯上的同一律，證明的并非原命題.因此在日常的課堂實踐中，教師要利用幾何典型例題，使學生認知邏輯上具有“同一律”，逐步減少乃至杜絕“偷換命題”錯誤的出現.

例3 求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半.

錯證：如圖4，△ABC與△A′BC是全等三角形.（將三角形轉化為“全等三角形”）

連接AA′，交BC于點D（將AA′與BC的交點，特殊化為BC的中點D），即AA′=2AD.

由△ABC △A′CB，得AC=A′B.

又AA′＜AB+A′B，（三角形任意兩邊之和大于第三邊）則AA′＜AB+AC.

圖4

圖5

評析：面對該題目時，大部分學生都知道要借助輔助線完成證明，且能夠將問題轉化為“三角形任意兩邊之和大于第三邊”［3］.但是，在證明時，學生出現了“偷換命題”的錯誤，主要表現為：一是，創造一個與△ABC全等的△A′BC（如圖4）；二是，連接AA′，且AA′與BC的交點為BC的中點D.而一般情境下，AA′的連線與BC的交點不一定是BC的中點D（如圖5）.

虛假理由、循環論證及偷換命題這三類錯誤的本質是“知識性錯誤”，但是將其歸納為“邏輯性錯誤”，就是因為該類錯誤出現的知識盲點不在于數學知識，而在于邏輯.因此，在日常的幾何教學實踐中，教育工作者不要過分關注幾何相關理論知識，而是要注重鍛煉和培養學生的邏輯思維和邏輯推理能力，進而減少學生幾何證明時的邏輯推理錯誤，提升學生幾何證明的正確率［4］.

因此，在幾何證明的教學過程中，教師應注意以下兩點：

1.明確題目要素，讓學生養成化文字為圖形的能力

教師要注意引導學生先審題，熟讀題目，理解命題人的意圖并弄清題意，然后根據題意，對已知條件和結論加以分析，清晰地分析已知條件，從而進行嚴謹的邏輯推理，探究得出證明過程，最終完整地將結論證明出來.

2.進行專項訓練，提升學生的邏輯推理及解題能力

幾何證明題類型復雜多變，在平時教學過程中，教師要注意加強學生的分析訓練，借助多種思維方法，引導學生從多角度、多方位分析和解決問題，從而提升學生的邏輯推理、多向思維能力和解題能力.要理解反證法的實際內容，先從命題結論入手，提出與結論相反的假設，然后經過一系列的邏輯推理，判斷出原假設是否成立，從而證明出原命題的結論.還要注重幾何變換法，發現題目中的隱含條件，化繁為簡，深化學生對圖形的認識，使得問題得以解決.

總之，在初中數學的幾何證明教學中，教師要立足實際，深入了解學生解題時的典型錯誤，從而進行有針對性的重點講解及更正，引導學生運用正確的解題方法，幫助學生掌握解題技巧，提升學生的邏輯推理能力.