解析一元一次方程認知困難

黃翠萍 李昌勇 李勝

[摘? 要] 方程作為代數(shù)學的核心，是整個中學階段的教學重點之一. 文章以北師大版四類一元一次方程應(yīng)用題組成調(diào)查問卷進行分析，得到四類應(yīng)用題基本思想的描述和水平劃分，并基于此給出教學順序的建議.

[關(guān)鍵詞] 一元一次方程;基本思想;抽象;推理;模型

代數(shù)的核心思想是方程，一元一次方程則是最簡單的代數(shù)方程，應(yīng)用一元一次方程解決應(yīng)用題則是中學數(shù)學解決實際問題的開端. 在整個一元一次方程解應(yīng)用題的過程中，學生通過數(shù)學活動，可以體會到符號化和模型化的思想，以及類比、化歸、歸納等數(shù)學思想方法.

本文旨在借鑒《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》中數(shù)學學科核心素養(yǎng)的水平劃分標準，分析學生對于應(yīng)用一元一次方程解應(yīng)用題存在的認知困難，探討學生在解題過程中需要解決的認知障礙，以便在數(shù)學的基本思想基礎(chǔ)之上，提供有效的教學建議.

數(shù)學的基本思想

史寧中教授指出，數(shù)學思想方法和數(shù)學基本思想是不同的，數(shù)學思想方法主要是指等量替換、圖形結(jié)合、遞歸法等方法;而數(shù)學基本思想相較于數(shù)學思想方法更具有一般性，它是在數(shù)學發(fā)展的過程中必須依賴的一些思想，也是學習數(shù)學的人所共同具有的一些思維特征. 這些特征可以指導數(shù)學的學習，并且使學生的學習過程更具有思考性，而不是盲目地“吸收”.

數(shù)學基本思想可以分為三類：抽象、推理、模型. 數(shù)學是和實際生活緊密聯(lián)系在一起的，運用數(shù)學基本思想能夠從實際生活中的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系抽象得到概念和符號，從而得到我們需要研究的相關(guān)對象. 數(shù)學的發(fā)展最主要就是靠推理，推理又分為演繹推理和邏輯推理，推理的形式是多種多樣的，包括但不限于計算、證明和解題. 模型則是將我們的數(shù)學和實際生活應(yīng)用緊密結(jié)合在一起的橋梁，模型并非是用來解決某一個問題，因為模型中參數(shù)是可變換的，所以模型是能夠用來解決某一類問題的.

數(shù)學基本思想是不能通過老師直接傳授給學生的，而是需要學生在老師的引導下主動參加數(shù)學活動，經(jīng)過探究、思考、分析、抽象、概括等過程，親歷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的思考過程，才能感悟出相應(yīng)的數(shù)學基本思想. 學會用數(shù)學的眼光來看待問題，用數(shù)學的思維來思考問題，用數(shù)學的語言來表達問題.

“應(yīng)用一元一次方程”的認知

困難

筆者以教材四道題為測試卷內(nèi)容，對測試結(jié)果進行統(tǒng)計分析，得到教材中四道應(yīng)用題思想水平的描述與水平劃分，同時對其中一些同學進行訪談，得到四類應(yīng)用題認知困難的具體分析.

1. 四類應(yīng)用題基本數(shù)學思想的描述與水平劃分

（見表1）

2. 問卷分析

本文為了分析七年級學生學習一元一次方程的認知困難，筆者選擇了課本中的四道例題組成調(diào)查問卷. 選擇北師大版2013年6月第2版教材七年級上冊第三章第3、4、5、6節(jié)內(nèi)容，一共是四種類型的應(yīng)用題，按照課本編排順序，分別是“水箱變高了”“打折銷售”“‘希望工程義演”“追趕小明”.

本次有效測試卷一共47份，在學生進行測試時，并沒有強制要求學生必須選擇方程進行計算，所以是學生自己選擇算式或方程算法.

“水箱變高了”，正確的一共有33人，其中有23人選擇了算式做法;在錯誤的試卷中，有9人選擇了算式做法，3人選擇了方程做法，2人沒有做這道題.

“打折銷售”，正確的一共有40人，其中有7人選擇了算式做法;在錯誤的試卷中，有6人選擇了方程做法，1人沒有做這道題.

“‘希望工程義演”，正確的一共有47人，其中有5人選擇了算式做法.

“追趕小明”，正確的一共有40人，其中有31人選擇了算式做法;在錯誤的試卷中，有4人選擇了算式做法，3人沒有做這道題.

我們在進行統(tǒng)計后，對一些學生進行了訪談，以此來探討學生對一元一次方程的認知困難.

3. 四類應(yīng)用題認知困難的具體分析

（1）水箱變高了

在學生們應(yīng)用一元一次方程解應(yīng)用題的過程中，對于學生來說最難掌握的就是尋找等量關(guān)系. 而在“水箱變高了”這一類型應(yīng)用題當中，由于題目本身就存在一個不變量，所以對于學生來說是比較容易設(shè)立等量關(guān)系的. 因為學生很多的學習開始于直觀活動，更多的是依賴于自己已有的活動經(jīng)驗，所以第一個應(yīng)用題的難度設(shè)置不高.

本類型題目更多的是與面積和體積等結(jié)合在一起，其中的等量關(guān)系都是學生已經(jīng)熟知的數(shù)學公式. 屬于“一個對象和一個關(guān)系”的題目，所以這類型題目中出現(xiàn)的條件與數(shù)據(jù)并不會太多，對于學生的閱讀能力也并不做過多的要求，所以學生在認真閱讀審題的基礎(chǔ)上，抓住題目中的不變量，以此為依據(jù)建立等量關(guān)系列方程，就可以比較容易地解答此類題目.

但是由于這類題目一般涉及體積和面積等相關(guān)公式，所以對于有些基礎(chǔ)比較薄弱的學生，即使可以理解方程的基本思想，找到等量關(guān)系，可能也沒有辦法列出正確的方程.

（2）打折銷售

打折銷售是我們生活中比較常見的問題，是和我們的實際生活息息相關(guān)的. 與此類題目有關(guān)的變量比較多，涉及進價、成本、原價、售價、標價、打折、降價、利潤、利潤率等相關(guān)概念.

此類問題屬于“一個對象和若干次變化”，所以打折銷售雖然是我們生活中比較常見的問題，但由于學生實際上是缺少相應(yīng)的生活和購物經(jīng)驗的，因此在解決此類型題目的時候，學生沒有辦法理解打折銷售問題中的相關(guān)概念. 例如學生會將“利潤”和“利潤率”的概念混淆，“賣價”和“標價”不能明確區(qū)分.

因為本類型題目中概念比較多，且很多概念具有極高的相關(guān)性，概念與概念之間都是經(jīng)過變化而得到的，所以學生很難將題目抽象成數(shù)學問題，導致學生很難準確地找出各相關(guān)變量之間的關(guān)系，無法推理得出等量關(guān)系. 同時由于打折銷售和實際生活相關(guān)，所以在一些具體的實際關(guān)系中，有些等量關(guān)系還有一定的隱蔽性.

打折銷售由于涉及的相關(guān)變量比較多，所以此類題目一般比較冗長，對學生的數(shù)學閱讀能力要求比較高，學生要在閱讀的過程中提取自己所需的變量，然后依據(jù)已有變量和題目所求來確定等量關(guān)系. 因此，學生在做此類題型時，比較大的困難就是：讀不懂題目，找不到等量關(guān)系.

（3）“希望工程”義演

此類型屬于“兩個對象和兩種關(guān)系”的題目，在應(yīng)用一元一次方程解此類應(yīng)用題的過程中，學生雖然比較容易找到這“兩個對象”，能夠?qū)㈩}目抽象成數(shù)學問題，但是學生卻并非能夠輕易找到并且辨析“兩種關(guān)系”，所以學生還存在的一個比較大的困難就是無法推理得出其中的等量關(guān)系. 課本在解決此類型題目時，就提供了一種更簡潔的方式——“列表格”，讓推理變得相對簡潔容易一點. 所以對于此類題目比較冗長的應(yīng)用題，需要學生在進行數(shù)學閱讀之后提取其中的相關(guān)變量制作表格，然后根據(jù)已知變量和題目所求得到等量關(guān)系.

（4）追趕小明

雖然同學們已經(jīng)在小學就接觸過時間、路程、速度之間的關(guān)系，但是到初中之后，應(yīng)用一元一次方程解決此類題型時，學生往往不能找到相應(yīng)的模型來解決問題.

此類題屬于“兩種對象和一個關(guān)系”的應(yīng)用題，雖然學生能夠輕易找到兩個對象，但是由于題目中涉及時間、路程、速度這三種“關(guān)系”，所以學生并不能輕易找到兩個對象之間所對應(yīng)的關(guān)系，很難將題目轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題.

所以此類題型引入了——“線段圖”的方式來幫助學生建立等量關(guān)系. 但是學生在閱讀題目的時候，由于題目本身的復(fù)雜性，所以很難輕易抽象出其中的變量，更不要說畫出與之相對應(yīng)的“線段圖”，這也就導致了學生沒有辦法使用相應(yīng)模型來解決追及問題.

選擇算式方法但最后答案錯誤的同學中，有一部分是只能根據(jù)現(xiàn)有的時間、速度、路程這三者之中的兩個條件求出其中一步，但接下來要做什么，可能學生并不知道. 所以在測試中，有學生做了一兩步就沒有辦法繼續(xù)進行下去.

教學順序建議

經(jīng)過對測試結(jié)果的分析和學生的訪談，再結(jié)合四種應(yīng)用題達到的抽象、推理、邏輯方面的層次水平，可以將其按照學生接受程度排序為：水箱變高了、“‘希望工程義演”、打折銷售、追趕小明.

結(jié)合數(shù)學基本思想和四種應(yīng)用題在抽象、推理、邏輯的水平劃分，我們可以分析得到，“水箱變高了”的抽象、推理、建模均達到水平一，對學生本身知識要求并不太高，所以教材將其放在首位進行學習.

在“打折銷售”中，抽象、推理和建模均達到了水平二，對于學生的整體知識水平要求比較高. 而“‘希望工程義演”的抽象達到水平一，推理達到水平一，建模達到水平二，相對于“打折銷售”要求和難度稍低一點，所以老師在講授這兩類應(yīng)用題的時候，可以先講授“‘希望工程義演”，再講授“打折銷售”，降低學生的學習難度，讓學生的學習更有“梯度”.

在“追趕小明”中，要求學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模均達到水平二，但是由于“追趕小明”中涉及的變量包括速度、時間和路程，變量比較多，且有可能涉及多個對象之間的變量，不利于學生分析. 所以可以放在最后進行教學.

所以建議老師的教學順序可以為：水箱變高了、“‘希望工程義演”、打折銷售、追趕小明.