對兩道函數(shù)題的探究剖析與欣賞

湯永明 王紅

[摘? 要] 二次函數(shù)常作為中考壓軸題來考查學(xué)生的知識掌握情況和解題的綜合能力，這與二次函數(shù)的知識融合性和方法多樣性離不開. 近幾年的函數(shù)壓軸題更加注重問題的層次性設(shè)計(jì)，旨在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考. 文章對重慶市的兩道中考試題進(jìn)行探究賞析，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);拋物線;最值;存在性;賞析

經(jīng)典試題再現(xiàn)

試題1（2018年重慶市中考數(shù)學(xué)A卷）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y=-x2+4x上，且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AB與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，1）.

（1）求線段AB的長.

（2）點(diǎn)P為線段AB上方拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB的垂線交AB于點(diǎn)H，點(diǎn)F為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PBE的面積最大時(shí)，求PH+HF+FO的最小值.

（3）在（2）中，當(dāng)PH+HF+FO取得最小值時(shí)，將△CFH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△CF′H′，過點(diǎn)F′作CF′的垂線與直線AB交于點(diǎn)Q，點(diǎn)R為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)S，使得以點(diǎn)D，Q，R，S為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)S的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

試題2（2017年重慶市中考數(shù)學(xué)A卷）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2-x-與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E（4，n）在拋物線上.

（1）求直線AE的解析式.

（2）點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上一點(diǎn)，連接PC，PE. 當(dāng)△PCE的面積最大時(shí)，連接CD，CB，點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是CP上一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD上一點(diǎn)，求KM+MN+NK的最小值.

（3）點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn)，將拋物線y=x2-x-沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F. 在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

試題特點(diǎn)表征

上述兩道重慶市的中考試題背景設(shè)置都是基于二次函數(shù)的表達(dá)式和圖像特征，只是求解的具體問題有略微的差異. 命題人充分考慮到考生的學(xué)習(xí)能力和理解程度差異，試題設(shè)置上均呈現(xiàn)一定的梯度，第（1）問屬于基本問題，第（2）問則是對幾何模型的應(yīng)用考查，而第（3）問的幾何存在性問題則是對學(xué)生全面分析能力的考查，因此整個(gè)試題設(shè)計(jì)在考查基礎(chǔ)的同時(shí)也注重對學(xué)生綜合能力的考查，具有一定的選拔功能.

試題1和試題2均給出了二次函數(shù)的解析式，以及一些關(guān)鍵點(diǎn)的幾何特征. 兩道試題的第（1）問分別求線段的長和直線的解析式，考慮到求解線段的長需要先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，因此兩問的求解思路是一致的，即根據(jù)題干所給的幾何關(guān)系來確定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)的坐標(biāo)來求解. 而第（2）問均屬于雙最值問題，問題的前半部分分析三角形面積的最大值，后半部分求涉及三點(diǎn)的三條線段的最小值，問題的特征相同，求解的方向也相似. 首先需要將求解三角形的面積最大值轉(zhuǎn)化為關(guān)于線段的最大值，從中獲得點(diǎn)的坐標(biāo)的參數(shù)，然后以此為基礎(chǔ)借助最值模型完成線段和的最小值求解. 最后第（3）問的幾何存在性問題，雖然都是分析特殊的幾何圖形，但結(jié)合對應(yīng)圖形的特征，均可以將其轉(zhuǎn)化為分析圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)的問題. 需要注意的是，應(yīng)合理設(shè)定分類標(biāo)準(zhǔn)，全面討論. 綜上可知，無論是問題的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，還是試題的突破思路，重慶市的這兩道函數(shù)壓軸題均存在較高的相似度，其考查內(nèi)容和能力要求是對新課程標(biāo)準(zhǔn)理念的深度貫徹.

試題賞析評價(jià)

1. 立足教材知識，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)思想

中考試題大多經(jīng)典，其經(jīng)典之處不僅在于試題考查的知識點(diǎn)較為全面，關(guān)注基礎(chǔ)的同時(shí)注重問題的層次性和關(guān)聯(lián)性，還在于其注重對學(xué)生解題思想方法的考查，即融合基礎(chǔ)知識，綜合考查學(xué)生的綜合素質(zhì). 上述兩道試題便是函數(shù)試題的典型代表. 兩道試題均以拋物線為背景，考查了二次函數(shù)的解析式和關(guān)鍵點(diǎn)，并融合幾何上的點(diǎn)共線模型、面積模型求線段的雙最值，最后從幾何特征的角度來討論幾何頂點(diǎn)坐標(biāo). 涵蓋了勾股定理、軸對稱性質(zhì)、圖形變換、菱形和等腰三角形的特征等知識，且試題將數(shù)學(xué)的思想方法融于其中，如數(shù)學(xué)的模型思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法來指導(dǎo)解題過程，利用思想方法來探求解題思路，幫助學(xué)生由試題的學(xué)習(xí)向試題的本質(zhì)探究過渡.

2. 關(guān)注分析過程，發(fā)展解題思維

數(shù)學(xué)解題最為關(guān)鍵的一點(diǎn)是問題的分析過程，因此中考壓軸題更注重對學(xué)生分析思維的考查. 上述試題基于該點(diǎn)從兩個(gè)角度進(jìn)行設(shè)置：一是將綜合問題分為三個(gè)小問，每個(gè)小問既獨(dú)立存在，又相互關(guān)聯(lián)，問題間具有一定的層次性和遞進(jìn)性;二是試題具有一定的引導(dǎo)性，利用簡明扼要的文字來引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐操作，發(fā)現(xiàn)問題并驗(yàn)證猜想. 如上述的試題1首先要求學(xué)生對圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，作出對稱軸，然后分析圖形是否為菱形;而試題2則對拋物線的圖像進(jìn)行平移，然后分析圖像的對稱軸上是否存在使圖形為等腰三角形的點(diǎn). 學(xué)生在由易到難逐步求解問題的過程中可以充分把握問題的結(jié)構(gòu)，掌握圖像的性質(zhì)特征，并在試題的引導(dǎo)下進(jìn)行相關(guān)作圖操作，從而發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)鍵條件，結(jié)合所學(xué)知識對猜想做出論證. 因此，試題在考查學(xué)生分析、解決問題的同時(shí)，也提升了學(xué)生的邏輯思維能力，使學(xué)生的思維更具靈活性和拓展性，而后者是衡量優(yōu)秀試題的重要標(biāo)準(zhǔn)之一.

總之，優(yōu)秀的試題是對學(xué)生知識儲備、解題能力和思想方法的綜合考查，在考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識掌握情況的同時(shí)，也考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 因此，在平時(shí)的解題教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生對基礎(chǔ)知識進(jìn)行總結(jié)、歸納，并將數(shù)學(xué)思想方法融合在解題過程中，不斷提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).