關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性、周期性及圖象對(duì)稱性的分析

郭姝君

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)部分是整個(gè)知識(shí)體系的重點(diǎn)，而函數(shù)中最為重要的當(dāng)屬函數(shù)的奇偶性、周期性和圖像對(duì)稱性。基于對(duì)當(dāng)前很多同學(xué)學(xué)習(xí)上存在問題的了解和分析，本文總結(jié)了一套針對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法，從而讓同學(xué)們能夠加強(qiáng)對(duì)這些知識(shí)理解程度，在應(yīng)試過程中對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行合理應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)奇偶性；函數(shù)周期性；函數(shù)圖像對(duì)稱性

函數(shù)的奇偶性、周期性和圖像對(duì)稱性本身難度較為一般，但是要對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行靈活應(yīng)用則難度大幅上升。另外在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，函數(shù)可以分為兩個(gè)部分，其一為普通函數(shù)，另一種為三角函數(shù)，經(jīng)過對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)難點(diǎn)的了解，筆者發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對(duì)三角函數(shù)這些性質(zhì)的掌握情況要低于普通函數(shù)，所以同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中需要加強(qiáng)對(duì)這些知識(shí)的學(xué)習(xí)。

一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)奇偶性的分析

（一）探究函數(shù)奇偶性的判定公式

函數(shù)奇偶性的判定本身不存在難點(diǎn)，并且對(duì)這些公式的基于也很簡單，難點(diǎn)在于對(duì)這些知識(shí)的應(yīng)用，要提升對(duì)這些公式的應(yīng)用效率，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中需要對(duì)這些判定公式進(jìn)行深入分析，本文將從下述角度進(jìn)行分析：（1）普通函數(shù)。普通函數(shù)通常對(duì)這些公式的應(yīng)用較為簡單，即f（x）=f（-x）為偶函數(shù)，f（x）=-f（-x）為奇函數(shù)，但是在當(dāng)前的出題中，這類知識(shí)通常會(huì)與積分和微分知識(shí)進(jìn)行融合，所以需要研究的為奇偶性函數(shù)求導(dǎo)以及求積分后函數(shù)的奇偶性變化情況。尤其是在求定積分時(shí)，應(yīng)用函數(shù)的奇偶性變化能夠大幅降低計(jì)算量。例如對(duì)于題目已知函數(shù)為 ，求該函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的定積分，通過對(duì)該函數(shù)的觀察可以看到，第一項(xiàng)與第四項(xiàng)為奇函數(shù)，所以在對(duì)稱區(qū)間上的定積分為0，最終只需計(jì)算第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的定積分即可。（2）三角函數(shù)。三角函數(shù)學(xué)習(xí)中最重要的內(nèi)容為記住基本三角函數(shù)的圖像，通過圖像記憶能夠快速發(fā)現(xiàn)函數(shù)的奇偶性[1]。

（二）融入數(shù)形結(jié)合思想

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，最重要的思想之一為數(shù)形結(jié)合思想，所以在學(xué)習(xí)過程中需要了解各類基本函數(shù)的形狀。例如對(duì)于函數(shù) 、 等，同學(xué)們需要對(duì)這些函數(shù)的圖像有深入記憶，以探究這些函數(shù)的奇偶性。需要注意的是，在記憶了函數(shù)的圖像后，需要了解函數(shù)奇偶性在圖像上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，奇函數(shù)的圖像為以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)為以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形。另外對(duì)圖形的記憶也能夠更好了解函數(shù)求導(dǎo)或微分后的奇偶性。

二、高中數(shù)學(xué)函數(shù)周期性的分析

（一）建成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)

在函數(shù)學(xué)習(xí)中，圖像的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)將發(fā)揮重要作用，對(duì)于同學(xué)們來說，在深入學(xué)習(xí)中需要應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)加深對(duì)知識(shí)的理解。周期函數(shù)最直觀的體現(xiàn)為各類三角函數(shù)，所以在學(xué)習(xí)中可以以三角函數(shù)為周期函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，探究函數(shù)的周期性。例如對(duì)于三角函數(shù)中最簡單的 ，該函數(shù)顯然為周期函數(shù)，那么運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)為，在函數(shù)上取[-π，π]為函數(shù)中最基本的一段，讓這段圖像在直角坐標(biāo)系中向左和向右平移，最終得到函數(shù)的完整圖形，每一段圖像完全相同，這種記憶方式能夠描述函數(shù)周期性中的函數(shù)周期、周期函數(shù)圖像特點(diǎn)等內(nèi)容[2]。

（二）建設(shè)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型在高中函數(shù)學(xué)習(xí)中有很高的應(yīng)用廣度，實(shí)際上運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)可以看做是一種數(shù)學(xué)模型，但是對(duì)于函數(shù)周期性來說，通常會(huì)與函數(shù)對(duì)稱性、奇偶性等內(nèi)容進(jìn)行融合出題，運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)在求解題目時(shí)能夠發(fā)揮的作用較為一般，所以需要進(jìn)一步建設(shè)數(shù)學(xué)模型。比如對(duì)于函數(shù) ，該類函數(shù)是否為周期函數(shù)？我們?cè)趯W(xué)習(xí)中已經(jīng)在頭腦中建設(shè)了函數(shù) 的數(shù)學(xué)模型，那么首要工作為將題干中的函數(shù)簡化成 形式。在高中數(shù)學(xué)中，我們會(huì)接觸“函數(shù)加工廠”理念，在解題過程中可以應(yīng)用這一理念對(duì)題干中函數(shù)的周期性進(jìn)行探究。

三、高中數(shù)學(xué)函數(shù)圖像對(duì)稱性的分析

高中數(shù)學(xué)函數(shù)圖像對(duì)稱性的分析較為麻煩，但是其原理極其簡單，對(duì)于三角函數(shù)來說，同學(xué)們已經(jīng)掌握了不同三角函數(shù)的圖像，通過對(duì)圖像的觀察能夠輕易發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖像對(duì)稱性，所以圖像對(duì)稱性的難點(diǎn)主要集中在各類普通函數(shù)。筆者認(rèn)為，要提升圖像對(duì)稱性的判定速度，一個(gè)重要方法為應(yīng)用函數(shù)奇偶性知識(shí)，例如函數(shù) ，顯然不是圖像對(duì)稱函數(shù)，但是函數(shù) 是否為圖像對(duì)稱函數(shù)呢？此時(shí)可以應(yīng)用函數(shù)的奇偶性知識(shí)，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的概念可知該函數(shù)是對(duì)稱函數(shù)，此時(shí)也可以繪制函數(shù)的圖像。在當(dāng)前的考試過程中，通常情況下函數(shù)圖像對(duì)稱性方面的考察集中在三角函數(shù)方面，原因在于在考察過程中能夠更容易將各類知識(shí)進(jìn)行融合，所以在學(xué)習(xí)過程中同學(xué)們主要需要掌握的為各類三角函數(shù)的圖像對(duì)稱性，并且在解題過程中最基本的工作探究函數(shù)的奇偶性。需要注意的是，在應(yīng)用奇偶性的過程中，要考慮對(duì)稱軸位置改變情況。

四、結(jié)論

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要加強(qiáng)對(duì)函數(shù)奇偶性、周期性和圖線對(duì)稱性方面知識(shí)的了解程度，對(duì)于奇偶性判定需要加深對(duì)判定公式的研究深度，同時(shí)融入數(shù)形結(jié)合思想。對(duì)于周期性，可以應(yīng)用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)與建設(shè)數(shù)學(xué)模式的方式強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的了解程度。對(duì)于函數(shù)對(duì)稱性，基本內(nèi)容為應(yīng)用奇偶性知識(shí)探究函數(shù)圖像是否對(duì)稱。

參考文獻(xiàn)：

[1]雷錫金.數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].中國校外教育，2018（30）：55-56.

[2]鐘海鋒.高中數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性?周期性及圖象的對(duì)稱性探究[J].學(xué)周刊，2015（33）：150.