小學(xué)數(shù)學(xué)乘法分配律之芻議

摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)的計(jì)算，本著“對(duì)”“快”“巧”的基本原則，乘法分配律在其中扮演著非常重要的角色。

關(guān)鍵詞：芻議；小學(xué)數(shù)學(xué)；乘法分配律

乘法分配律a×（b±c）=a×b±a×c，反過來，a×b±a×c=a×（b±c）。看似不深?yuàn)W，但是要把它悟透，以至于使用得爐火純青，尚需教師引導(dǎo)學(xué)生深度思考輔以不同層次的練習(xí)。

一、 理解應(yīng)用

“問渠那得清如許，為有源頭活水來”，理解乘法分配律的意義可以從計(jì)算、幾何意義等多角度來講解，使小學(xué)生掌握其要義，不至于囫圇吞棗，形而上學(xué)。

25×（4+40）

=25×4+25×40

=100+1000

=1100

25×4是左邊長(zhǎng)方形的面積，25×40是右邊稍大長(zhǎng)方形的面積，25×4+25×40是最大的長(zhǎng)方形的面積。通過“數(shù)形結(jié)合”，學(xué)生可輕松理解并記憶該定律。這種幾何意義的講解，激發(fā)學(xué)生把已有知識(shí)（長(zhǎng)方形面積）和新授要點(diǎn)（乘法分配律）有機(jī)結(jié)合起來，對(duì)于開拓學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的思維訓(xùn)練大有裨益。拓展思維，學(xué)生們很容易得出：

a×（b+c+d）=a×b+a×c+a×d

a×（b-c-d）=a×b-a×c-a×d

a×（b+c-d）=a×b+a×c-a×d

1. 直接應(yīng)用訓(xùn)練。這是小學(xué)生學(xué)習(xí)的入門階段，亦可以結(jié)合面積的意義，強(qiáng)調(diào)公用寬，必須要用2次來計(jì)算兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，反過來只用1次，計(jì)算最大長(zhǎng)方形的面積。

125×（8+80）

=125×8+125×80

=1000+10000

=11000

25×113-25×13

=25×（113-13）

=25×100

=2500

對(duì)應(yīng)幾何意義，學(xué)生對(duì)順/逆用乘法分配律理解得更加深刻，應(yīng)用得也更加?jì)故臁?/p>

2. 變形訓(xùn)練。這一部分也是小學(xué)生運(yùn)用乘法分配律的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)亦是小學(xué)階段簡(jiǎn)便計(jì)算的思維精華所在。

48×101兩位數(shù)48乘以三位數(shù)101，本應(yīng)排豎式計(jì)算，啟發(fā)同學(xué)們運(yùn)用乘法分配律，變成一個(gè)數(shù)乘以兩個(gè)數(shù)的和或差，從而得出如下解法。

48×101

=48×（100+1）

=48×100+48×1

=4800+48

=4848

變形題：99×48

以上兩題都應(yīng)用了“加減法”拆數(shù)，從而直接應(yīng)用乘法分配律，101=100+1，99=100-1，可它們都是把一個(gè)數(shù)拆成整百的數(shù)加上（或減去）一個(gè)個(gè)位數(shù)，這時(shí)可以打破思維定式，推導(dǎo)出以下題型：

125×88 25×41

啟發(fā)學(xué)生拆數(shù)也可以拆成整十位數(shù)加上（或減去）一個(gè)個(gè)位數(shù)：

125×88

=125×（80+8）

=125×80+125×8

=10000+1000

=11000

進(jìn)一步推廣到分?jǐn)?shù)乘法，運(yùn)用乘法分配律，亦可以化難為易，如下題：

57×5556

=（56+1）×5556

=56×5556+1×5556

=55+5556

=555556

成功地化解了56和57只有公因數(shù)1，不能約分的難點(diǎn)，令人耳目一新，豁然開朗。

二、 逆向應(yīng)用

39×14+61×14

=14×（39+61）

=14×100

=1400

把“14”理解為兩個(gè)長(zhǎng)方形共同的“寬”，“39”和“61”理解為兩個(gè)長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)”，聯(lián)系幾何意義，很簡(jiǎn)單。

適時(shí)推出變形題：

3. 74×2.85-3.74+8.15×3.74

3559×29+6559×29-19÷129

48.1×9.4-48.1÷52+48.1

527÷326-227÷326

進(jìn)一步推廣到分?jǐn)?shù)除法，如64117÷9，該題似乎與乘法分配律“風(fēng)馬牛不相及”，但是運(yùn)用除法的意義，輔以合理拆分，就能化繁為簡(jiǎn)。

64117÷9

=63+1117÷9

=63+1117×19

=63×19+1817×19

=7217

該題把帶分?jǐn)?shù)用加法拆分，巧妙地解決了約分問題，令人深思！

適時(shí)推出變形訓(xùn)練題

55.8÷9 73511÷8 56113÷27 224+1222×1223

至此，逆用乘法分配律可以適當(dāng)綜合，如可以出現(xiàn)二次使用乘法分配律一類題型，如：

235×12.1+235×42.2-135×54.3

該題正確的思維方法是，首先考慮前面兩個(gè)數(shù)的乘積加兩個(gè)數(shù)的乘積，后面可以暫時(shí)放一放，訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)在思維的黑洞中探索前行，最后時(shí)刻別有洞天，大開眼界。

原式=235×（12.1+42.2）-135×54.3

=235×54.3-135×54.3

=（235-135）×54.3

=100×54.3

=5430

繼續(xù)推出變形訓(xùn)練：

19.9×9+19.9

該題啟發(fā)學(xué)生把后面的19.9變?yōu)?9.9×1，大小不變，同時(shí)也理解為一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，共用寬（或長(zhǎng)）19.9，至此水到渠成。

原式=19.9×9+19.9×1

=19.9×（9+1）

=19.9×10

=199

2014×18-201.4×90+20140×0.1

該題，從幾何意義上理解，困難在于三個(gè)長(zhǎng)方形沒有共同的寬，無法合并成一個(gè)大長(zhǎng)方形。啟發(fā)學(xué)生利用小數(shù)乘法移動(dòng)法則，可將2014、201.4和20140這三個(gè)數(shù)變成相同的數(shù)，當(dāng)然選擇2014最恰當(dāng)。

原式=2014×18-2014×9+2014×1

=2014×（18-9+1）

=2014×10

=20140

變形訓(xùn)練：334×735-0.375×5730+16.2×62.5

該題不僅需要熟悉334=3.75的互化，而且需要兩次逆用乘法分配律，兩次利用小數(shù)乘法移動(dòng)法則，訓(xùn)練學(xué)生融會(huì)貫通的思維能力。

看下面一題：

75×4.7+15.9×25

該題僅僅想通過擴(kuò)大（縮小）10倍，100倍……移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)無法解決，啟發(fā)學(xué)生擴(kuò)大（縮小）2倍，3倍……這樣，很容易打開思維的突破口。

原式=（75÷3）×（4.7×3）+15.9×25

=25×14.1+15.9×25

=25×（14.1+15.9）

=25×30

=750

當(dāng)然，也可以啟發(fā)學(xué)生把“75”作為兩個(gè)“長(zhǎng)方形”共同的“寬”進(jìn)行變形，異曲同工，只不過四年級(jí)學(xué)生有時(shí)很無奈，只有一種選擇，如下題：

222×999+333×334

該題如首先考慮把999作為兩個(gè)“長(zhǎng)方形”共同的“寬”，則會(huì)遇到334÷3無法除盡的問題。但五、六年級(jí)學(xué)生可以智化為3343，摸索前行，最終取得成功。

原式=222×999+（333×3）×（334÷3）

=222×999+999×3343

=999×222+3343

=999×6663+3343

=999×10003

=333×10001

=333000

但是對(duì)于四年級(jí)學(xué)生，只能是“自古華山一條路”，此題可以訓(xùn)練學(xué)生思維碰壁后，要善于迂回，最終解決問題。

原式=（222×3）×（999÷3）+333×334

=666×333+333×334

=333×（666+334）

=333×1000

=333000

下一題47×1317+13×417

該題運(yùn)用前面綜述方法，均不奏效，無法找到相同的因數(shù)，但如果學(xué)生逆向思維能力強(qiáng)，可以這樣理解：47×1317=47×13 17=13×4717=13×4717，問題迎刃而解。

原式=13×4717+13×417

=13×4717+417

=13×5117

=13×3

=39

推出變形訓(xùn)練：39×148149+148×86149+148×24149

三、 綜合計(jì)算

乘法分配律無論正、反兩方面的使用，很多情況下，都可以和交換律、結(jié)合律、倒數(shù)的意義和（積）商不變的性質(zhì)等融會(huì)貫通在一起，多做這樣的訓(xùn)練，使學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的魅力，從而提高學(xué)生的思維廣度和深度。

【例1】 3512+12.5+54.5×0.8

該題如直接用遞等式計(jì)算，或者直接用乘法分配律，都不是最佳路徑，我們可以啟發(fā)學(xué)生注意觀察，特別是125×8這個(gè)固定搭配的使用聯(lián)系加法結(jié)合律和乘法分配律，從而正確解答。

原式=（35.5+54.5+12.5）×0.8

=（90+12.5）×0.8

=90×0.8+12.5×0.8

=72+10

=82

【例2】 8.15×158+67.6×18.5+81.5×51.8

該題有四個(gè)小數(shù)數(shù)字，看起來眼花繚亂，一時(shí)不知所措。同學(xué)們從“整體”觀念出發(fā)，把三個(gè)積看作三個(gè)加數(shù)，先用加法結(jié)合律，逐漸探索，再用乘法分配律，愈探愈妙！

原式=8.15×158+81.5×51.8+67.6×18.5

=8.15×158+8.15×518+67.6×18.5

=8.15×（158+518）+67.6×18.5

=8.15×676+676×1.85

=676×（8.15+1.85）

=676×10

=6760

【例3】 3.6×3.14+43.9×6.4

該題用常規(guī)思路困難重重，無法突破，但如果聯(lián)想到乘法分配律，注意到3.6+6.4=10，從幾何意義出發(fā)，只要找到兩個(gè)“長(zhǎng)方形”相同的“寬”，問題得解。可是31.4和43.9既不成整十、整百……的倍數(shù)關(guān)系，也不成兩倍、三倍……關(guān)系，思維似乎陷入死胡同。但是我們非得用乘法拆數(shù)嗎？難道不能打破常規(guī)，用加減法拆數(shù)嗎？一絲曙光閃現(xiàn)：43.9=31.4+12.5

原式=3.6×31.4+（31.4+12.5）×6.4

=3.6×31.4+31.4×6.4+12.5×6.4

=31.4×（3.6+6.4）+12.5×8×0.8

=31.4×10+100×0.8

=314+80

=394

上題后一部分12.5×6.4，聯(lián)系到125×8=1000的固定搭配，又運(yùn)用了乘法結(jié)合律，“運(yùn)用之妙存乎一心”，令學(xué)生們回味良久，贊嘆不已。

【例4】 2008÷200820082009

該題，很多小學(xué)生“似是而非”，“想當(dāng)然”地這樣解：

原式=2008÷2008+20082009

=2008÷2008+2008÷20082009

=1+2008×20092008

=1+2009

=2010

似乎很順利，很“合理”，可是從第一個(gè)等號(hào)起就錯(cuò)了，他們想當(dāng)然地用了所謂的“除法分配律”。為使學(xué)生們的思維之泉清澈，可以從下題入手，逐步理解，識(shí)得“廬山真面目”。

【例5】 200820082009÷2008

原式=2008+20082009×12008

=2008×12008+20082009×12008

=1+12009

=112009

上題從第一個(gè)符號(hào)起，實(shí)際運(yùn)用的是標(biāo)準(zhǔn)的“乘法分配律”，毫無疑義，運(yùn)用正確，而我們仿照此題解例4會(huì)發(fā)生什么呢？試一試！

2008÷200820082009

=2008÷2008+20082009

=2008×12008+20082009

運(yùn)用除法法則，除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，居然出現(xiàn)了繁分?jǐn)?shù)，到此為止，無法約分，無法運(yùn)算下去。至此學(xué)生們恍然大悟，認(rèn)識(shí)到自己“想當(dāng)然”的除法分配律的錯(cuò)誤。最后問題來了，這道題到底該如何解答呢？筆者給出了三種解法，以饗讀者：

第一種方法：

2008÷200820082009

=2008÷2008×2009+20082009

=2008÷2008×2009+2008×12009

=2008÷2008×（2009+1）2009

=2008÷2008×20102009

=2008×20092008×2010

=20092010

透過解題過程，我們看到了一個(gè)耐心、嚴(yán)謹(jǐn)、機(jī)敏并且基本功扎實(shí)的小學(xué)生。

第二種方法：

聯(lián)想到例5能夠運(yùn)用乘法分配律求解，觀察例4和例5，他們倆只是被除數(shù)和除數(shù)做了交換，再聯(lián)想到倒數(shù)的意義，他們的商一定互為倒數(shù)。因?yàn)閍×b=1，a和b互為倒數(shù)，那么a=1÷b，即2008÷200820082009×200820082009÷2008=1。

原式=1÷200820082009÷2008

=1÷2008+20082009×12008

=1÷2008×12008+20082009×12008

=1÷1+12009

=1÷112009

=20092010

該種解法運(yùn)用倒數(shù)的概念打開突破口，用已有知識(shí)解決新問題，讓學(xué)生體會(huì)到一個(gè)不經(jīng)意的數(shù)學(xué)概念的魅力所在，從而警醒小學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

第三種解法：

原式=（2008÷2008）÷200820082009÷2008

=1÷200820082009÷2008

=1÷2008+20082009×12008

=1÷2008×12008+20082009×12008

=1÷1+12009

=1÷112009

=20092010

此種解法運(yùn)用商不變的性質(zhì)，輕松把例4轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉掌握的例5，讓學(xué)生感受到各種數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通之妙。

總之乘法分配律是小學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要的運(yùn)算定律，我們首先要正本清源，準(zhǔn)確理解，其次，多思考、多運(yùn)用，才能“漸臻佳境”“爐火純青”，實(shí)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算“對(duì)”“快”“巧”的基本要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙存煥.淺談小學(xué)數(shù)學(xué)中如何巧用乘法分配律[J].學(xué)周刊，2012（12）.

[2]許德道.“乘法分配律”研究綜述[J].新課程（上），2016.

[3]安桂清，桑雪潔.“教師如何做課例研究”之二 教案的合作設(shè)計(jì)[J].人民教育，2010.

作者簡(jiǎn)介：

劉福，安徽省六安市，安徽省六安市金安區(qū)望城崗小學(xué)。