基于混沌理論的音樂信號非線性特征研究

趙志成, 方力先

(杭州電子科技大學，杭州 310018)

音樂是反映人類現實生活情感的一門藝術，能夠喚起情感上的共鳴。當聽覺系統接受音樂刺激時，都會短時提高一部分特定神經細胞的興奮性，影響到情緒表達[1]。這個過程必然會影響人體內分泌，促使人體產生一些激素或者酶。理論上，若能通過特定音樂刺激，促使人體產生一些有益的激素或者酶，則可達到加強新陳代謝，增強人體免疫力等對人體有益的效果。音樂的這種奇特功能是由音樂信號本身特征所決定的。

傳統的音樂物理學基本上是從線性的角度去分析的，但真實的音樂系統一定是一個時滯的非線性動力系統[2]。非線性的來源有媒質中的黏滯性、非線性阻尼、熱傳導、弛豫現象和非局域性等等。而時滯系統往往具有多自由度、高維度特性，在系統的演化過程中，會伴隨著弱混沌現象[3]的產生。因此，應用非線性的科學思想及方法對音樂信號進行研究，論證音樂信號的混沌機制，揭示音樂信號的本質規律并掌握信號的非線性特征[4]，能夠更好的幫助我們應用音樂信號治療疾病，特別是神經系統疾病。

鋼琴曲自產生以來一直被譽為最有邏輯，最能打動人心的高雅藝術之一，從某種意義上它最能反映人的情感變化。本文選擇不同風格的鋼琴曲以及Disco樂曲，經“分幀”、分析功率譜、計算Lyapunov指數、計算關聯維數等步驟，從非線性的角度論證了音樂信號的特性，分析了不同風格類型音樂信號的非線性特征變化。

1 音樂信號的非線性特征分析

音樂信號是一類非穩態的非線性信號，混沌理論是分析非線性信號的有效方法，其中常用的分析方法有：分析Lyapunov指數[5]、分形理論[6]、熵理論[7]等。

1.1 分形維數

分形是非線性動力學系統的一個重要的分支，研究的對象具有自仿射性或者自相似性，反應了事物本身所固有的結構特征。按照分形理論，分形內部任何一個相對獨立的部分，在一定程度上都是整體的再現與縮影。

分析時間序列常采用關聯維數計算方法，它是在Token的“嵌入理論”以及Packard相空間重構理論基礎上提出來的一種算法，又稱為G.P算法[8]。算法的原理是在m維相空間內嵌入一個一維序列得到點集，序列的長度為n。用關聯積分來表示吸引子中的點之間距離分布的概率，并求出關聯維數的最佳估計。

相空間重構[9]:設嵌入序列的值為N，選取恰當的時間延遲τ，則相空間中的向量為：

Xi=[xi,xi+1,…,xi+(m-1)τ]2

(1)

式中：i=1,2,…,N,N=n-(m-1)τ,n為原時間序列;m為嵌入維數，通過上面的方法構造出N個m維矢量，當m≥2d+1時，吸引子的幾個特征可以由這些矢量在相空間中的軌跡特征描述。

G.P.算法定義如下：取一維序列中的數據構成相空間中的m維向量將向量依次向后移動(取整數且為采樣間隔)，構成m維相空間中的另一個向量。以固定間隔向右依次移動便得到拓展而來的相空間中的點集{xi}i=1,2,…,N，其中N=n-(m-1)τ是點集中點的數量。

在相空間的點集中任取一點作為參考點，統計剩余點集中有多少點落在以該點為中心，以r為半徑的圓中，由此而得到關聯積分：

(2)

式中：H(·)為Heaviside單位函數。假設dmax是吸引子中的最大伸展量，當r≥dmax時有：

(3)

當N→∞時，C(m)≈1。關聯積分表示吸引子中點與點之間距離的概率函數：

(4)

式中：D2(m,r)是與m及r有關的常數。對于相距距離很小的r1和r2有：

(5)

對上式兩邊同時取對數，有：

lnCm(r2)-lnCm(r1)=

(6)

當|r1-r2|很小時，有D2(m,r2)≈D2(m,r1)。所以，由上式得：

(7)

因此，計算關聯積分飽和狀態下曲線的線性段斜率，即可作為關聯維數的近似值。

時間延遲的選擇：根據文獻經驗，時間延遲τ=15左右時，可得到的關聯維數最為清晰，且干擾誤差小。為了驗證這一觀點，在采樣頻率為44 100 Hz的條件下，截取鋼琴曲《For Elise》中的一小段音樂，利用平均位移法[10]進行實驗。根據平均位移法的原理，在給定嵌入維數m=15，20，30的情況下，對時間延遲τ由小到大取值，重構相空間后計算每一個τ處的平均位移量S(τ)。

(8)

當S(τ)的增長率下降到初始值的40%時，該點對應的τ即為最優時間延遲。并且采用平均位移法可有效消除噪聲的影響。如下圖1所示。分析結果發現當時間延遲為15和16時S(τ)的增長率下降到初始值的40%附近，即時間延遲取值較為理想，所以后續實驗計算均在時間延遲τ=15的條件下進行。

圖1 平均位移量的增長率曲線

1.2 Lyapunov指數

Lyapunov指數是非線性動力學系統中一個重要的參數，代表了相空間中相鄰軌道發散或者收斂的情況，是衡量系統非線性特征的一個重要指標。

對于一維離散映射：

xn+1=F(xn)

(9)

假設平均每次迭代所引起的指數分離中的指數為λ，于是原來相距為ε的兩個起始點經過n次迭代后相距為

εenλ(x0)=Fn(x0+ε)-Fn(x0)

(10)

上式取對數求極限，可得：

(11)

稱其為Lyapunov指數，代表了大量迭代的平均迭代分離指數。由上式可知，當λ>0時，相鄰點運動呈分離趨勢，對應于混沌運動；當λ<0時，相鄰的點最終會合并成一點，對應于無混沌特征的線性運動。常用Wolf方法[11]計算Lyapunov指數。

2 實驗與結果

2.1 實驗材料

實驗選擇了已經通過凱澤窗類型的高通數字濾波器去噪的三首不同風格的鋼琴曲與一首Disco樂曲作為主要的分析對象，具體如表1所示。

2.2 音樂信號的“分幀”

通常一首樂曲是一個復雜冗長的音樂信號，對其非線性重構后會是一個龐大的數據量，“分幀”是一個必然的選擇。音樂家在作曲時會根據要表達的情感內容選擇不同的節律為框架，再將代表了作者思想的樂符序列填入，也就有了曲譜上的小節劃分。音樂家在譜寫每一小節的樂曲時，必定帶著整首曲子的思想，因此，每一小節都會是完整曲目信息片段的映射，不同幀的非線性特征構成了音樂信號的整體特征。所以，按照音樂的小節劃分不會破壞整個音樂的非線性特征，通過幀的分析可以把握音樂信號的局部特征和整體特征，同時便于分析與計算[12]。

按照音樂曲式，我們將音樂信號按照曲式中的小節進行劃分。如圖2所示是致愛麗絲第一樂句中小節的劃分，每兩個箭頭之間代表一個小節。

圖2 《致愛麗絲》第一樂句中小節的劃分

本次實驗一共選擇了三首不同風格的鋼琴曲和一首Disco樂曲進行處理，對音樂信號的劃分結果,如表2所示。

2.3 混沌特性的判斷

功率譜分析[13]可以定性地分析音樂信號是否具有混沌特性。周期運動在功率譜中對應尖鋒，混沌的特征是譜中出現“噪聲背景”和寬鋒。下面先通過功率譜圖定性的驗證了音樂信號具有混沌的特征。

圖3是《致愛麗絲》某一片段的功率譜圖，由圖中我們可以看出，功率譜中的峰值連成了一片，存在一個寬峰，并在峰附近有明顯的“噪聲背景”，說明系統具有混沌的特征。各首音樂信號小節的功率譜圖都有相似的特征。

圖3 《致愛麗絲》片段的功率譜圖

Lyapunov指數是定量分析信號混沌特性的常用方法。圖4是致愛麗絲音樂信號每小節Lyapunov指數的計算結果的折線圖。

圖4 《致愛麗絲》的Lyapunov折線圖

各首音樂Lyapunov指數的最大值、最小值、平均值以及均方根統計如下表3所示。

從Lyapunov指數的變化值以及相關統計值可以看出，音樂信號屬于弱混沌信號，總體趨勢是可控的，但是特定的音符在某個時刻發聲的長短與強弱卻是無法精確控制的，具有隨機性。

2.4 關聯維數的計算

計算關聯維數利用G.P算法，選擇時間延遲為15，缺省值為2，當曲線的斜率隨著嵌入維數的增大而逐漸趨向于一個飽和值時，計算出此時飽和斜線的斜率，此時的值為關聯維數的值。如下圖5所示，當m=20時，直線趨于飽和，此時的斜率為16.240 7。

圖5 《致愛麗絲》第30小節-關聯維數圖

以此方法可計算出所有小節關聯維數，并計錄得表4。

以表4數據為基礎可畫得關聯維數折線圖，更直觀的表現出各小節關聯維數的變化趨勢。如圖6所示。

圖6 致愛麗絲分節關聯維數折線圖

用同樣方法獲得DISCO音樂的各小節關聯維數數據，并繪制關聯維數折線圖作為對照。如圖7所示。

從以上關聯維數折線圖可分析得出，音樂信號是具有高維數的非線性信號，有復雜的周期運動特征，且維數的變化是有限的或具有隨機性。除此之外，鋼琴曲的整體維數要高于DISCO樂曲。

2.5 差分后關聯維數的計算

差分是一個線性降維過程。對音樂信號進行差分處理后計算其關聯維數，可分析討論差分階次對關聯維數變化的影響。對不同樂曲進行多階差分并求出平均關聯維數可畫得關聯維數折線圖，更直觀的表現出各樂曲關聯維數的變化趨勢。如圖8所示。

圖7 DISCO音樂分節關聯維數折線圖

圖8 差分后關聯維數折線圖

由圖8可以看出，經過多階差分以后，音樂信號的關聯維數都在無差分時得到的值上小范圍波動，考慮試驗中的誤差，我們可以認定，關聯維數變化很小，音樂信號中的非線性特征具有穩定性。也可以看出鋼琴曲的關聯維數相對集中且遠高于Disco音樂的關聯維數，這意味著鋼琴曲有更強的規律性。

3 結 論

根據計算分析三首鋼琴曲以及一首Disco樂曲的功率譜、Lyapunov指數和關聯維數等非線性特征量，可驗證音樂信號據有如下特征：

(1) 弱混沌是音樂信號的非線性特征之一，這與音樂信號的可控性是符合的。事實上，音樂也是由人主觀能控的彈奏各種樂器組合而成的。

(2) 準周期運動是音樂信號的主要特征。以經典鋼琴曲為例，以小節為劃分單位的維數變化具有隨機性，但維數變化始終維持在一個有序可控的范圍內，這體現了音樂信號是隨機性與秩序性的統一。其中經典鋼琴曲的維數明顯高于其它音樂信號，表明經典鋼琴曲的非線性特性更強，更容易在生理上被人接受。

(3) 音樂信號具有非常穩定的非線性特征。通過差分的方法對音樂信號進行線性降維后并未明顯改變其平均關聯維數，這體現了作曲時和聲的穩定性原則。

傳統思維上，功率譜、李雅普諾夫指數、關聯維數等特征量只是針對自然界或工程界一般的信號分析量值。而將此方法引入到對樂曲這個人類高級思維活動的成果進行研究，只是一個初步的探索。實際上，對樂曲的特征描述顯然遠遠不止這個范圍，所得結論也是有局限性。