一個新的超大范圍混沌系統(tǒng)及其自適應滑模控制

徐昌彪， 鐘 德， 夏 誠， 黎 周

(1.重慶郵電大學 光電工程學院，重慶 400065； 2.重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065)

混沌是確定性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性，是非線性動力學系統(tǒng)所特有的一種形式，并且廣泛地存在于自然界諸如物理[1]、化學[2]、地質(zhì)學[3]以及生物學[4]等領(lǐng)域。自從1963年Lorenz[5]在三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子以來，人們不斷地發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)，如Chen等[6]系統(tǒng)、Lü等[7]系統(tǒng)、Chua等[8]系統(tǒng)、Liu等[9]系統(tǒng)等。但大多數(shù)混沌系統(tǒng)的參數(shù)變化范圍較小[10-14]，它們的混沌特性受到系統(tǒng)任意一個參數(shù)很大影響，參數(shù)的變更與誤差會改變系統(tǒng)的動力學行為，使得系統(tǒng)相軌收斂于不動點，或是處于周期、擬周期甚至混沌振蕩狀態(tài)等。而具有超大范圍混沌系統(tǒng)的混沌特性在某個參數(shù)的變動下始終處于混沌狀態(tài)，其最大Lyapunov指數(shù)始終大于零，這使得該系統(tǒng)具有更豐富的動力學特性，在混沌雷達[15]，激光振蕩[16]以及信息處理[17]等領(lǐng)域中具有重大的應用價值。

但總的來說，關(guān)于超大范圍混沌系統(tǒng)的研究還處于起步階段，Liu等[18]提出了一個具有較大參數(shù)范圍的新型三維混沌系統(tǒng)，參數(shù)范圍為[-100，100]。賈紅艷等[19]在已有的超混沌系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上提出了一個大范圍超混沌系統(tǒng)，參數(shù)范圍為[10，1 000]，梅蓉等[20]構(gòu)建了一類新的超大范圍超混沌系統(tǒng)，參數(shù)范圍為[0，105]，但仿真只在[0，2 000]進行。

基于以上研究，本文提出了一個超大范圍的混沌系統(tǒng)，其中參數(shù)b的取值為[0，107]，比本文中提到的其他系統(tǒng)的參數(shù)范圍都要大。理論分析了系統(tǒng)的動力學特性，進行了數(shù)值仿真和電路仿真。設(shè)計了一個自適應控制器和一個自適應滑?？刂破?，分別用于具有未知參數(shù)混沌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定和給定信號的追蹤與未知參數(shù)的辨識。仿真結(jié)果表明了所設(shè)計控制器的可行性和有效性。

1 新混沌系統(tǒng)模型與基本特性

1.1 新混沌系統(tǒng)模型

新混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型為

(1)

式中：x，y，z為系統(tǒng)變量。取a=3，b=10，初值為[1，1，1]時，系統(tǒng)存在一個典型的吸引子，如圖1所示。此時系統(tǒng)的三個Lyapunov指數(shù)為0.122 7，-0.001 7，-3.121 0。

(a) x-y相圖(b) x-z相圖(c) y-z相圖(d) x-y-z相圖

圖1 系統(tǒng)相圖

Fig.1 Phase diagram of the system

1.2 對稱性和不變性

系統(tǒng)在變換(x,y,z)→(-x,-y,z)下具有不變性，即系統(tǒng)關(guān)于z軸對稱，且這種對稱性對所有系統(tǒng)參數(shù)均成立。

1.3 耗散性和吸引子的存在性

根據(jù)式(1)，有

(2)

可見系統(tǒng)是耗散的，則系統(tǒng)的軌線最終會被限制在一個體積為0的極限點集上，并且它的漸近動力學行為會被固定在一個吸引子上，這說明了吸引子的存在性。

1.4 平衡點及穩(wěn)定性

令式(1)的左邊等于0，即

(3)

其中a=3，b=10時，系統(tǒng)有3個平衡點，分別為：

S1=(0,0,0)，

S2=(-0.223 6,0.223 6,1)，

S3=(0.223 6,-0.223 6,1)。

在平衡點S1=(0,0,0)處線性化系統(tǒng)，得其Jacobi矩陣為

(4)

特征值方程為

|λI-J|=0

(5)

計算出特征值為λ1=-3，λ2=1，λ3=-1。由于特征值λ1和λ3是負實數(shù)，λ2是正實數(shù)，故平衡點S1是不穩(wěn)定的鞍點。

同理，在平衡點S2和S3處分別線性化系統(tǒng)，得到它們的特征值均為λ1=-3.434 8，λ2=0.217 4+1.856 4i，λ3=0.217 4-1.856 4i。由于特征值λ1是負實數(shù),λ2和λ3均有正實部，故平衡點S2和S3都是不穩(wěn)定的鞍點。

1.5 時域波形圖、頻譜圖以及Poincare截面圖

取a=3，b=10，初值為[1，1，1], 采用四階龍格-庫塔(ODE45)算法對式(1)進行求解，可得系統(tǒng)狀態(tài)變量x的時域波形圖，如圖2所示，可以看出系統(tǒng)為非周期系統(tǒng)。如圖3所示，系統(tǒng)的功率譜是連續(xù)譜，沒有明顯的波峰，并且峰值連成一片，說明了系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)。選取的Poincare截面如圖4所示，可以看出Poincare截面上有一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點，吸引子的葉片清晰可見，也表明了系統(tǒng)具有混沌特性。

圖2 狀態(tài)變量的時域波形

圖3 系統(tǒng)的功率譜

圖4 系統(tǒng)的Poincare截面：y=0

1.6 Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)

采用Jacobi法計算出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖5所示，在參數(shù)b從0～107變化時，系統(tǒng)的三個Lyapunov指數(shù)都趨于固定常數(shù)，為恒Lyapunov指數(shù)譜。圖6為系統(tǒng)變量y隨參數(shù)b從0～107變化時的分岔圖，可以看出系統(tǒng)都處于混沌狀態(tài)。

系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為：

(6)

當a=3，b=10時，系統(tǒng)的三個Lyapunov指數(shù)分別為L1=0.122 7，L2=-0.001 7，L3=-3.121 0，故可計算出DL=2.038 8。由此可見，系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為分數(shù)維數(shù)，驗證了系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。

2 系統(tǒng)的電路仿真

采用線性電阻、電容、LM2924N運算放大器、MULTIPLIER模擬乘法器(乘法器的輸出增益為0.1)，設(shè)計出系統(tǒng)的模擬電子電路，如圖7所示。

圖5 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.5 Lyapunov exponent spectrum of the system圖6 系統(tǒng)的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of the system

圖7 電路原理圖

根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)以及電路理論，由乘法器的輸出增益為0.1，得電路方程為：

(7)

當取R1=R6=R9=10 kΩ，R3=R8=R11=100 kΩ，R2=3 kΩ，R4=R5=R7=R10=R12=R13=R14=R15=1 kΩ，R16=R17=0.1 kΩ，C1=C2=C3=1 μF時，采用Multisim軟件對電路進行了仿真實驗，仿真結(jié)果如圖8所示，可以看出仿真實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果是一致的。

(a) x-y

(b) x-z

(c) y-z

3 參數(shù)未知的混沌系統(tǒng)的自適應控制

受控系統(tǒng)為

(8)

式中：x，y，z為系統(tǒng)變量，u1，u2，u3為自適應控制器。

設(shè)計自適應控制器為

(9)

參數(shù)估計誤差定義為

(10)

對式(8)求導，得

(11)

將式(9)和式(10)代入式(8)，得閉環(huán)系統(tǒng)

(12)

構(gòu)造以下Lyapunov函數(shù)

(13)

其中λ1，λ2均大于零，顯然V是一個正定函數(shù)。對V求導可得

(14)

根據(jù)式(14)，設(shè)定參數(shù)更新定律如下

(15)

定理1具有未知參數(shù)的受控系統(tǒng)(8)通過自適應控制器(9)和參數(shù)更新定律(15)在所有初始條件下全局穩(wěn)定，其中k1，k2，k3是正增益常數(shù)。

(16)

顯然，式(16)是半負定的，狀態(tài)變量x，y，z和參數(shù)估計誤差ea(t)，eb(t)是全局有界的。

根據(jù)式(16)可得

(17)

因此，可得：

(18)

將不等式(18)兩端從0到t積分，得到

(19)

根據(jù)式(19)可得x,y,z,ea,eb∈L2。

此外，由圖9，10可知，在自適應控制器(9)和參數(shù)更新定律(15)的作用下受控系統(tǒng)(8)很快穩(wěn)定到平衡點原點，并且實現(xiàn)了對系統(tǒng)未知參數(shù)的識別。

圖9 受控狀態(tài)x,y,z

4 參數(shù)未知的混沌系統(tǒng)的自適應滑?？刂?/h2>

考慮如下受控系統(tǒng)

圖10 參數(shù)和的收斂曲線

(20)

定義滑模函數(shù)

(21)

式中：r為理想位置信號，e=y-r為跟蹤誤差，k>0。

設(shè)計自適應控制器為

(22)

(23)

對參數(shù)估計誤差(23)求導得到

(24)

定義Lyapunov函數(shù)為

(25)

對V求導，將式(22)和式(23)代入，得

(26)

取參數(shù)更新定律為

(27)

則

(28)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，可知受控系統(tǒng)式(20)的平衡狀態(tài)是全局漸進穩(wěn)定的。

圖11 跟蹤sin(t)的曲線

圖12 參數(shù)和的收斂曲線

5 結(jié) 論

本文提出了一個超大范圍的混沌系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)的動力學特性，設(shè)計了系統(tǒng)的模擬電路。最后設(shè)計了一個自適應控制器和一個自適應滑?？刂破鳎謩e用于具有未知參數(shù)的混沌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定和給定信號的追蹤與未知參數(shù)的辨識，數(shù)值仿真結(jié)果表明所設(shè)計控制器是有效的。

圖13 跟蹤cos(t)的曲線

圖14 參數(shù)和的收斂曲線