數學科學教學法點滴回顧
——紀念“MM實驗”30年

楊世明

(天津寶坻教研室 301800)

I

教學方式方法的改革，自20世紀80年代以來，我國的“數學教學方法”層出不窮.按學生參與方式與程度的不同，冠以“自學”、“研究”、“學導”、“指導發現”等各種名目，各種方式的排列組合推出的方式方法有幾十種之多.如上海的“讀議講練”八字教學法，上海青浦的“嘗試指導、效果回授”教學法、上海師大附中“引導發現”教學法，湖南師大附中“引導發現法”，遼寧實驗中學的“研究法”，廣州市一中的“研究教學法”，景山中學的“單元教學法”，江蘇南通李庚南的“自學、議論、引導”教學法，石家莊教委的“啟導、自學”教學法，江蘇揚州張乃達的“提前形成觀念”教學法，云南昆明的“優化組合”教學法，以及傳播較廣、影響范圍較大的，重慶西南師大的“GX(高效學習法”)、湖北大學黎世法提出的“六課型單元教學法”、心理所盧重衡的“自學輔導”教學法；特別是依據(美國)布盧姆“掌握學習”理論形成的“目標教學”法(即先告知“目標”、結論，再出謎語、試題考試)，全國學校開展實驗、模仿、使用.“老師講、學生聽”式的教學方式，有所轉變，學生較多的參與了教學過程，取得了個別的、零星的“成效”，但是，不數年間，這些人們花費了好多心血的“數學教學改革實驗”，很多已不見蹤影，沒有在教壇上形成有價值的影響.這是為什么呢？

早在20世紀初，希爾伯特、克萊因、弗賴登塔爾、華羅庚等人就致力于數學方法論的研究，我國數學教育家傅種孫，美籍匈牙利數學教育家波利亞，更緊密結合數學教育實踐，思考數學研究、數學認知、數學學習的特征，進行了一系列實驗(如舉辦“解題講習班”、“教師培訓”)，領悟到：數學教學必須遵循數學發展的規律，數學教學法必須具有數學的特征，才能有好的效果.徐利治教授創立了“數學方法論”學科.通過持續的學習和研究，我們終于明白了，這次持續了近十年之久的“數學教育改革”沒能深入的原因在于，在教學方法上，缺乏數學的特征，只注意形式上的改變(或拘泥于數學的一招一式，或置數學的特點于不顧)，而未從數學的特點方面進入思考.認識到這一點，從而使數學教學從迷茫的道路上急速回轉，讓數學教學的方式方法回歸到“數學方法論”的基礎之上.

II

1989年5月，首師大周春荔教授與作者倡議并在首師大主持召開了首屆傅種孫與波利亞數學教育思想(即數學方法論)研討會.

傅種孫是北京師范大學原副校長、教務長，數學系主任，一位有為有守的數學家、教育家.波利亞是美籍匈牙利著名的數學家、數學教育家.他們早在20世紀30年代，就把數學方法論(不過當時沒有這個名稱)的基本思想，用于數學培訓活動，舉辦解題講習班，為中小學培養高水平的數學教師.傅種孫對數學教材，講求“正流清源、修根固本”，認為“幾何之務不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然.”即講求探索、研究和發現；他所著的《高中平面幾何》，同波利亞的《怎樣解題》和《數學發現》一樣，反復例釋如觀察、實驗、歸納、類比、推廣、限定、猜想等，(用于探索發現的)合情推理方法，提出和研究了大量問題和課題，簡直就是一本“數學方法論”的著作，使學習者必須用研究的態度去學習，逐漸被“逼上”一般解題方法的“梁山”.本書實在是數學方法論的珍寶.傅種孫作為中國數學方法論的先驅,還為中國初等數學研究作了大量的工作，提出了一系列的問題與課題，成為研究型的名師(事實上，要想成為高水平的數學教師，必須參與數學研究、積累數學研究、發現、發明的豐富經歷，數學家成為數學名師的幾率實在是太高了).波利亞作為一名數學家，在數學研究發現方面，成果豐碩；作為一名教育家，他對數學思維的研究，堪稱對人類思想寶庫的特殊貢獻；早在學生時代，就對數學發現、發明感興趣，閱讀了大量數學歷史文獻，如歐幾里得、阿基米德、帕普斯、笛卡爾、牛頓、伯努利、高斯、龐加萊，尤其是歐拉的手稿，深入探索這些名家發現數學真理的過程和經歷.同時利用在各級各類學校任教的機會，觀察學生的學習過程，積累第一手資料.在斯坦福大學心理實驗室，進行了一系列實驗，對學生的解題過程的心理特征，進行研究，通過觀察、實驗、分析，波利亞形成了對數學、數學研究和發現、數學教學和學習，特別是數學解題一般規律的獨到見解.對合情推理的邏輯規則，進行了深入的研究，獲得了豐富的結果.他關于數學教育的三部著作，《怎樣解題》、《數學與合情推理》、《數學發現》風靡世界.光《怎樣解題》一書，就被譯成17種文字，發行100多萬冊，成為確確實實的數學方法論經典著作.

北京討論會選定傅、波兩位的數學教育思想，進行深入研討，顯然是適宜的.19世紀與20世紀之交的1900年8月8日，數學大師大衛·希爾伯特，作了一個《數學問題》的報告，展望20世紀數學的發展，后來被哈爾莫斯概括為“問題是數學的心臟”，報告中也展示了豐富的關于數學方法論的見解和數十個研究課題.

在早期的歷史上，數學思想方法的研究者有帕普斯、笛卡爾、歐拉、龐加萊等人，但比較零散.在《數學問題》的前言中，希爾伯特則集中、全面、系統地提出：問題對一般數學進展的深遠意義；好的數學問題的鑒別準則；關于數學符號；關于問題的反面解決；信心公理；關于數學分合的進展規律；關于存在性、構造性、無限性；關于幾何、算術公理的相容性、關于數學基礎問題的研究；關于簡單化與嚴格化的關系；關于形式化與元數學的思想；關于一般科學公理化的思想；關于演繹推理與合情推理等等，都有待我們去研究開發.弗賴登塔爾則提出，數學教學要經歷“數學化與再創造”的要求、不教現成的數學的主張.可惜，他們都是離開數學教學，單獨提出這些主張的.

唯有傅種孫和波利亞，以數學教育家的身份，緊密結合數學教學研究這些問題，他們的《高中平面幾何》和《怎樣解題》，就是寫給老師和學生的.他們對于數學思想的研究和論述，最易于為廣大師生理解和接受，可以作為范例和楷模，因此，中國數學教育工作者，選擇波、傅兩人的數學教育思想進行深入研討，進行深入探索研究，是選對了方向.

III

正當北京波利亞、傅種孫數學教育思想研討會，緊鑼密鼓籌備期間，無錫教育科學研究所，也在策劃一次應用傅、波思想設計一個數學教育實驗，使數學教學真正具有數學特色，真正走上正規.所以當1989年5月無錫接到參會通知的時候，以徐瀝泉為首的團隊立即派人出席了會議，而且在會后當年9月，就拿出了“實驗方案”，這就是“貫徹數學方法論的教育方式，全面提高學生素質”數學教育實驗，簡稱“MM實驗”或“MM課題”.

這個實驗的核心部分，是解決了傅種孫和波利亞在長期實驗中，沒有能夠解決的問題：“怎樣系統地在教學中應用數學方法論，并把它轉化為學生的素質”？請看下面的表：

首先能夠把數學方法論的基本原理，分解為“MM因子”，再把MM因子，轉化為“MM可控變量”，通過操作，即可轉化為“狀態變量”，這里，可控變量就是教學方法，通過恰當的操作、實施，即可轉化為“狀態變量”即學生的素質，“轉化”和“操作”就是運用“數學方法論”的過程.

現在，我們明確了數學方法論的運用，就是恰當的將其基本原理，分解為適當的“MM因子”，通過教學設計，變為恰當的教學方法，用于數學教學，使學生理解、掌握數學概念、方法、命題，從而逐漸形成學生的優良品質.這就是數學方法論的系統應用.

隨著這個核心問題的解決和明朗化，“MM教育方式”的方案設計，即算基本完成.那么，“MM教育方式”的最初表述是：“在數學教學過程中，教師遵循數學本身發現、發明與創新等規律，遵循學生身心發展與認知規律，力求使它們協調同步，并引導學生不斷自我增進一般科學素養，提高社會文化修養，形成和發展數學品質，全面提高學生素質.”

通過反思和實踐，發現“MM教育方式”，具有“數學特色”，“可行性”，“普適性”，“可持續發展性”，“現代性”，“中國特色”，“混沌性”，“辯證性”，“與時俱進”，“提升身心健康水平”、“著意抓雙基”，“兼顧尖子生、大多數和差生”等14項優良特征.

建立團隊，成立課題組，1989年9月投入實施，經過5年3輪縝密實驗、研究、探索，并經反復論證和修改，課題于1994年結題.在1994年5月3日——7日召開的全國第三屆數學方法論學術研討會期間，以原北師大校長、中科院院士王梓坤為組長的全國專家鑒定組，通過審讀實驗報告、聽取課題組結題匯報、親臨一線聽課，與實驗班師生座談，開會研討、質詢等形式，對“MM實驗”進行了嚴格、細致的鑒定，鑒定結果認為：

“該實驗深入分析了20世紀80年代以來，我國數學教育教學改革得失的基礎上，學習和借鑒了國內外，數學方法論研究的理論成果，并把它與我國數學教育改革實踐相結合，率先在較大范圍內，成功地進行了具有教育科學形態的數學教育實驗，應該說是數學教育方面的一個創舉.

“該實驗充分考慮了數學教育的文化教育功能和技術教育功能，把在數學教學中提高學生的一般科學素養、社會文化修養和數學品質，以及提升身心健康水平，作為實驗的目標，有堅實的理論基礎.實驗方案中，對MM因子的分解、轉化，可控變量基本操作的設計，狀態變量的控制，以及指標體系的制訂與評價，是比較科學的，對無關變量的控制是有效的.

2.尊重人民主體地位，確立主體性思維方式，充分調動社會各階級階層群眾的積極性和創造性。一方面，從強化人民群眾作為主體的地位、素質和能力這個基本點出發，研究人民群眾作為主體存在和活動的基本規律以及主體性的實現方式，創造人們平等發展、充分發揮聰明才智的社會環境，最大限度地發揮人的主體性作用，最廣泛最充分地動員和組織人民群眾投身中國特色社會主義偉大事業；另一方面，尊重群眾創造，及時發現和總結人民群眾創造的新鮮經驗，把人民群眾的實踐要求和實踐創造作為中國特色社會主義創新的不竭源泉，不斷為中國特色社會主義注入新的活力。

“該實驗觀察資料和數據，均來自實驗本身，實驗結果支持了它的實驗假設.

“該實驗所確證的MM數學教育方式，只需對原有教材適當地進行教學法加工，操作簡便，能與各種優秀的教學方法協同使用，既能減輕師生負擔，又能提高教學效益，從而大幅度提高數學教學質量.

“因此，鑒定組認為，這種數學教育方式，在小學、中學以及職教和成人教育中，都是可行的、有效的.值得繼續實驗和大力推廣.”

做出了這樣高水平的鑒定，就等于為MM教育方式，發放了進入21世紀的通行證.

IV

有了這個高水平的鑒定，也就意味著一個新型的數學教育方式的誕生，也就意味著“MM教育方式”實驗研究的成功，從此進入一個新的階段.由于實驗取得的顯著效果，和一個無形的全國“MM課題組”的形成，大力傳播，“MM實驗”推廣到全國各地.

首先是天津(天津師范大學、寶坻區、塘沽區、河東區、河西區、西青區)，然后是北京(首都師大、北京師范大學、北京朝陽區)，再后是河南師范大學、濮陽教育學院，河北保定師專、張家口市、邯鄲市、秦皇島市、滄州師院，山東師范大學、山東教育學院、泰安師院、棗莊師院、淄博市、青島市，甘肅蘭州市、西北師范大學、天水市，湖北大學、武漢市、襄樊市、鄖陽師專、鄂州市，新疆烏魯木齊市、昌吉州、昌吉師專、庫爾勒、吐魯番、克拉瑪依市、喀什市、兵團，陜西漢中師范學院，福州市教育學院、福建教育學院，山西太原市、長治、離石，四川成都、宜賓(高縣)，重慶，貴州興義、貴陽，廣州、深圳等等，所到之處，受到學生、家長、老師和教育行政部門的熱烈歡迎.

在這一階段的實驗研究，要解決的主要問題有三：一是把用實驗語言表述的“MM教育方式”，用通俗的、習慣的語言，加以解釋或轉述，使大家容易弄清其含義；二是研究解決“教學設計”、“課堂實施”、“教學評價”(聽課評課)等問題，積累一系列的課例與范例；三是深入探索、推廣和開展應用性實驗的路子，并且為培訓實驗教師提供豐富的資料、文獻、著作，甚至通過講學、講習班等形式，直接培訓大量的MM型教師.

實驗還告訴我們，教學中，千萬不能背誦和套用教學法中那些條條，而是要領會MM教育方式的精神實質，要依據教材和學生的實際情況，自然地使用，要就數學的本性而論，順著學生特點之勢而為，就好像知時節的“好雨”，改變學生的不良習慣，養成優良的習性，完成在不知不覺中.

這樣，一旦我們的教學實驗完成，我們的實驗教師，就會養成“創新設計，順勢教學”，滲透數學思想，培育學生良好的數學品質的好習慣，把自己的數學教學，逐漸提高到應有的水平，加之能夠養成反思(自己的教學)、學習、研究(教學、初等數學)的好習慣，就會成長為高水平的數學教師.

V

“MM教育方式”的實驗研究，與眾多的教學實驗一個很大的不同之處，就在于它是邊實驗、邊研究、邊改進，形成一個開放的、與時俱進的系統.

自“MM方式”初步形成之后，就自動定下一條“規矩”，每進行一段實驗(大約1至2年)，緊跟著，就要召開一屆“波利亞數學教育思想與數學教育改革學術研討會”(簡稱P.M)，反之，哪一個省市、單位，要申請主辦P.M，就要率先開展MM實驗，以供與會者參觀學習.除了上海舉辦的II屆會，沒有實施此規定之外，此后舉辦的襄樊(III)、武漢(IV)、天津(V)、山東濟南(VI)、天水(VII)、烏魯木齊——昌吉(VIII)、四川成都(IX)、無錫(X)、貴州興義(XI)會議，都按此辦理了，效果非常好，此外，在此期間，還在無錫召開了兩屆這樣的會議：一次是鑒定MM課題，一次是征集、評選論文，和“數學創新會議”.

由于把教育實驗與研究探索緊密結合，“MM實驗”在全國迅速發展，同時，把各地凡與“數學方法論”的運用有關的實驗，都逐漸納入到“MM實驗系列”之中，如新疆昌吉、庫爾勒等由吳勤文設計的“TEC實驗”、四川王富英的“三線五環節”實驗，河南濮陽的“MM(HT)實驗”，都具有MM方式的特征，所以納入了“MM系列”；孫維剛老師，在北京22中搞的《三輪數學教育改革實驗》，充分運用了“數學方法論”中的“宏觀方法論”(也用微觀部分)，做出了巨大的成績，它的許多經典做法，也被吸收到“MM教育方式”之中，總之，MM方式是一個高度開放的與時俱進的教育系統.

“MM教育方式”率先遵循傅種孫、波利亞的數學教育思想，實踐具有數學特色的教學目標和方法(如數學具有技術和文化教育兩個功能，具有提升身心健康的功能；數學問題具有促進人的思維、增強人們探索、研究、發明發現的功能，數學美具有提高人們的興趣、好奇心、鑒賞力，等等)，作者是北師大數學系1962年的畢業生，自始至終參與了“MM方式”的實驗研究、推廣傳播；2009年2月，王梓坤院士又為MM教育方式題辭：“MM數學研究及教學方法，系國內數學界首創.它不僅有充足的理論依據，而且在相當廣泛的范圍，取得了很好的實際效果.通過20周年紀念，MM課題一定會更加完善，水平更加提高，并將取得更大的成績，為我國數學教育和研究做出更多的新貢獻.”北京師大數學科學學院劉紹學教授，以《數學通報》主編的身份，參加了MM方式的四屆會，即席發表了關于“數學教育的人”的著名講演，認為“數學教育的人”應通過“學習+教學+研究”來培養，其中研究=初等數學研究+MM實驗；2009年2月，他再次為“MM實驗”題辭：“我第一次接觸MM教學法，是1997年在武漢召開的三屆教學交流會上，即我為《數學通報》主編，了解中學數學教學情況的一次活動.雖然是第一次接觸，但MM教學法的主張及其實踐活動，給了我很深的印象，可以說是‘一見如故’.”“MM教學法使我一下子聯想到，我的老師傅種孫先生的教學，傅先生在我大三的時候(1949年)，給我們講‘近世代數’課，從小學到大學聽過很多優秀老師的課、名家的課，留下很深的印象.然而聽過一學期傅先生的課后，我就非常明確了：將來教書時，就要以傅先生的教學為榜樣，學習傅先生的教學.”“我認為MM教學法的主張，和傅先生實踐教學的作為是一致的：學習數學，理解數學，研究數學，深入理解教學內容，要對數學內容有感受、有體會，雖然不能對所有內容都做到這一點(這是很難做到的)，但一定是努力去做了，這是教好課的首要條件.”

最后要說的是，北京師范大學編輯出版的《數學通報》，多次刊發MM方式的有關文章，報導MM方式實驗研究的信息、研討會，編輯部還與《數學教育學報》編輯部一起，聯手承擔《全國數學方法論與數學教育改革學術研討會》，在無錫召開的這樣的會議上，王梓坤、劉紹學和上一任《數學通報》主編張英伯都參加了會議，張英伯還作了《世界數學家大會和新世紀的數學問題》的報告.還有，北師大著名的鐘善基教授，深入地參與了北京朝陽區六年的“MM實驗”.

總之，北京師范大學數學科學學院多層次地參與了“MM教育方式”的創制、研究、實驗和形成，為之做出了自己的奉獻，我們期望在未來的歲月中，“MM教育方式”逐步，成長為實實在在“數學教學法”并結出豐碩的果實.