數學的貫通①
——MM方式在我國數學教學中的應用概述

胡建庭 周建勛 徐瀝泉

(1.全國數學科學方法論研究交流中心，無錫市運河實驗中學 214044; 2.無錫市教育科學研究院 214001)

1 概述

MM方式至今已30周年．它的主要成果如下：

已出版專著、編著數十部，發表專題論文千余篇；圍繞推廣應用MM方式的全國性學術會議已召開11次，有的省、市還專門建立了實驗基地(據《甘肅日報》，《新華網貴州站》等報導)．各地實驗教師中有20多人成為特級教師、教授和教授級高級教師；他們大都身兼全國先進教師和全國勞模等多個榮譽稱號；由新疆昌吉州教研中心組織實施的MM子課題(《TEC教學》)獲新疆維吾爾自治區哲學社會科學優秀成果一等獎．

它分別于1994年和2001年兩次通過了由江蘇省教委委托的、以王梓坤院士為首的鑒定小組鑒定，并給予高度評價(《中國教育報》1994年12月31日)．從此，開始在全國推廣，由無錫市區高中階段擴大到初中、小學、大學和成人教育等各級種類學校．它已被載入中國哲學社會科學發展史冊[1]；當然也已載入我國數學教育的史冊．

王梓坤院士對MM方式給予高度重視，他說：MM數學研究和數學方法系國內首創，是數學界的重要創新．它不僅有充足的理論依據，而且在相當廣泛的范圍內取得了很好的實際效果．北師大數學系教授，原《數學通報》主編劉紹學先生也給予高度評價，他說：“MM教學方法給了我很深的印象，可以說是一見如故，……我認為MM教學法的主張和傅種孫先生的實際教學的作為是一致的：學習數學，理解數學，研究數學．”

師范院校是教師的發源地，許多數學教育專業的研究生在其導師的指導下，以MM方式為選題完成學位論文，這從中國知網發布的我國優秀碩士學位論文中可見一斑．

中國社科院科技哲學室資深研究員林夏水先生在他的“MM方式的生命力”[2]一文中著重從數學觀與數學方法論的一致性角度, 探討了M M方式的生命力．他指出，MM方式既是一種新的數學教育方式，也是一種新的數學教育觀．設計者獨創性地把抽象的數學觀有機地融入了數學教育．MM方式實現了數學的全面貫通．

2 MM方式基本理念的貫通

MM方式源于教學又高于教學，它實現了數學觀、數學哲學觀和數學教育觀的貫通，數學與人文科學的貫通，數學與認知科學和思維科學的貫通．

數學方法論屬于數學哲學范疇，數學觀是對數學總體的看法，例如，數學發展觀、數學性質觀、數學真理觀、數學文化觀、數學美學觀、數學認知觀等都是對數學的看法．數學方法論與數學觀具有一致性．其含義有二，(1) 數學觀決定數學方法論; (2) 數學方法論蘊涵或反映著數學觀．它們在MM方式中是通過基本操作在數學教學中具體實現的．西南大學魏曉虹用圖表直觀地說明了MM方式的8個操作變量蘊含了不同的數學觀[3]．

比如，數學的返璞歸真教育，反映了一種樸素的辯證唯物主義思想，它既是一種數學觀，又是一種數學方法論．按照辯證唯物論的反映論觀點，數學在本體上具有兩重性，就其內容而言，具有明確的客觀意義，是思維對于客觀實在的能動反映，任何數學模型都有它的現實原型；就其形式結構而言，數學并非客觀世界中的真實存在，而只是創造性思維，亦即理性的創造物．在此意義上說，數學既是人們所發現的，也是人們所發明的．數學的返璞歸真教育，同時也是數學的美育，蘊含了數學美學的觀點．通過數學教學中的返璞歸真教育，就要使學生潛移默化地受到這些基本觀念和基本理念的教育．

MM方式提倡“邏輯推理與合情推理”并重，“歸納與演繹”并重，“綜合與分析”并重，“發現與質疑”并重等，真正做到“既教證明又教猜想”，不斷引導學生一步一步地達到數學中的發現與發明．這里所謂的“并重”，也都不是絕對的．比如說，直覺與頓悟中難道就沒有邏輯推理和演繹的成分在內？原則上說，都應是“你中有我和我中有你”．

南懷瑾先生說過，直覺思維中不見得就沒有邏輯思維，恰恰相反，它可能包含了幾百萬、幾千萬甚至幾萬億個邏輯思維的細胞；這也可能就是龐伽萊所說的邏輯與機遇中的“觀念原子的組合”．打一個不一定確當的比喻，如果我們把一個個邏輯推理看作是一種微型電子器件的組件，就像電路中的晶體管、二極管、三極管、電阻、電容和電感等組件及布線的話，那么直覺思維就是一塊集成電路板，它具有“組塊”的作用，所謂組塊就是“能夠迅速接通長期記憶中的信息的索引項”[4]．因此它是一種集約式的思維(intensive thinking)方式．這就是MM方式反復強調的思維科學的貫通．

3 MM方式從小學到大學的貫通

如所知，MM實驗首先是在無錫市區高中階段實施的，它的針對性是顯而易見的，就是要把師生從題海戰術的羈絆中解放出來．MM方式盡管致力于學生素質的全面提高，但在應試中也是打了勝仗的．因為一般解題方法、即解題方法論正是來自于對學生解題的觀察，解題正是MM方式的拿手好戲．

徐利治教授說：“由于數學方法論的原則性高，所以它的應用廣泛而深入．” 以下我們給出一些MM方式在大、中小學研究與推廣應用的例子．

MM方式中學方面的例子早就見之于我國《數學通報》《數學教育學報》《中學數學》《中學數學教學參考》和臺灣的《數學傳播》季刊的報導和宣傳，這里不再贅述．

在我國首開從小學到大學進行MM方式系統實驗的地區是甘肅省的天水市．2002年，由天水師院數學系、天水市教科所和天水數學會聯合成立了天水市MM方式課題組，在天水市全面進行MM方式實驗研究．天水師院等被全國數學科學方法論研究中心確定為MM教育方式實驗基地和中小學MM教育方式實驗基地．

我國較早地開展MM方式實驗研究的大專院校有湖北省襄陽高等師范專科學校(即現在的襄樊學院)．1993年在該校召開了我國第3屆波利亞數學教育思想、數學方法論與數學教育研討會(簡稱PM3，下類同)．濮陽教育學院(即現在的濮陽職業技術學院)于1998年正式拉開了“數學方法論指導高等數學教學”實驗研究的序幕．武漢教育學院(即現在的江漢大學)、天津師大、山東省教育學院、天水師院在取得了一定的研究成果后，也相繼在武漢、天津、濟南、天水等地召開了PM4、PM5、PM6等．

1999年，廣東湛江海洋大學鄺雪松和廣西師范大學廖運章就對MM方式進行了比較研究，撰文指出：MM方式從認識論的意義上看，它繼承了波利亞將數學方法論用于數學教學的思想，解決了波利亞未具體解決的“如何把數學方法論用于數學教學”的問題；與數學教育建構學識相比，它既有完整的理論體系又有可操作性，而且是通過實驗證實了的，但建構學說只是一個原則的表述，離具體的教學應用尚需時日；與大眾數學、數學問題解決相比，這些學說分別是從減內容、降要求上以及打破數學理論系統方面，提出處理教材(選擇教學內容與內容編排)的主張，過分強調數學的某一側面可能對教學產生負面影響，但MM方式雖著重于教學目標與方式的改革，很明顯，它也為教學內容的選擇、編排、教學法加工處理提供了全面合理的標準和原則．……針對當時而論，MM方式主要是在中學實施的實驗，建議把該方式向幾個方面拓展，一是向高師院校拓展，并與中學合作開展MM實驗；二是向大學理工科、經濟類學科、管理學科、人文學科等非數學專業的高等數學教學領域拓展；三是向成、職教拓展[5]．爾后的發展證明，MM方式的推廣應用正是沿著這種思路進行的．

如今，高校類別已由教育學院、師專發展到師范大學，理工科大學和綜合性大學．他們用MM方式設計高等數學的教學，出版了許多專著和研究論文．下面結合成、職教系統中進行的實驗，就其單位與個人再列舉一些如下：

棗莊學院從1990年至今在高師MM方式教學法的實踐與探索中積累了寶貴的經驗．高師院校用MM方式指導數學教育改革的子課題稱為MM(HT)(注指高師)教育方式．其中有MM方式與高師解析幾何教學的研究，有側重于MM方式在數列極限教學中的應用，側重于用MM方式進行概率統計教學的研究，有MM方式下進行常微分方程教學的實驗研究，也有著重研究“MM方式與現代教育技術”的．隴東學院陳安寧教授對中學新課標與MM教育方式的比較研究有獨到見解．杭州師范學院葉立軍，用數學方法論的觀點給出了高初結合在數學教學中的應用及其教學對策．滁州學院、譚玉明，用方法論觀點分析了大學生學習高等代數的困難所在，指出高等代數教學中運用MM方式改進教學方法是必要的和可行的．天津師范大學高職學院孫穎，在高職微積分教學中，使學生認識到微積分是人類智慧最偉大的成就之一，充分挖掘微積分科學的科學技術功能與文化教育功能，提高了學生的科學素養和社會文化修養，同時也形成和發展了學生的數學品質．

南京信息工程大學數理學院朱鳳琴在“大學數學的MM教育實踐及其認識”中指出：大學教師雖然具有扎實的數學功底，但如果不熟悉數學史，不熟悉數學方法論，就很難洞察與體會數學科學的真與美．實踐MM教育方式需要教師自覺學習數學方法論和教育教學理論，把數學思想方法同教學內容有機融合起來，把學生的數學認知結構同教學環節的設計密切聯系起來，使課堂教學始終保持一種問題驅動、求知求美的氣氛．朱老師以“微分中值定理的MM教學設計”為例，給出了MM方式用于工科數學教學設計的案例．

還有錦州醫學院畜牧獸醫學院李占波，非線性教學設計下MM教育方式的課件設計．

廣州大學理學院陳湛本撰寫的“函數級數展開的數學方法論”，講述了蘊含在函數級數展開中的豐富的數學方法論思想，這是MM方式用于綜合性大學理科數學教學設計的例子．

天津大學管理學院運懷立等，在“論MM教育方式與當代數學教育”中進一步指出了MM方式在理論與操作系統上的類公理化的特征，它可操作但又不模式化，它植根于千百萬數學教師教學經驗的凝結與升華，給人一種“似曾相識燕歸來”之感，由它可以推論出一系列的教學方法、模式、研究課題等，新疆昌吉州吳勤文的“TEC教學”，天津洪雙義、楊世明的“GH教育方式”，成都王富英的“ZT教學”和棗莊師院、濮陽職業技術學院、天水師院的MM(HT)教育方式等，都是由MM方式發展出來的．

內蒙古師范大學李偉軍，運用解題方法論的觀點給出了我國近二十年來數學解題研究的進展概貌．我國的教育工作者在這方面開展了大量的解題教育研究，中學數學雜志發表的大批論文屬于這一類，其實質是MM方式中一般解題方法的研究．

長沙大學數學與信息科學系李宗鐸和向昭紅在“MM 方式”指導下，提出了五步教學法: 創設情境，自覺學習-突出過程, 激勵探索-面向全體, 發展個性-手腦并用, 強化活動-聯系實際, 注重實踐．長沙理工大學數學與計算科學學院把MM方式研究作為長沙理工大學十三五專業綜合改革試點項目．以韓艷英老師運用MM教育方式設計一堂《高等代數》課為例，說明在高等代數的教學中，有很多內容的教學可以采用“創設情景→實驗探索→猜想論證→應用拓展”的教學模式．這種課堂教學一改傳統的大學講授式教學方法，這也正切合我們現代大學教育的需求．

襄樊職業技術學院信息技術系，汪家軍探討了內化理論與MM 教育方式在數學課堂教學中的統一．提出數學教學的本質是知識和智力的內化與數學思維定勢的固化，以內化理論為指導實行MM 教育方式, 表象上可變課堂為學堂提高教學效率, 本質上則可以培養學生創新能力于動態失衡與平衡的轉化之中．[6-20]

30年前就在職業高中進行MM實驗的無錫市輕工職中的史立新老師今年已76歲，他說：“MM方式在全面提高教育質量, 提高學生的數學素質的同時, 也提高了我自身的業務水平與科研能力，科研成果越來越多．1989年至今, 我在《數學通報》上就發表了10多篇論文．”

天津市寶坻中等專業學校的劉建國老師，堅持實踐MM方式12年.他講道：通過數學教育提高中職生的文化素養是職教人才培養戰略的需要．MM方式實踐以來他任教班級數學素養明顯高于同類班學生.由劉建國老師負責的天津市級課題《MM 教育方式在中專數學教學中的應用》，于2016 年順利結題．

無錫科技職業學院王玉蘭，闡述了MM 教育方式在運籌學課程中的成功借鑒．她指出，運籌學實施MM 教育方式不僅有助于培養學生良好的學習習慣、學習態度、學習方式和方法．同時，該方法對教師的教育觀、課堂設計等也提出了更高的要求．她以圖論中的“哥尼斯堡七橋問題”的教學設計為例，逐個地論述了MM方式基本操作表中6個可控變量的具體操作，較好地實現了MM方式指標體系中的評估標準[22]．

文獻[3]以“MM教育方式及其對幼兒園數學教育的啟示”為題，呼吁人們把它應用于幼兒園的數學教育之中，并指出，MM 教育方式內涵豐富，它所蘊含的數學觀及其價值觀對當今幼兒園數學教育有重要的啟示作用．

4 MM方式下初等數學與高等數學的貫通

數學教學上通數學科學，下達課堂教學．首先在教育中數學應該被當作一個整體來看待，要強調數學各個分支學科之間的聯系；注意數學與其它學科之間的聯系．而這兩點是相輔相成的，數學的整體觀念的建立可以幫助理解數學，加強數學綜合應用能力；反之，綜合應用能力的加強可以幫助我們加深對數學的整體性的認識．

作為一個中、小學數學教師，不僅應該通曉初等數學，而且也應該了解其高等數學背景，以搞清楚它的來龍去脈，知道它們在數學科學中的地位與作用，掌握數學教學的主動權．

早在1984年9月11日，蘇步青先生給作者之一的信中說到：“我從今年一月到四月花了25小時給高中部分數學教師講‘等周問題’，效果尚稱良好．今年年底或明年初將為初中部分數學教師講‘多面體與歐拉公式’．目的無非是想提高中學教師的教學質量，做到深入淺出，引導學生懂得一些古典的數學問題(例如，任意角的三等分的不可能問題)的真正意義，免得誤會以至于把許多時間浪費在這類問題的上面．”徐利治教授在晚年更是把一半以上的時間與精力花費在數學教育上．

中外數學家關心與支持中小學數學教育的事例不勝枚舉．英國大數學家哈代(Hardy)就倡導要高初聯系，把高等數學知識滲透到基礎數學教學中去．波利亞被稱為20世紀的一代數學宗師是無可非議的，但是他在數學教育方面所作出的貢獻要遠遠超過他對數學科學本身的貢獻．這里必須要提及的是菲利克斯·克萊因(Felix Christian Klein，1849～1925)．在他看來，基礎數學的教師應該站在更高的視角(高等數學)來審視理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單，有許多初等數學的現象只有在非初等的理論結構內才能深刻地理解．他的名著《高觀點下的初等數學》，對我國從事數學學習和數學教育的廣大讀者具有較好的啟示作用，其觀點蘊含著真理．

MM方式就是按照這樣的要求來做的，它促使數學教師站到學科教育的最前沿，通過“教學·研究·發現”這樣一種途徑，等于為他們的繼續教育和在職提高創建了一所自組織自開放的自我培訓學校．我國著名數學家劉紹學教授指出：“多虧我的研究經歷，它在很多情形下幫助我理解或設計出書上的定理是如何在人們的手中試驗、摸索和制作出來的．當學生們聽著這樣的講述而面露會心的微笑時，我最認識到自己科研的價值和意義．我確信，許多老師，特別是MM教學法的實踐者，都會與我有同樣的感受．”

4.1 有發現的設計必有發現的經歷

“教學·研究·發現同步協調”和“既教猜想又教證明”是MM方式的兩條基本原則．遵循這兩條原則，中、小學數學教學也大有用武之地．MM方式的出現，一改過去學生學習的被動局面，使他們對數學知識的探索規律產生濃厚興趣，整個教學過程也就融入發明發現的主旋律之中．MM方式一方面徹底改變了學生學習的被動局面，為他們提供了正確的思想方法和學習方法；另一方面在方法論的意義上，中學數學不再局限于初等數學這一小塊彈丸之地，而與整個數學領域連成一片．這就為學生吸取數學科學中的現代思想，自我增進現代科學技術的文化素養開辟了一塊良好的運動場[23-26]．

怎樣在大學數學教學貫徹這兩條基本原則，徐利治教授說過，對一條定理，如果只是在邏輯上能夠證明還不算真懂，還必須在頭腦里留下直觀的印象(不一定都是圖形)才算真正搞清楚．數理統計學中有一條刻畫一致最大功效檢驗函數φ的“Neyman-Pearson基本引理”，是教學上的難點．牛家驥教授曾說過，每次講到這里時總覺得教師難講，學生難懂．因為其中的邏輯結構比較復雜．我們從直覺與邏輯這兩個方面對它進行了探討分析，在φ的隨機化檢驗形式下，既給出了奈曼結構充要條件的邏輯框架，也給出了它的直觀的圖像表示[27]．

4.2 居高臨下“高初”聯系解題

俗話說，“學如逆水行舟，不進則退”．其實，“教”也是如此．教師的數學素養，不增則減．無錫市教研室李永燦先生(早年畢業于上海交通大學)曾經諄諄告誡在職教師一定要教到老學到老，否則一位大學畢業的數學教師在中學教了三四年書后，就把自己的數學水平下降到了一個中學生的水平了．那么，怎樣才能使自己保持較高的數學修養呢？其有效措施之一就是，遇到能用高一級的方法來處理的初等數學問題，盡可能在高觀點下，雙管齊下地解決問題．

數學思維到了一定境界，解題過程中有時往往不是用公式和數字來運算，而是用思想來運算.憑借自己在數學上的積累與造詣，有時憑直覺，一下就能看出答案與結果.比如，用群論中的輪換對稱思想，引入美學機制進行美的選擇等等.直覺具有洞察力．萊布尼茨說過，人們依靠直覺洞察力，“往往一眼就能看出我們靠推論的力量在花費了許多時間精力以后才能找出的東西”．這種判斷方法也可以說是靈感(思維)的作用吧．但是這種靈感來自潛移默化于長期的數學活動的訓練和數學知識的思考與積累．學習并經常使用這種思維方式，能使我們學會從整體的觀點、對稱的觀點、層次結構的觀點去處理問題，就像高明的棋手那樣，不去計較一兵一卒的得失，而著眼于全局的安排，有效地克敵制勝．這種從宏觀上來把握總體規劃的運籌布算能力，極大地簡化和優化了邏輯思維和演繹的結構．使解題過程及其結果臻善致美.