數學核心素養的培養策略①

趙思林

(內江師范學院數學與信息科學學院 641112)

1 關于數學核心素養的認識

從全球范圍看，目前對核心素養的內涵、結構和組成要素等并沒有達成共識，可能很難達成共識[1].《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課標2017年版》)指出：數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的.數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析(以下簡稱“六核素養”)[2].在這里，數學的思維品質應包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和獨創性，在數學中應特別重視批判性思維和創造性思維的培養.《課標2017年版》第8頁在課程目標中把數學的關鍵能力概括為“四能”：發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.從“六核素養”的角度，也可把數學關鍵能力概括為抽象概括能力、數學推理能力、數學建模能力、直觀想象能力、數學運算能力和數據分析能力.史寧中把數學核心素養概括為“三會”，即會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界[3].在這里，把數學的眼光、數學的思維、數學的語言看成是構成數學核心素養的三大支柱.鄭毓信認為，“數學核心素養”最為基本的一個含義是學會“數學地看待世界，發現問題，表述問題，分析問題，解決問題”[4].這個觀點與《課標2017年版》提出的“四能”基本一致.筆者認為，數學核心素養是指個體在理解數學、應用數學、思考數學、發現(創造)數學等活動中對數學感悟、反思和體驗的結果.

2 數學核心素養的培養策略

數學核心素養的培養已有不少研究.如，湯普森(D．R．Thompson)等認為數學交流和表達是數學素養的基本成分，也是發展數學素養的工具，因此提出教師應鼓勵學生運用聽、說、讀、寫交流他們對數學符號、概念的理解，還應鼓勵學生用口頭的、符號的、圖表的和數字的形式對數學概念進行表達[5].朱德全認為，數學素養是生成的，它是個體在已建立數學經驗基礎之上對數學感悟、反思和體驗的結果[6].史寧中認為，只要“重視夯實數學基礎知識和基本能力”的同時，兼顧“數學基本思想”和“數學基本活動經驗”的教學核心，那么就能提升學生的數學核心素養[7].史寧中還提出了培養和發展數學核心素養的實施路徑，就是：把握數學的本質；創設合適的教學情境、提出合適的數學問題；啟發學生獨立思考、鼓勵學生與他人交流；使學生在掌握知識技能的同時，感悟數學本質；積累數學思維和實踐的經驗、形成和發展數學核心素養[8].章建躍認為，“數學教學的基本任務是幫助學生把一個個數學知識理解到位并能用于解決問題”.培養學生的理性思維始終是數學課程的核心任務，這就是數學教學的“宗”.在數學教學中，“為發展學生的核心素養而教”與“為培養學生的理性思維而教”是完全一致的[9].由此，學生“為核心素養而學”與“為理性思維而學”也是一致的.學生獲得數學核心素養的必要條件是“把一個個數學知識理解到位并能用于解決問題”.章建躍還認為，“四基”、“四能”是通向數學核心素養的主渠道[10].王尚志認為，培養并提升核心素養，不能依賴模仿、記憶，更需要理解、感悟，需要主動、自覺[11].朱德江認為，培養學生的數學素養應當注意：聯系生活實際，利用豐富的數學課程資源引領學生走進數學世界；關注學習過程，引導學生在積極參與知識的“再創造”過程中理解數學；重視實踐應用，引導學生在“做數學、用數學”中感悟數學[12].這些意見或建議對培養數學核心素養是有指導性和啟發性的.

數學核心素養的生成是一個過程，既是個體在長期的數學理解、數學應用、數學思維、數學發現(創造)等活動中反復修煉、自主生成的過程，也是對數學經驗不斷積累、反省、反證的自我體驗過程.培養和發展數學核心素養的策略很多，如情意激活策略、思維訓練策略、問題解決策略、思想感悟策略、數學發現策略、元認知開發策略等.其中，數學思維的訓練包括對數學語言、思維方式(方法)以及思維品質的訓練.

2.1 情意激活策略

數學核心素養的養成是一個需要長期修煉的過程.數學核心素養是在長期地認知理解數學、應用數學解決問題、感悟數學思想、發現(創造)數學等活動中修煉而成的，這當然離不開個人“情”“意”的參與.隨著快速的社會發展和知識迭代，晶體智力的相對作用會逐漸減弱，而認知能力和情緒動機能力對個體發展會產生更重要的影響.因此，數學核心素養的修煉與養成離不開個人情意(情感)的參與和投入.張華認為，“素養是一種以創造與責任為核心的高級心智能力”，“將認知性素養和非認知性素養同時關注，體現了知識社會的新要求”[13].人的認知與情感共居于本體知識系統之中，共用某些神經回路，因此，情感活動能夠影響人的認知過程[14].這說明，情感對學習既可能起積極作用，也可能起消極作用.學生學習應努力培養積極正面的情感，而應盡力管控消極負面的情感.學習的本質是個體在認知和非認知的協同配合下獲取新經驗的過程.非認知系統即情意系統.情意系統包括情感、意志和態度，它是人們在進行各種活動時除心智因素以外的但對心智的發揮或發展有影響的心理因素.情意系統是長期修煉核心素養的動力系統.情意系統對核心素養的作用體現在學習目標定位、創設認知沖突、產生心理需求、激發動機興趣、磨練意志品質、管控情緒情感、感受成功體驗等方面.雖然中學階段(青春期)是情緒動機和決策能力發展的關鍵期，但當下的教育并未得到充分地關注.對此，長江學者薛貴教授建議，開發專門課程和訓練任務來培養積極情緒和動機，包括成長性思維、習慣養成、決策能力、情緒調節能力等的培養[15].

情意激活有以下策略：(1)由認知沖突產生認知需求，通過了解和認識數學的價值產生學習需要，通過數學德育讓學生產生學習需要，等.(2)運用“立志教育”、“成就動機理論”、“歸因理論”、“強化理論”、“自我效能感理論”、“創設問題情境激發好奇心”、“適當開展學習競爭”等理論和方法激發動機.(3)興趣對學習的意義是不言而喻的.通過做數學游戲、講數學家的故事、立目標、激發好奇心、設置新穎情境、探究疑難問題、欣賞數學美、數學小競賽等措施或辦法激發興趣.(4)以平和的心態抑制情緒，運用轉移注意力、閱讀、做題、深呼吸等方法調整(節)自己的情緒，調動元認知去監控和管理情緒.(5)通過挑戰難題、克服各種困難、面對失敗不言放棄等方法錘煉意志、磨練性格.

2.2 思維訓練策略

形成學科思維應當是學習者學科核心素養發展的最高表現[16].數學核心素養是個體在學習數學(其核心是理解數學)、應用數學(其核心是問題解決)、感悟數學思想、發現數學等認知活動中實現的.而思維是認知活動的內核，對認知活動具有統領的作用.數學作為鍛煉思維的體操，可以通過系統的、全面的數學思維訓練實現數學核心素養的提升.數學思維的訓練的方法很多，數學思維的訓練包括對數學語言、數學思維方法以及思維品質的訓練.

數學思維與數學語言有密切關系.“語言是有聲的思維，思維是無聲的語言.”數學思維的培養應重視數學語言的教學，因為數學思維依賴于數學語言.數學語言是用來反映數量關系和空間形式的數學“行話”(專用語言)，由普通文字語言、數學概念語言、符號語言、圖表語言組成.發展數學語言對學生理解數學、思考數學、表達數學、交流數學等具有重要作用.應特別重視直觀的“形”的語言與抽象的“數”的語言的互譯互化，這是因為它是數形結合的基礎，也是達到“直覺上的顯然”的基礎，還有助于對問題的深度思考.通過熟悉、表征、互譯等方式發展學生的數學語言，對于學生的數學理解、數學表達、數學思維、數學發現等有著重要作用.

數學思維方式的訓練.數學思維方式包括全腦思維、發散思維、逆向思維、創造性思維等.腦科學研究表明，在大多數時間里大腦的兩個半腦和整體對于學習都是重要的.美國學者Eric Jensen認為，不應該強調半腦，否則會損害另一半腦，最好是促進“全腦思維”[17].史寧中教授認為：“理想的教育必須有意識地、有針對性地激活大腦的各個部位”[18].“激活大腦的各個部位”可理解為激活全腦思維，即激活左腦的線性思維和右腦的非線性思維.基于“猜想—證明”、“估算—精算”的教學設計，真正實現了激活全腦思維[19].發散思維可通過一題多解(證)、一題多變、一題多探等來訓練.逆向思維可通過補集思想、反證法、“執果索因”的分析法、正難則反的數學解題策略等訓練.創造性思維可以通過“創新思維方法”[20]來訓練.

數學思維方法的訓練.數學思維方法是個體對數量關系和空間形式進行思維加工而達到一定思維目的的途徑、手段和辦法.這里的“思維加工”的方法很多，包括抽象、概括、觀察、比較、劃分(分類)、分析、綜合、歸納、類比、演繹、運算、反駁、想象、建模等.

數學思維優良品質的形成是數學核心素養生成的重要標志.數學思維品質包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和獨創性.數學思維品質特別是批判性思維、創造性思維的訓練應貫穿于數學教學的始終.

2.3 問題解決策略

問題是數學的心臟.數學問題的發現、提出、分析和解決是培養學生數學核心素養的重要內容.數學問題解決體現了“做數學”和“用數學”的理念與方法，“做數學”和“用數學”是培養學生數學核心素養的根本方法.“做數學”突出學生自己去建模、解模、驗模、改模、評模，親自去計算(包括估算、精算、機算等)，自己去推理，自己去發現.“做數學”要求學生獨立完成各種作業，包括課本中的習題和復習題、課前預習和課后復習、課內到課外延伸的研究性學習、數學文化學習、課題研究作業等.“用數學”是指在理解數學知識、數學方法和數學思想的基礎上用數學的眼光看問題，用數學的思維看待問題、分析問題和解決問題，用數學的語言表達自己的數學觀點、數學方法、數學思想、數學成果.在數學中面對的問題主要有三類：一是把含有實際背景和非數學學科背景的問題變成數學問題即建立數學模型，這類問題可歸結為“現實問題數學化”；二是數學知識系統和結構怎樣組織、怎樣嚴密的問題，即數學知識系統的組織化和邏輯化，這類問題可歸結為“數學結構邏輯化”；三是怎樣把數學理論廣泛地應用于各種具體情境(含數學學科)，這類問題可歸結為“數學理論應用化”.這里的“現實問題數學化、數學結構邏輯化、數學理論應用化”，其實包含了弗賴登塔爾大力倡導的“數學化”.“現實問題數學化”可培養數學抽象、數學建模、數學運算、數據分析等素養，“數學內部結構邏輯化”可培養邏輯推理、數學運算、數據分析等素養，“數學理論應用化”可培養數學運算、直觀想象、數據分析、邏輯推理、分析和解決問題等素養.數學問題有好問題和不好的問題之分，好的數學問題應有利于學生鞏固數學核心知識、訓練數學基本方法、領悟數學基本思想，并且還要有利于激活數學直覺思維和邏輯思維，教師應選擇“好”的數學問題作為教學的例題、學生的習題、測評的考題以及數學探究的課題.

在信息化、大數據時代，應用數學理論并借助于智能計算機(計算器)強大的數據處理能力，去分析問題和解決問題應作為學生基本的數學素養.也就是說，在“現實問題數學化、數學結構邏輯化、數學理論應用化”等過程中，應重視培養智能計算思維.2011年美國國際教育技術協會與計算機科學教師協會對智能計算思維給出了一個定義：智能計算思維是一種問題解決過程，它強調用有助于求解的計算機或其他工具表述問題；邏輯組織并分析數據；用模型與模擬等抽象表征數據；通過算法思維將求解過程自動化；識別、分析并實施可能的求解過程，以便獲得步驟和資源最有效率和效益的組合；將問題解決過程概括并轉換為更為一般的問題解決過程[21].從這個定義可以看出智能計算思維與數學的密切關系.在數學教育領域，智能計算思維包括數據實踐、數學模擬、基于計算機的問題解決、系統思維等四方面的能力[22].需要說明的是，中學生的智能計算思維的訓練應做到有規劃、有步驟、有辦法，并穩步地開展.智能計算思維的培養應與數學建模、數學運算、數據分析等核心素養的培養結合起來，就可收到一舉多得之效.

2.4 思想感悟策略

史寧中認為，“數學核心素養”就是數學基本思想的具體表現[23].弗利德曼曾指出，“數學思想是數學邏輯結構的一個特殊的和最重要的要素”.數學基本思想是“六核素養”的基礎和本質體現，也是“六核素養”所要突顯、表達和傳遞的真諦.因此，胡典順等人把“數學基本思想”放置在數學“素養魔方”圖的中心塊[24].也就是說，他們把“數學基本思想”視為“數學核心素養”的核心.從而，感悟數學思想就是在修煉數學核心素養.

筆者認為，數學知識的學習既可以靠教又可以靠學，還可以依靠教與學的互動；數學方法的掌握主要應靠練(練習)；數學思想的學習單憑靠教、靠學、靠練或這三者的組合都是不夠的，數學思想的獲得主要是靠(覺)悟，人們常說的“思想覺悟”其實可以說成“思想的覺悟”或“覺悟的思想”，也可以說，覺悟的既不是知識也不是方法，而是思想.數學知識和數學方法都只是形成(產生)數學思想的必要條件，但不是充分條件.“知識是外在于人的，是一種可以量化的‘知道’，只有在‘悟’的過程中，讓知識進入人的認知本體，悟有所得，才能稱為素養.”[25]由此可知，數學學習需要對數學知識和數學方法的悟，悟到的東西就是數學思想也就是數學素養.既然“悟”是產生(形成)數學思想的重要途徑，那么“悟”也是生成數學素養的重要途徑.從而，“悟”對數學核心素養的培養尤為重要，但遺憾的是，現在世界上還沒有系統的、有效的關于“悟”的教學方法或修煉方法.因此，研究對數學的“悟”的教學方法或修煉方法是非常有意義但又很困難的問題.

教學中應把“六核素養”的培養與對數學的“悟”結合起來.如，從數學抽象中感悟數學化思想、公理化思想；從邏輯推理中感悟數學推理的思想、公理化思想；從數學建模中感悟數學化思想、模型思想；從直觀想象中感悟數形結合思想和數形轉化思想；從數學運算中感悟算法思想；從數據分析中感悟數據思想、預測思想.

2.5 數學發現策略

數學是一門充滿了探索和發現(創造)的科學.培養數學核心素養的最高要求是學生能夠發現(或創造)新的數學知識、新的數學方法和新的數學思想，但應堅持量力而行的教學原則，不能隨意拔高教學要求.數學教學若能采用布魯納倡導的數學發現教學(學習)法，則對培養學生的數學核心素養是有益的.對中學生來說，發現數學包括數學問題的發現，數學命題的發現，數學方法的發現，解題思路的發現等.鑒于中國的中學生發現問題和提出問題的能力比較薄弱，《課標2017年版》在課程目標中有針對性的提出了“四能”，即發現、提出、分析和解決問題的能力.在數學中，發現問題的途徑很多，如可以在數學建模過程中發現并提出新問題，在探究問題的過程中發現并提出新問題，在解決問題的過程中發現并提出新問題，也可以對現有問題的一般化或特殊化發現并提出新問題，還可以在質疑或問題解決后的反思時發現并提出新問題，等.數學命題是實施數學發現學習的極好素材，命題發現的過程往往也是數學發現(創造)的過程，學生需要經歷“觀察與分析——聯想與探索——原型與頓悟——靈感與猜想”等過程.命題發現的途徑和方法有很多，如從定義中發現新命題，從合情推理(歸納、類比)中猜想新命題，從演繹推理中獲得新命題，利用四種命題關系發現，對某個命題加強發現新命題，對命題改進而發現新命題，從數學推廣中得到新猜想(命題)等[26].數學教師必然會花大量時間進行解題教學，數學解題教學可概括為三個層次：“展現解法”，“展現思路”，“展現思路的發現過程”.從數學發現的角度看，教師應花足夠的時間去“展現思路的發現過程”，有的時候教師可以假裝不會發現并鼓勵學生親身經歷思路尋找(發現)的過程.此外，從培養“六核素養”的過程中也可以培養學生的發現(創造)意識，如從數學抽象中發現新的數學概念，從邏輯推理中發現新的數學命題，從數學建模中發現新的數學模型，從直觀想象中發現新的解題思路和新的數學結論，從數學運算中發現新的計算工具和計算方法，從數據分析中發現數據的新規律和數據變化的新趨勢.

2.6 元認知開發策略

“元認知是對認知的認知.”元認知對認知具有管理、調節、評價、反思等作用.簡單地說，元認知是認知的“領導”.如果認知的“領導”不好，那么認知能夠好到哪里去呢.全腦思維、問題解決、思想感悟、數學探究、數學發現(創造)等，歸根到底都是對數學的高級認知活動.數學認知活動是一個復雜、開放、有意識的自組織系統，這個自組織系統的良好運行必須要有一個強有力的“領導”即元認知來管理.數學高級認知能力是數學核心素養的核心成分.因此，個體的數學元認知能力是決定數學核心素養的關鍵性因素.所以，開發元認知就是在培養數學核心素養.素養的核心是反思性思考與行動.“反思性 (ref lectiveness) 正居于核心素養之中心”，“反思性思維需要相對復雜的心智過程，并要求思考過程的主體成為其客體.”[27]反思就是將自身作為思考對象，通過思考自身而不斷調整自己的思考和行動.培養數學核心素養為什么強調反思的重要性呢？這是因為，反思是開發元認知最有效的方法.反思包括返回去思考，從反面去思考，反復地思考等方式.從開發數學元認知的角度看，在學習數學、應用數學、探究數學、感悟數學、發現(創造)數學等各種活動中，反思不僅不能缺席，而且應有意識地、自覺地把反思用于各種數學活動之中.