淺談概念課的問題驅動

摘 要：課堂教學是數學教育落實的主要方式，本文借助平面向量的教學過程展示了數學概念課中遵循概念的生成邏輯，設計問題鏈的教學模式。

關鍵詞：平面向量；課堂教學；問題鏈；概念生成

中學數學課大體可以分為數學概念課、規則原理課、解題方法課、試題分析課等。其中，概念課的教學模式一直是老師們探討的熱點。因為每一知識模塊的第一節課大多是數學概念課。“好的開始是成功的一半”。以下借助《平面向量的實際背景及基本概念》一課，介紹一下本人對數學概念課的理解和處理方式。

一、 課堂實錄

（一） 情景設置：

師：如果同學們遇到下面這種情況該怎么做？

展示情景：在汽車站內遇一老人問路，“中心醫院怎么走？”你該如何作答？

生：汽車站路口向東3.5公里；或汽車站路口向東第四個路口。

師：如果只說“向東”或者“3.5公里”，行不行？也就是說你的描述應該包括幾個方面？（生：不行；距離和方向。）

師：對，距離是車站路口到醫院的路程的大小。也就是說，我們的描述需要“既有大小，又有方向”。（板書）

師：在原來的學習中我們有沒有接觸過這種既有大小又有方向的量呢？有哪些？

生：位移、力、速度、加速度等。

總結：我們現在學過的量可以分為兩種：一種有大小也有方向，稱為向量（物理學中稱為矢量）；一種有大小沒有方向，稱為數量（也就是物理學中的標量）（板書）

（二） 引入課題

師：這一章主要學習向量的定義、表示方法、運算及簡單應用。所以本章題目是《平面向量》。

（三） 探究新課

師：我們在接觸一個新事物時，首先希望了解它的“名字”，也就是一種符號表示方法。比如開始我們遇到的問題，設汽車站為點A，縣醫院為點B，如何用一個符號表示從汽車站到縣醫院這段向量？（生：AB）

師：這種表示容易與線段、直線的表示混淆。我們可以把以A為起點、B為終點的向量記作AB。如果對起點和終點不夠了解也可以用一個小寫字母來表示，如：a、b、c。這是向量的字母表示方法。

師：字母表示法是一種符號語言，是抽象的表示方法。數學語言中有符號語言、圖形語言兩類。任一實數在數軸上都有對應點，三角函數用什么圖形表示呢？

生：三角函數線。

師：三角函數線是有方向的線段，這種有向線段能表示向量嗎？

生：有向——方向；線段——大小。

師：有向線段的三要素是什么？

生：起點、方向、終點。

師：有向線段的長度表示一個向量的大小。向量的大小被稱為向量的模，記作AB。

思考1：向量的模都是正數嗎？

師：手中平托的課本，受到重力和我的托力的影響，合力的大小是多少？

生：這是一個大小為零的向量。

師：我們可以怎么定義這種向量？（零向量）記作0。作為一個向量我們還要考慮它的方向。通常認為，0的方向是任意的。

師：然而向量的模的取值范圍是什么？（生：AB0.）

展示邊長是1菱形ABCD。思考2：圖中四向量有什么共同之處？（生：模是1.）

師：我們通常把長度等于1個單位的向量叫做單位向量。

問：若AB、AD是兩個單位向量，那么是不是AB=AD？（生：是。）

師：為什么？向量的模相等，兩向量就相等嗎？還需不需要考慮其他要素？怎樣的兩個向量可稱為相等向量呢？能寫出菱形ABCD中AB的相等向量嗎？

生：大小相等，方向相同。AB的相等向量是DC

師：AB相等向量是DC，能不能認為有向線段AB和DC也是相等的？（生：是）

師：這兩個有向線段的三要素都相等么？（生：不相等。）

師：總結有向線段和向量的聯系和區別是？

1. 有向線段既有大小又有方向，是向量的幾何表示；

2. 向量與有向線段的區別：（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段。

師：既然AB、AD不相等，那么能不能比較AB、AD的大小？

師：數量可以比較大小。但是向量由于需要考慮方向，不能比較大小。

師：AD和CB是相等的兩向量么？

生：不是。AD和CB的方向不同，是相反的。

師：菱形的對邊是平行的。那么AB與DC，AD和CB我們也可以稱為平行向量。記作：AB∥DC，AD∥CB。

思考3：什么樣的兩個向量可稱為平行向量？（生：同向或反向的兩個向量。）

師：所有的向量方向都是確定的嗎？有沒有方向無法確定的向量？（生：零向量。）

師：平行向量：同向或反向的兩個非零向量。

（板書）我們規定：零向量和任意向量平行。記作a∥0

師：我們知道向量的要素只有大小和方向，與起點無關，也就是可以認為向量是可以平移的。那么平行的向量我們能不能都平移到一條直線上？（生：可以）

師：所以平行向量也稱為共線向量。

師：現在我們一起回顧以下我們從幾個方面來研究平面向量的？

二、 歸納反思

著名數學家P.R.Halmos曾說，“問題是數學的心臟。”朱德全博士也曾指出，“問題是教師教學的心臟，是學生學習的心臟。”這一節課，首先從實際生活中的情境引入，以學生原有的知識背景為基礎，建立了平面向量的概念；進而，不斷激發學生的認知需求，步步深入地介紹平面向量的表示方法、特殊類型和相互關系。在本節課的教學過程中，我努力把握數學的本質、追尋概念生成的內在邏輯，設計出驅動學生不斷思考的問題鏈，使課堂教學流暢、自然；讓學生充分體驗概念生成中的數學思想和數學方法，幫助學生形成數學活動經驗，達到教學目標。

參考文獻：

[1]HALMOS P R.The heart of mathermatics[J].The American Monthly，1980（87）：519-524.

[2]朱德全.基于問題解決的處方教學設計[J].高等教育研究，2006，27（5）：83-88.

作者簡介：

魏巍，山東省濱州市，惠民縣第一中學。