共點力的平衡問題一二三

許 文

(湖北省武漢市華中科技大學附屬中學 430074)

物體在共點力作用下的平衡問題，是歷年高考中重點考查內容之一，在近幾年的全國卷與各地方卷中都有所體現，且考查非常靈活.高考命題熱點有：(1)受力分析與共點力平衡問題；(2)動態平衡問題；(3)平衡中的臨界與極值問題.本文通過解析一個條件、分析兩種方法、討論三類問題，幫助同學們有效地復習力的平衡考點內容.

一、一個條件

平衡狀態是指物體處于靜止或做勻速直線運動狀態.平衡條件是物體受到的合力為零，即：F合= 0 .此條件應理解為沿任何一個方向上的合力均為零.若建立一個直角坐標系，則沿x、y方向的合力均為零，即：Fx=0，Fy=0.

二、兩種方法

分析力的平衡問題有兩種方法：(1)解析法：一般把力進行正交分解，分別在x、y方向上列出力的平衡方程，從而進行求解與分析；(2)圖解法：當幾個力的合力為零時，依次平移這幾個力的矢量，可以組成一個首尾相接的封閉多邊形，再通過此矢量圖形進行分析與求解.

例1 如圖1所示，物體A的質量m=2kg，兩根輕細繩b和c的一端連接于豎直墻上，另一端系于物體A上，兩繩的夾角θ=60°.在物體A上另施加一個與水平線也成θ角的拉力F，若要使兩繩都能伸直，求拉力F的取值范圍.(g取10 m/s2)

解法1 以小球為坐標原點建立如圖2所示的直角坐標系，設b、c兩繩上的張力大小分別為Fb、Fc，小球的受力如圖2所示.

由力的平衡條件得：

(1)Fsinθ+Fbsinθ-mg=0

(2)Fcosθ-Fbcosθ-Fc=0

由(1)式知：當b繩剛好伸直即Fb= 0時，拉力F有最大值，

由(1)(2)式得：

(3)2Fcosθsinθ=mgcosθ+Fcsinθ

由(3)式知：當c繩剛好伸直即Fc=0時，拉力F有最小值，

故拉力F的取值范圍是：

點評本題屬于力的平衡中臨界與極值問題.解法1用到了解析法，利用力的平衡條件列出相關變量的表達式，通過表達式來尋找問題的臨界狀態與極值，這是一種利用數學函數求物理極值問題的方法；解法2用到了圖解法，通過力的矢量圖形可以較簡潔的找到問題的臨界狀態與極值，這種解法更體現了問題的物理本質.在定性分析動態平衡平衡問題時，圖解法往往比解析法顯得更直觀、更簡潔、更有效.

三、三類問題

1．靜摩擦力、彈簧彈力作用下的平衡問題

平衡狀態下的物體受到的靜摩擦力可能存在兩個相反的方向.彈簧對物體的彈力可以是拉力，也可以是壓力，即彈簧對物體的彈力也可能存在兩個相反的方向.因此在靜摩擦力與彈簧彈力作用下物體的平衡，可能存在多種可能性，考慮到靜摩擦力與彈簧彈力可能存在的方向，進行分類討論.

例2 如圖4所示，勁度系數k=100N/m的輕彈簧上端固定在斜面頂端，下端掛一個小物體放在斜面上，彈簧的軸線與斜面平行.物體只能在斜面上的P、Q兩點間的任何位置才能處于靜止狀態，已知物體與斜面間的最大靜摩擦力Ffm=6N.則以下說法正確的是( ).

A．物體放在P點時，彈簧可能伸長，也可能壓縮

B．物體放在Q點時，彈簧可能伸長，也可能壓縮

C．P、Q兩點間的距離x=0.12 m

D．斜面的傾角θ= 30°

解析由于物體只能放在斜面上的P、Q兩點才能處于靜止平衡狀態，因此物體在在P、Q兩點受的斜面的靜摩擦力應為最大值Ffm，且在P點受到的最大靜摩擦力方向沿斜面向下，因此在P點彈簧只能處于伸長狀態；在Q點受到的最大靜摩擦力方向沿斜面向上，因此在Q點彈簧可能處于伸長狀態，也可能處于壓縮狀態；設物體質量為m，在P點彈簧伸長x1，由力的平衡條件有：kx1=mgsinθ+Ffm(1)

在Q點彈簧伸長x2，由力的平衡條件有：kx2=mgsinθ-Ffm(2)

P、Q兩點間的距離x=x1-x2(3)

聯立(1)(2)(3)式，代入數值解得：x=0.12 m；

若在Q點彈簧壓縮x2，由力的平衡條件有：kx2+mgsinθ=Ffm(4)

P、Q兩點間的距離x=x1+x2(5)

聯立(1)(4)(5)式，代入數值解得：x=0.12m；

通過以上求解知，本題不能確定斜面傾角的值.

答案 BC

點評本題中力的平衡問題將斜面、靜摩擦力與彈簧彈力相結合，物體在斜面上平衡時受到斜面的靜摩擦力的方向可能沿斜面向上或向下，彈簧對物體的彈力的方向也有可能沿斜面向上或向下.由于物體在P點平衡時彈簧最長，這時彈簧一定處于拉伸狀態；容易誤認為在Q點平衡時彈簧最短，這時彈簧一定處于壓縮狀態；其實物體在Q點平衡時彈簧是拉伸還是壓縮，應取決于物體和斜面間的最大靜摩力Ffm與物體沿斜面方向重力分力mgsinθ的大小，因此需要進行分類討論.

2．三力平衡問題

在求解三個共點力平衡問題中，若能靈活地運用拉密定理與三力匯交定理，可使問題的求解變得簡潔.

(1)拉密定理.如圖5所示，當三個共點力處于平衡時，則每一個力和其它兩力間夾角的正弦成正比，即：

(2)三力匯交定理.如果一個物體在三個力作用下處于平衡，若這三個力不平行，則這三個力的作用線(或延長線)必相交于一點.

例3 長為a的細線系于質量為m邊長為a的正方體一條棱的中點，線的另一端固定在光滑豎直墻壁上(如圖6)，求線上的拉力FT及墻壁對正方體的支持力FN的大小.

解析正方體受三個力作用處于于平衡，這個力分別是重力mg、繩子拉力FT、墻壁的支持力FN，顯然這三個不平行，則這三個力的作用線必共點(如圖7所示).在△BOF中，有：

在ΔABF中，BF=2acos(90°-α)=2asinα；則有：

點評此題分析求解的關鍵是根據三力匯交定理作出圖7所示的物體受力圖，利用解析法結合相關的數學知識進行求解.

如果物體在多于三個共點力的作用下處于平衡，有時可以將其中的某些力先進行合成，可將物體等效為受三個力作用，從而能利用上述兩個定理對問題進行分析與求解.

3．動態平衡問題

通過控制某些物理量，使物體的狀態發生緩慢地變化，物體在這一變化過程中始終處于一系列的平衡狀態中，這種平衡稱為動態平衡.求解動態平衡問題的基本思路是化“動”為“靜”，“靜”中求“動”.

例4 如圖8所示，一絕緣細線OA下端系一質量為m的帶電的小球A，懸點O正下方有一帶電小球B固定在絕緣底座上.開始時A球靜止在圖中位置，此時細線OA與豎直方向的夾角為θ.現將B球沿豎直方向緩慢上移一小段距離，在此過程中，下列說法正確的是( ).

A．細線OA與豎直方向的夾角θ保持不變

B．B球所受的庫侖力一直變大

C．細線OA的拉力一直變大

D．A球與B球間的距離一直變大

解析A球受到B球的庫侖力F、繩子的拉力FT、重力mg，其合力為零，平移三個力矢量組成一個封閉的三角形.注意到mg不變，FT的方向總是過O點，F與FT的交點在以O點為圓心的圓周上移動，畫出初態、末態的三個力矢量三角形(如圖9所示).可知：F變大、FT變大、θ角變大.答案 BC

點評緩慢上移B球時A球會沿圓周緩慢上升，θ角變大；當B球移到與A球(改變后的位置)等高時，兩球間的庫侖力最大；若再繼續上移B球時兩球間的庫侖力會減小，A球則會沿圓周緩慢下降，θ角就會變小(有可能減小到比開始的還小).