共點(diǎn)力的平衡問題一二三

許 文

(湖北省武漢市華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 430074)

物體在共點(diǎn)力作用下的平衡問題，是歷年高考中重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，在近幾年的全國卷與各地方卷中都有所體現(xiàn)，且考查非常靈活.高考命題熱點(diǎn)有：(1)受力分析與共點(diǎn)力平衡問題；(2)動態(tài)平衡問題；(3)平衡中的臨界與極值問題.本文通過解析一個(gè)條件、分析兩種方法、討論三類問題，幫助同學(xué)們有效地復(fù)習(xí)力的平衡考點(diǎn)內(nèi)容.

一、一個(gè)條件

平衡狀態(tài)是指物體處于靜止或做勻速直線運(yùn)動狀態(tài).平衡條件是物體受到的合力為零，即：F合= 0 .此條件應(yīng)理解為沿任何一個(gè)方向上的合力均為零.若建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，則沿x、y方向的合力均為零，即：Fx=0，F(xiàn)y=0.

二、兩種方法

分析力的平衡問題有兩種方法：(1)解析法：一般把力進(jìn)行正交分解，分別在x、y方向上列出力的平衡方程，從而進(jìn)行求解與分析；(2)圖解法：當(dāng)幾個(gè)力的合力為零時(shí)，依次平移這幾個(gè)力的矢量，可以組成一個(gè)首尾相接的封閉多邊形，再通過此矢量圖形進(jìn)行分析與求解.

例1 如圖1所示，物體A的質(zhì)量m=2kg，兩根輕細(xì)繩b和c的一端連接于豎直墻上，另一端系于物體A上，兩繩的夾角θ=60°.在物體A上另施加一個(gè)與水平線也成θ角的拉力F，若要使兩繩都能伸直，求拉力F的取值范圍.(g取10 m/s2)

解法1 以小球?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)b、c兩繩上的張力大小分別為Fb、Fc，小球的受力如圖2所示.

由力的平衡條件得：

(1)Fsinθ+Fbsinθ-mg=0

(2)Fcosθ-Fbcosθ-Fc=0

由(1)式知：當(dāng)b繩剛好伸直即Fb= 0時(shí)，拉力F有最大值，

由(1)(2)式得：

(3)2Fcosθsinθ=mgcosθ+Fcsinθ

由(3)式知：當(dāng)c繩剛好伸直即Fc=0時(shí)，拉力F有最小值，

故拉力F的取值范圍是：

點(diǎn)評本題屬于力的平衡中臨界與極值問題.解法1用到了解析法，利用力的平衡條件列出相關(guān)變量的表達(dá)式，通過表達(dá)式來尋找問題的臨界狀態(tài)與極值，這是一種利用數(shù)學(xué)函數(shù)求物理極值問題的方法；解法2用到了圖解法，通過力的矢量圖形可以較簡潔的找到問題的臨界狀態(tài)與極值，這種解法更體現(xiàn)了問題的物理本質(zhì).在定性分析動態(tài)平衡平衡問題時(shí)，圖解法往往比解析法顯得更直觀、更簡潔、更有效.

三、三類問題

1．靜摩擦力、彈簧彈力作用下的平衡問題

平衡狀態(tài)下的物體受到的靜摩擦力可能存在兩個(gè)相反的方向.彈簧對物體的彈力可以是拉力，也可以是壓力，即彈簧對物體的彈力也可能存在兩個(gè)相反的方向.因此在靜摩擦力與彈簧彈力作用下物體的平衡，可能存在多種可能性，考慮到靜摩擦力與彈簧彈力可能存在的方向，進(jìn)行分類討論.

例2 如圖4所示，勁度系數(shù)k=100N/m的輕彈簧上端固定在斜面頂端，下端掛一個(gè)小物體放在斜面上，彈簧的軸線與斜面平行.物體只能在斜面上的P、Q兩點(diǎn)間的任何位置才能處于靜止?fàn)顟B(tài)，已知物體與斜面間的最大靜摩擦力Ffm=6N.則以下說法正確的是( ).

A．物體放在P點(diǎn)時(shí)，彈簧可能伸長，也可能壓縮

B．物體放在Q點(diǎn)時(shí)，彈簧可能伸長，也可能壓縮

C．P、Q兩點(diǎn)間的距離x=0.12 m

D．斜面的傾角θ= 30°

解析由于物體只能放在斜面上的P、Q兩點(diǎn)才能處于靜止平衡狀態(tài)，因此物體在在P、Q兩點(diǎn)受的斜面的靜摩擦力應(yīng)為最大值Ffm，且在P點(diǎn)受到的最大靜摩擦力方向沿斜面向下，因此在P點(diǎn)彈簧只能處于伸長狀態(tài)；在Q點(diǎn)受到的最大靜摩擦力方向沿斜面向上，因此在Q點(diǎn)彈簧可能處于伸長狀態(tài)，也可能處于壓縮狀態(tài)；設(shè)物體質(zhì)量為m，在P點(diǎn)彈簧伸長x1，由力的平衡條件有：kx1=mgsinθ+Ffm(1)

在Q點(diǎn)彈簧伸長x2，由力的平衡條件有：kx2=mgsinθ-Ffm(2)

P、Q兩點(diǎn)間的距離x=x1-x2(3)

聯(lián)立(1)(2)(3)式，代入數(shù)值解得：x=0.12 m；

若在Q點(diǎn)彈簧壓縮x2，由力的平衡條件有：kx2+mgsinθ=Ffm(4)

P、Q兩點(diǎn)間的距離x=x1+x2(5)

聯(lián)立(1)(4)(5)式，代入數(shù)值解得：x=0.12m；

通過以上求解知，本題不能確定斜面傾角的值.

答案 BC

點(diǎn)評本題中力的平衡問題將斜面、靜摩擦力與彈簧彈力相結(jié)合，物體在斜面上平衡時(shí)受到斜面的靜摩擦力的方向可能沿斜面向上或向下，彈簧對物體的彈力的方向也有可能沿斜面向上或向下.由于物體在P點(diǎn)平衡時(shí)彈簧最長，這時(shí)彈簧一定處于拉伸狀態(tài)；容易誤認(rèn)為在Q點(diǎn)平衡時(shí)彈簧最短，這時(shí)彈簧一定處于壓縮狀態(tài)；其實(shí)物體在Q點(diǎn)平衡時(shí)彈簧是拉伸還是壓縮，應(yīng)取決于物體和斜面間的最大靜摩力Ffm與物體沿斜面方向重力分力mgsinθ的大小，因此需要進(jìn)行分類討論.

2．三力平衡問題

在求解三個(gè)共點(diǎn)力平衡問題中，若能靈活地運(yùn)用拉密定理與三力匯交定理，可使問題的求解變得簡潔.

(1)拉密定理.如圖5所示，當(dāng)三個(gè)共點(diǎn)力處于平衡時(shí)，則每一個(gè)力和其它兩力間夾角的正弦成正比，即：

(2)三力匯交定理.如果一個(gè)物體在三個(gè)力作用下處于平衡，若這三個(gè)力不平行，則這三個(gè)力的作用線(或延長線)必相交于一點(diǎn).

例3 長為a的細(xì)線系于質(zhì)量為m邊長為a的正方體一條棱的中點(diǎn)，線的另一端固定在光滑豎直墻壁上(如圖6)，求線上的拉力FT及墻壁對正方體的支持力FN的大小.

解析正方體受三個(gè)力作用處于于平衡，這個(gè)力分別是重力mg、繩子拉力FT、墻壁的支持力FN，顯然這三個(gè)不平行，則這三個(gè)力的作用線必共點(diǎn)(如圖7所示).在△BOF中，有：

在ΔABF中，BF=2acos(90°-α)=2asinα；則有：

點(diǎn)評此題分析求解的關(guān)鍵是根據(jù)三力匯交定理作出圖7所示的物體受力圖，利用解析法結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解.

如果物體在多于三個(gè)共點(diǎn)力的作用下處于平衡，有時(shí)可以將其中的某些力先進(jìn)行合成，可將物體等效為受三個(gè)力作用，從而能利用上述兩個(gè)定理對問題進(jìn)行分析與求解.

3．動態(tài)平衡問題

通過控制某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢地變化，物體在這一變化過程中始終處于一系列的平衡狀態(tài)中，這種平衡稱為動態(tài)平衡.求解動態(tài)平衡問題的基本思路是化“動”為“靜”，“靜”中求“動”.

例4 如圖8所示，一絕緣細(xì)線OA下端系一質(zhì)量為m的帶電的小球A，懸點(diǎn)O正下方有一帶電小球B固定在絕緣底座上.開始時(shí)A球靜止在圖中位置，此時(shí)細(xì)線OA與豎直方向的夾角為θ.現(xiàn)將B球沿豎直方向緩慢上移一小段距離，在此過程中，下列說法正確的是( ).

A．細(xì)線OA與豎直方向的夾角θ保持不變

B．B球所受的庫侖力一直變大

C．細(xì)線OA的拉力一直變大

D．A球與B球間的距離一直變大

解析A球受到B球的庫侖力F、繩子的拉力FT、重力mg，其合力為零，平移三個(gè)力矢量組成一個(gè)封閉的三角形.注意到mg不變，F(xiàn)T的方向總是過O點(diǎn)，F(xiàn)與FT的交點(diǎn)在以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓周上移動，畫出初態(tài)、末態(tài)的三個(gè)力矢量三角形(如圖9所示).可知：F變大、FT變大、θ角變大.答案 BC

點(diǎn)評緩慢上移B球時(shí)A球會沿圓周緩慢上升，θ角變大；當(dāng)B球移到與A球(改變后的位置)等高時(shí)，兩球間的庫侖力最大；若再繼續(xù)上移B球時(shí)兩球間的庫侖力會減小，A球則會沿圓周緩慢下降，θ角就會變小(有可能減小到比開始的還小).