試探長(zhǎng)方體法構(gòu)圖 提升直觀想象學(xué)科素養(yǎng)

李 閣

(遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)東戴河分校 125200)

一、從課本上的例題試探

人教B：P53例4：已知：如圖1，平面α⊥平面β，在α與β的交線(xiàn)上取線(xiàn)段AB=4 cm，AC,BD分別在平面α和平面β內(nèi)，它們都垂直于直線(xiàn)AB，并且AC=3 cm,BD=12 cm，求CD的長(zhǎng).

探索分析根據(jù)題意我們可以發(fā)現(xiàn)，AC⊥AB,AC⊥BD,BD⊥BA,BD⊥BC.根據(jù)圖形及結(jié)構(gòu)，我們可以將幾何圖形抽象出來(lái)放到下面的長(zhǎng)方體里，以長(zhǎng)方體為“母體”，能夠很容易培養(yǎng)學(xué)生形成直觀抽象的空間關(guān)系，有利于我們處理長(zhǎng)度關(guān)系.如圖2,那么我們就可以將求CD的長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng).

二、從課本上的習(xí)題試探

人教B：P57習(xí)題1-2B第8題：已知：如圖AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點(diǎn).求證：BC⊥平面PAC.

探究分析根據(jù)題意我們可以發(fā)現(xiàn)

∠ACB=90°,PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC.

根據(jù)空間幾何結(jié)構(gòu)，我們還可以很將幾何圖形抽象出來(lái)放到下面的長(zhǎng)方體里，如圖4.

可以看出線(xiàn)線(xiàn)之間的關(guān)系(如上面的分析)，如還可以看出線(xiàn)面之間的關(guān)系(如BC⊥平面PAC)，以及面面之間的關(guān)系(如平面ABC⊥平面PAC)，如果再加上一些邊長(zhǎng)的關(guān)系，那么還有利于解決異面直線(xiàn)所成角的一些問(wèn)題.

三、從翻折問(wèn)題上試探

如圖5，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB,BC的中點(diǎn)，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A,C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′，求證：A′D⊥EF.

探索分析我們可以發(fā)現(xiàn)在折起之前AE=CF，折起之后A′E=A′F，且DE=DF,同時(shí)∠B=90°，且四邊形ABCD為正方形，這些條件可以從充分地將幾何體置于長(zhǎng)方體中.

如圖6：借助于四邊形ABCD為正方形，直接就成為一個(gè)正四棱柱的底面，再結(jié)合A′E=A′F，則可以將A′置于上底面對(duì)角線(xiàn)GH上，這樣所有的條件就可以滿(mǎn)足.

這樣證明A′D⊥EF問(wèn)題的過(guò)程中是不是即解決了立體幾何的抽象問(wèn)題，再結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理及線(xiàn)面垂直的定義，又解決了邏輯思維問(wèn)題及答題的規(guī)范性呢？

四、從各地檢測(cè)題上試探

2015，河南信陽(yáng)市高一期末測(cè)試：如圖7所示，BC是圓O的直徑，AB垂直于O所在的平面，D是圓周上異于B,C的任意一點(diǎn)，BF⊥AD,點(diǎn)F為垂足，求證：BF⊥平面ACD.

探索分析通過(guò)對(duì)上面人教B：P57習(xí)題1-2B第8題的分析，這樣的空間幾何體現(xiàn)在就很容易將它放入到長(zhǎng)方體中了.如圖8，因?yàn)锽C是圓O的直徑，所以∠BDC=90°,BD⊥DC,又因?yàn)锳B垂直于O所在的平面，所以AB⊥BD,AB⊥DC,AB⊥BC.又因?yàn)锽F⊥AD,點(diǎn)F為垂足,所以從直觀上很容易得到DC⊥BF,那么BF⊥平面ACD利用線(xiàn)面垂直的判定定理也就唾手可得.

五、從創(chuàng)新性試題上試探

如圖9，在△ABC中，∠B為直角，P是△ABC外一點(diǎn)，且PA=PB,PB⊥BC，若M是PC的中點(diǎn)，試確定AB上點(diǎn)N的位置，使得MN⊥AB.

探索分析此題我們依然可以類(lèi)比人教B：P57習(xí)題1-2B第8題的分析，因?yàn)樵讦BC中，∠B為直角，所以可以認(rèn)為∠B為長(zhǎng)方體的一個(gè)底面長(zhǎng)方形的直角，又因?yàn)镻是△ABC外一點(diǎn)，且PA=PB,PB⊥BC，所以，我們可以將點(diǎn)P置于長(zhǎng)方體的一條棱的中點(diǎn)，這樣PA=PB的條件就可以滿(mǎn)足，又因?yàn)镻B⊥BC，所以很容易想到點(diǎn)P所在的棱是與AB所對(duì)的棱上，這樣就可以滿(mǎn)足所有題目中的條件了.如圖10.

在轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，圖形看得清楚了，我們只是換了個(gè)角度看問(wèn)題，但是在轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，我們不但復(fù)習(xí)了一些幾何知識(shí)，還能將問(wèn)題解決，提升抽象能力，我覺(jué)得長(zhǎng)方體還是很實(shí)用的.

六、從高考試題上試探

(2013年新課標(biāo)1卷)如圖11,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,D為AB中點(diǎn)，∠BAA1=60°.

證明:(1)AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線(xiàn)A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.

探索分析根據(jù)上面的各類(lèi)問(wèn)題中，要想將空間幾何體與長(zhǎng)方體相結(jié)合，必然有很多的垂直關(guān)系作為依據(jù)，才能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化的貼切，而這道高考題中沒(méi)有那么多的垂直關(guān)系，那么又將如何轉(zhuǎn)化呢？

如圖12，這個(gè)長(zhǎng)方體的引入有些不同了，因?yàn)槲野阉由炝?，才能與這道題相匹配，首先AB⊥面A1CD，那么我們才有：AB⊥A1C， 這可以認(rèn)為是長(zhǎng)方體中的一條棱與一個(gè)面之間的關(guān)系，而∠BAA1=60°，所以將BD延長(zhǎng)了，結(jié)合CA=CB是可以構(gòu)造出∠BAA1=60°.可是又缺少∠CDA1是直角，但是在第二問(wèn)中有平面ABC⊥平面AA1B1B，這樣我們就可以將幾何體結(jié)合長(zhǎng)方體了，但是如果只是在第一問(wèn)中是不能確定∠CDA1是直角，但這也是只給第一問(wèn)的一種特殊情況.可是如果結(jié)合第二問(wèn)，將幾何體結(jié)合長(zhǎng)方體，那么我們很容易直觀地看出直線(xiàn)A1C與平面BB1C1C所成角為∠CA1D，結(jié)合三角函數(shù)，那么正弦值就得到了.

在上面的研究中我們可以發(fā)現(xiàn)很多的幾何體是可以與長(zhǎng)方體作為“母體”相結(jié)合的，但是要滿(mǎn)足一些直角和邊相等的關(guān)系，同時(shí)還要結(jié)合課本中的理論認(rèn)識(shí).這種直觀抽象與數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)是需要不斷培養(yǎng)的，很多的事物都是在不斷的發(fā)展與變化的，在不斷的發(fā)展與變化中，需要我們不斷地去探索與研究.在人教B必修二的第一節(jié)內(nèi)容就是“構(gòu)成空間幾何體的基本元素”中就是以長(zhǎng)方體為例，初步讓學(xué)生直觀感受點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，那么教材的這樣設(shè)計(jì)是不是也有編者的一些想法呢？或者出題人也有這樣的認(rèn)識(shí)呢？但不管怎樣，深入挖掘教材，“用教材教，還是教教材”，這句話(huà)讓人深省.