試探長方體法構圖 提升直觀想象學科素養

李 閣

(遼寧省實驗中學東戴河分校 125200)

一、從課本上的例題試探

人教B：P53例4：已知：如圖1，平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB=4 cm，AC,BD分別在平面α和平面β內，它們都垂直于直線AB，并且AC=3 cm,BD=12 cm，求CD的長.

探索分析根據題意我們可以發現，AC⊥AB,AC⊥BD,BD⊥BA,BD⊥BC.根據圖形及結構，我們可以將幾何圖形抽象出來放到下面的長方體里，以長方體為“母體”，能夠很容易培養學生形成直觀抽象的空間關系，有利于我們處理長度關系.如圖2,那么我們就可以將求CD的長的問題轉換為求長方體體對角線的長.

二、從課本上的習題試探

人教B：P57習題1-2B第8題：已知：如圖AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點.求證：BC⊥平面PAC.

探究分析根據題意我們可以發現

∠ACB=90°,PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC.

根據空間幾何結構，我們還可以很將幾何圖形抽象出來放到下面的長方體里，如圖4.

可以看出線線之間的關系(如上面的分析)，如還可以看出線面之間的關系(如BC⊥平面PAC)，以及面面之間的關系(如平面ABC⊥平面PAC)，如果再加上一些邊長的關系，那么還有利于解決異面直線所成角的一些問題.

三、從翻折問題上試探

如圖5，邊長為2的正方形ABCD中，點E、F分別是AB,BC的中點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A,C兩點重合于點A′，求證：A′D⊥EF.

探索分析我們可以發現在折起之前AE=CF，折起之后A′E=A′F，且DE=DF,同時∠B=90°，且四邊形ABCD為正方形，這些條件可以從充分地將幾何體置于長方體中.

如圖6：借助于四邊形ABCD為正方形，直接就成為一個正四棱柱的底面，再結合A′E=A′F，則可以將A′置于上底面對角線GH上，這樣所有的條件就可以滿足.

這樣證明A′D⊥EF問題的過程中是不是即解決了立體幾何的抽象問題，再結合線面垂直的判定定理及線面垂直的定義，又解決了邏輯思維問題及答題的規范性呢？

四、從各地檢測題上試探

2015，河南信陽市高一期末測試：如圖7所示，BC是圓O的直徑，AB垂直于O所在的平面，D是圓周上異于B,C的任意一點，BF⊥AD,點F為垂足，求證：BF⊥平面ACD.

探索分析通過對上面人教B：P57習題1-2B第8題的分析，這樣的空間幾何體現在就很容易將它放入到長方體中了.如圖8，因為BC是圓O的直徑，所以∠BDC=90°,BD⊥DC,又因為AB垂直于O所在的平面，所以AB⊥BD,AB⊥DC,AB⊥BC.又因為BF⊥AD,點F為垂足,所以從直觀上很容易得到DC⊥BF,那么BF⊥平面ACD利用線面垂直的判定定理也就唾手可得.

五、從創新性試題上試探

如圖9，在△ABC中，∠B為直角，P是△ABC外一點，且PA=PB,PB⊥BC，若M是PC的中點，試確定AB上點N的位置，使得MN⊥AB.

探索分析此題我們依然可以類比人教B：P57習題1-2B第8題的分析，因為在ΔABC中，∠B為直角，所以可以認為∠B為長方體的一個底面長方形的直角，又因為P是△ABC外一點，且PA=PB,PB⊥BC，所以，我們可以將點P置于長方體的一條棱的中點，這樣PA=PB的條件就可以滿足，又因為PB⊥BC，所以很容易想到點P所在的棱是與AB所對的棱上，這樣就可以滿足所有題目中的條件了.如圖10.

在轉換的過程中，圖形看得清楚了，我們只是換了個角度看問題，但是在轉換的過程中，我們不但復習了一些幾何知識，還能將問題解決，提升抽象能力，我覺得長方體還是很實用的.

六、從高考試題上試探

(2013年新課標1卷)如圖11,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,D為AB中點，∠BAA1=60°.

證明:(1)AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.

探索分析根據上面的各類問題中，要想將空間幾何體與長方體相結合，必然有很多的垂直關系作為依據，才能將問題轉化的貼切，而這道高考題中沒有那么多的垂直關系，那么又將如何轉化呢？

如圖12，這個長方體的引入有些不同了，因為我把它延伸了，才能與這道題相匹配，首先AB⊥面A1CD，那么我們才有：AB⊥A1C， 這可以認為是長方體中的一條棱與一個面之間的關系，而∠BAA1=60°，所以將BD延長了，結合CA=CB是可以構造出∠BAA1=60°.可是又缺少∠CDA1是直角，但是在第二問中有平面ABC⊥平面AA1B1B，這樣我們就可以將幾何體結合長方體了，但是如果只是在第一問中是不能確定∠CDA1是直角，但這也是只給第一問的一種特殊情況.可是如果結合第二問，將幾何體結合長方體，那么我們很容易直觀地看出直線A1C與平面BB1C1C所成角為∠CA1D，結合三角函數，那么正弦值就得到了.

在上面的研究中我們可以發現很多的幾何體是可以與長方體作為“母體”相結合的，但是要滿足一些直角和邊相等的關系，同時還要結合課本中的理論認識.這種直觀抽象與數學抽象的學科素養是需要不斷培養的，很多的事物都是在不斷的發展與變化的，在不斷的發展與變化中，需要我們不斷地去探索與研究.在人教B必修二的第一節內容就是“構成空間幾何體的基本元素”中就是以長方體為例，初步讓學生直觀感受點、線、面的位置關系，那么教材的這樣設計是不是也有編者的一些想法呢？或者出題人也有這樣的認識呢？但不管怎樣，深入挖掘教材，“用教材教，還是教教材”，這句話讓人深省.