例談數列中的創新題

何文清

(河北省唐山市第二中學 063000)

數列的創新題在各類考試中都有出現， 下面是我在學習過程中歸納的幾種創新題型，供同學們參考.

一、類比推理題型

(1)請你證明上述命題；

(2)請你就數列{an}、{bn}是兩個各項均為正的等比數列，類比上述結論，提出正確的猜想，并加以證明．

分析(1)直接利用等差數列的性質：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq及等差數列的前n項和公式即可得到證明；

(2)等比數列通常與等差數列類比，加法類比為乘法，平面中的面積類比為體積，算術平均數類比為幾何平均數，本題是一個加法類比為乘法，算術平均數類比為幾何平均數．

點評在解題過程中，尋找解題的突破口，往往離不開類比聯想，我們在解題中，要進一步通過概念類比、性質類比、結構類比以及方法類比等思維訓練途徑，來提高類比推理的能力，培養探究創新精神．

二、雙數列問題

雙數列問題主要考查等差數列、等比數列的基本概念、公式以及遞推數列等，求解這類問題的基本策略是重點加強數列基本方法的訓練，將復雜問題轉化為常規的等差、等比數列問題求解.

例2 設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4構成等差數列.

(1)求數列{an}的通項公式.

(2)令bn=lna3n+1，n=1，2，…，求數列{bn}的前n項和Tn.

由題意得q>1，∴q=2.∴a1=1.

故數列{an}的通項為an=2n-1.

(2)由于bn=lna3n+1，n=1，2，…，由(1)得a3n+1=23n

∴bn=ln23n=3nln2.又bn+1-bn=3ln2,∴{bn}是等差數列.

點評雙數列問題在高考中常考查數列通項an、前n項和Sn以及求某特定項的基本求法，一般屬于中低檔題，求解這類問題的關鍵是理清各數列基本特征量以及明確兩個數列間的關系.

三、規律探索題型

數表(陣)問題頻繁地出現在高考試題中.它從能力上立意，追求創新意識，不僅考查學生的信息收集和加工能力，而且考查學生的探索能力.

例3 將各項均為正數的數列{an}排成如圖所示的三角形數陣(第n行有n個數，同一行下標小的排在左邊)．bn表示數陣中第n行第1列的數．

已知數列{bn}為等比數列，且從第3行開始，各行均構成公差為d的等差數列，a1=1，a12=17，a18=34．

(1)求數陣中第m行第n列(m，n∈N+且m≥3，n≤m)的數Amn(用m，n表示)；

(2)試問a2015處在數陣中第幾行第幾列？

(3)試問這個數列中是否有2015這個數？有求出具體位置，沒有說明理由．

分析(1)由題意和等差、等比數列的通項公式，列出關于公差d和公比q的方程組，求出q、d的值、bn，由題意和等差、等比數列的通項公式求出Amn的表達式；

(2)由圖表得到每一行中數的個數，由等差數列的求和公式求出前62、63行數的個數，從而確定a2015為數陣中第63行第62列的數；

(3)假設2015為數陣中第m行第n列的數，由數的規律列出不等式，再取特值進行驗證，從而確定不等式沒有整數解，即可說明2015不在該數陣中．

a2015為數陣中第63行第62列的數．

(3)假設2015為數陣中第m行第n列的數，

由第m行最小的數為2m-1，最大的數為2m-1+m-1，所以2m-1≤2015≤2m-1+m-1.

當m≤11時，2m-1+m-1≤210+10=1034<2013；

當m≥12時，2m-1≥211=2048>2015，

于是，不等式2m-1≤2015≤2m-1+m-1沒有整數解.

所以2015不在該數陣中．

點評在此類問題中，一些數按照一定的規律被排成若干行和列，形成一種圖表，綜合考查等差、等比數列及其相關知識，有利于考查學生的觀察、歸納以及邏輯推理能力.

四、與數列交匯題型

在數列這一章節中，數列常常與幾何、向量、不等式、函數以及導數等內容相結合，此類題目綜合性較強，這是高考中數列部分的重要題型.

例4 已知函數f(x)=x-sinx，數列{an}滿足：0

分析第(1)問是與正整數有關的命題，可以利用數學歸納法進行證明，通過歸納假設，借助于導數，從而得證；第(2)問是不等式的證明，可利用函數思想，借助于導數研究單調性，再進行放縮證明.

證明：(1)先用數學歸納法證明0

①當n=1時，由已知，結論成立.

②假設n=k時結論成立，即00，所以f(x)在(0,1)上是增函數，又f(x)在[0,1]上連續，從而f(0)

點評本題考查數列、數學歸納法等基本知識，同時考查函數、導數的應用，考查函數思想的應用和邏輯推理能力，函數、導數與數列相結合.