例談數(shù)列中的創(chuàng)新題

何文清

(河北省唐山市第二中學(xué) 063000)

數(shù)列的創(chuàng)新題在各類考試中都有出現(xiàn)， 下面是我在學(xué)習(xí)過程中歸納的幾種創(chuàng)新題型，供同學(xué)們參考.

一、類比推理題型

(1)請你證明上述命題；

(2)請你就數(shù)列{an}、{bn}是兩個(gè)各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，類比上述結(jié)論，提出正確的猜想，并加以證明．

分析(1)直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得到證明；

(2)等比數(shù)列通常與等差數(shù)列類比，加法類比為乘法，平面中的面積類比為體積，算術(shù)平均數(shù)類比為幾何平均數(shù)，本題是一個(gè)加法類比為乘法，算術(shù)平均數(shù)類比為幾何平均數(shù)．

點(diǎn)評(píng)在解題過程中，尋找解題的突破口，往往離不開類比聯(lián)想，我們在解題中，要進(jìn)一步通過概念類比、性質(zhì)類比、結(jié)構(gòu)類比以及方法類比等思維訓(xùn)練途徑，來提高類比推理的能力，培養(yǎng)探究創(chuàng)新精神．

二、雙數(shù)列問題

雙數(shù)列問題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念、公式以及遞推數(shù)列等，求解這類問題的基本策略是重點(diǎn)加強(qiáng)數(shù)列基本方法的訓(xùn)練，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的等差、等比數(shù)列問題求解.

例2 設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(2)令bn=lna3n+1，n=1，2，…，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

由題意得q>1，∴q=2.∴a1=1.

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=2n-1.

(2)由于bn=lna3n+1，n=1，2，…，由(1)得a3n+1=23n

∴bn=ln23n=3nln2.又bn+1-bn=3ln2,∴{bn}是等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)雙數(shù)列問題在高考中常考查數(shù)列通項(xiàng)an、前n項(xiàng)和Sn以及求某特定項(xiàng)的基本求法，一般屬于中低檔題，求解這類問題的關(guān)鍵是理清各數(shù)列基本特征量以及明確兩個(gè)數(shù)列間的關(guān)系.

三、規(guī)律探索題型

數(shù)表(陣)問題頻繁地出現(xiàn)在高考試題中.它從能力上立意，追求創(chuàng)新意識(shí)，不僅考查學(xué)生的信息收集和加工能力，而且考查學(xué)生的探索能力.

例3 將各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}排成如圖所示的三角形數(shù)陣(第n行有n個(gè)數(shù)，同一行下標(biāo)小的排在左邊)．bn表示數(shù)陣中第n行第1列的數(shù)．

已知數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且從第3行開始，各行均構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，a1=1，a12=17，a18=34．

(1)求數(shù)陣中第m行第n列(m，n∈N+且m≥3，n≤m)的數(shù)Amn(用m，n表示)；

(2)試問a2015處在數(shù)陣中第幾行第幾列？

(3)試問這個(gè)數(shù)列中是否有2015這個(gè)數(shù)？有求出具體位置，沒有說明理由．

分析(1)由題意和等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出關(guān)于公差d和公比q的方程組，求出q、d的值、bn，由題意和等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出Amn的表達(dá)式；

(2)由圖表得到每一行中數(shù)的個(gè)數(shù)，由等差數(shù)列的求和公式求出前62、63行數(shù)的個(gè)數(shù)，從而確定a2015為數(shù)陣中第63行第62列的數(shù)；

(3)假設(shè)2015為數(shù)陣中第m行第n列的數(shù)，由數(shù)的規(guī)律列出不等式，再取特值進(jìn)行驗(yàn)證，從而確定不等式?jīng)]有整數(shù)解，即可說明2015不在該數(shù)陣中．

a2015為數(shù)陣中第63行第62列的數(shù)．

(3)假設(shè)2015為數(shù)陣中第m行第n列的數(shù)，

由第m行最小的數(shù)為2m-1，最大的數(shù)為2m-1+m-1，所以2m-1≤2015≤2m-1+m-1.

當(dāng)m≤11時(shí)，2m-1+m-1≤210+10=1034<2013；

當(dāng)m≥12時(shí)，2m-1≥211=2048>2015，

于是，不等式2m-1≤2015≤2m-1+m-1沒有整數(shù)解.

所以2015不在該數(shù)陣中．

點(diǎn)評(píng)在此類問題中，一些數(shù)按照一定的規(guī)律被排成若干行和列，形成一種圖表，綜合考查等差、等比數(shù)列及其相關(guān)知識(shí)，有利于考查學(xué)生的觀察、歸納以及邏輯推理能力.

四、與數(shù)列交匯題型

在數(shù)列這一章節(jié)中，數(shù)列常常與幾何、向量、不等式、函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合，此類題目綜合性較強(qiáng)，這是高考中數(shù)列部分的重要題型.

例4 已知函數(shù)f(x)=x-sinx，數(shù)列{an}滿足：0

分析第(1)問是與正整數(shù)有關(guān)的命題，可以利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，通過歸納假設(shè)，借助于導(dǎo)數(shù)，從而得證；第(2)問是不等式的證明，可利用函數(shù)思想，借助于導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再進(jìn)行放縮證明.

證明：(1)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0

①當(dāng)n=1時(shí)，由已知，結(jié)論成立.

②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即00，所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，又f(x)在[0,1]上連續(xù)，從而f(0)

點(diǎn)評(píng)本題考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等基本知識(shí)，同時(shí)考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)思想的應(yīng)用和邏輯推理能力，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列相結(jié)合.