數學思想方法在三角形綜合問題中的應用

李永革

(安徽省巢湖市第一中學 238000)

三角形問題形式多樣，常見的有三角形計算問題、三角形形狀判定、三角恒等式的證明，范圍、最值問題，實際應用問題.解決三角形問題除了需要三角形性質，正、余弦定理，三角形面積公式等知識外，還與三角函數、三角恒等變換聯系緊密.是三角、向量、函數、方程等知識的交匯點.教學中發現，對于一些綜合程度較高的三角形問題，學生常感到思路不清，方向不明，運算受阻.為幫助學生較快地突破思維的瓶頸，理清推理和運算的思路，筆者在教學中注意運用數學思想方法探索解題思路，起到了較好的效果.現整理如下，以求教于同行.

一、方程思想的運用

三角形計算問題，等量關系的建立是關鍵.這里涉及兩個問題，一是怎樣獲得等量關系(方程)，二是怎樣確保方程可解.

1.怎樣獲得等量關系(方程)

等量關系的建立一般是借助正、余弦定理，三角形各種面積公式，有時要利用和(差)角公式、倍角公式以及向量知識.

另外，算兩次的方法也是獲得等量關系的重要途徑.

例1 已知圓內接四邊形ABCD，AB=2,BC=6,CD=DA=4,求圓內接四邊形ABCD的面積.

解連接BD，則四邊形的面積

S=S△ABD+S△CBD

∵A+C=180°,∴sinA=sinC.

在△ABD中，BD2=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA,

在△CBD中，BD2=62+42-2×6×4cosC=52-48cosC,

∴20-16cosA=52-48cosC.

點評本題先后兩次運用余弦定理計算BD，得出角的等量關系式.隨后利用圓的內接四邊形性質消去一個角.

2.怎樣確保方程可解

有三個重要的技巧：一是如果遇到四種基本解三角形問題，要依據未知量唯一的原則從正、余弦定理，面積公式中選擇恰當的等量關系.二是遇到多個未知量同時出現時，等量關系(方程)的個數不能少于未知量的個數.三是先用同一個字母表示圖中某個三角形所有的邊或角，再建立等量關系.

解(1)由已知得∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.

點評本題第(2)小題圖中所有的三角形都不具備可解條件，于是先在直角△CBP中將PB用角α表示，再將△APB中的∠PAB也用角α表示.然后運用正弦定理建立方程.

二、函數思想的運用

三角形中取值范圍問題和最值問題一般需要構建目標函數，將問題轉化成求函數值域與最值問題.

例3 已知在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2acosC=2b-c.

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(1)求角A的大小;

(2)若b+c=2,求a的取值范圍.

解法2(建立代數函數)：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=b2+(2-b)2-b(2-b)=3b2-6b+4,b∈(0,2),

∴a2∈[1,2),∴a∈[1,2).

三、消元的思想的運用

三角形計算問題常需要減少未知數個數，學生對角的消元不太熟練，常常缺少消角的意識和手段.靈活利用三角形內角和定理，已知角以及三角變換公式是消元的關鍵.

(1)求tanC的值；

(2)若△ABC的面積為3，求b的值.

所以sin2C=2sinCcosC，解得tanC=2.

點評本題第(1)小題先將邊的關系式轉化成角的關系式，除了角A已知，角B和角C都是未知，考慮到題目要求的角是角C，所以需要消角B.運用了三角形內角和定理和誘導公式.

四、整體思想的運用

(1)求角C的度數；

(2)求AB的長度.

∴AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab

點評本題在計算中將a+b和ab當成整體，直接代值計算，減少了計算量.

五、化歸思想的運用

化歸思想在三角形問題中的應用最突出的表現是邊角互化.比如利用正、余弦定理判斷三角形形狀.這類問題基本思路是：用正弦定理或余弦定理將所給條件統一為角之間的關系或邊之間的關系.若統一為角之間關系式，則再利用三角恒等變換化簡到角之間關系；若統一為邊之間的關系式，則再利用代數方法進行恒等變形、化簡，找到邊之間的關系.一般地，若題設中含有角的余弦或邊的二次式，則要考慮利用余弦定理進行轉化；若題設中含有角的正弦或邊的一次式，則要考慮利用正弦定理進行轉化處理.

另外，在計算題中，為了減少未知量的個數常常需要邊角統一.有時已知條件是邊的關系，但結論卻是求角，也需要邊角轉化.

六、模型思想的運用

人教A版必修五教材在學習了正、余弦定理之后分別介紹了四類基本的解三角形問題.并將各類問題的解題套路和解的情況做了詳細的討論，這就為學生處理各種具體的解三角形問題提供了數學模型.

人教A版必修五教材應用舉例部分不僅把應用問題分為距離測量問題、高度測量問題和角度測量問題,而且配備的例題和習題中的每一組已知條件，常隱含著對這類測量問題在某種特定情境和條件限制下的一個測量方案，在這種情境與條件限制下，別的方案中的量可能無法測量出來，因而不能實施別的測量方案.所以每一道例題等于提供了一種測量問題的模型.遇到同類問題直接按這種方案測量即可.

數學思想是解題的靈魂，因此在教學中應注意思想方法的提煉，幫助學生把握問題本質，確定正確的思維方向，克服解題的盲目性.當然要順利解答三角形綜合問題，除了需要強化數學思想的指導作用外，還要具備較強的代數運算能力和三角恒等變換的能力.同時還要注意三角形自身性質等隱含條件的挖掘，防止錯解和漏解.