數(shù)學(xué)思想方法在三角形綜合問題中的應(yīng)用

李永革

(安徽省巢湖市第一中學(xué) 238000)

三角形問題形式多樣，常見的有三角形計(jì)算問題、三角形形狀判定、三角恒等式的證明，范圍、最值問題，實(shí)際應(yīng)用問題.解決三角形問題除了需要三角形性質(zhì)，正、余弦定理，三角形面積公式等知識(shí)外，還與三角函數(shù)、三角恒等變換聯(lián)系緊密.是三角、向量、函數(shù)、方程等知識(shí)的交匯點(diǎn).教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一些綜合程度較高的三角形問題，學(xué)生常感到思路不清，方向不明，運(yùn)算受阻.為幫助學(xué)生較快地突破思維的瓶頸，理清推理和運(yùn)算的思路，筆者在教學(xué)中注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法探索解題思路，起到了較好的效果.現(xiàn)整理如下，以求教于同行.

一、方程思想的運(yùn)用

三角形計(jì)算問題，等量關(guān)系的建立是關(guān)鍵.這里涉及兩個(gè)問題，一是怎樣獲得等量關(guān)系(方程)，二是怎樣確保方程可解.

1.怎樣獲得等量關(guān)系(方程)

等量關(guān)系的建立一般是借助正、余弦定理，三角形各種面積公式，有時(shí)要利用和(差)角公式、倍角公式以及向量知識(shí).

另外，算兩次的方法也是獲得等量關(guān)系的重要途徑.

例1 已知圓內(nèi)接四邊形ABCD，AB=2,BC=6,CD=DA=4,求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積.

解連接BD，則四邊形的面積

S=S△ABD+S△CBD

∵A+C=180°,∴sinA=sinC.

在△ABD中，BD2=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA,

在△CBD中，BD2=62+42-2×6×4cosC=52-48cosC,

∴20-16cosA=52-48cosC.

點(diǎn)評(píng)本題先后兩次運(yùn)用余弦定理計(jì)算BD，得出角的等量關(guān)系式.隨后利用圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)消去一個(gè)角.

2.怎樣確保方程可解

有三個(gè)重要的技巧：一是如果遇到四種基本解三角形問題，要依據(jù)未知量唯一的原則從正、余弦定理，面積公式中選擇恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系.二是遇到多個(gè)未知量同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，等量關(guān)系(方程)的個(gè)數(shù)不能少于未知量的個(gè)數(shù).三是先用同一個(gè)字母表示圖中某個(gè)三角形所有的邊或角，再建立等量關(guān)系.

解(1)由已知得∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.

點(diǎn)評(píng)本題第(2)小題圖中所有的三角形都不具備可解條件，于是先在直角△CBP中將PB用角α表示，再將△APB中的∠PAB也用角α表示.然后運(yùn)用正弦定理建立方程.

二、函數(shù)思想的運(yùn)用

三角形中取值范圍問題和最值問題一般需要構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域與最值問題.

例3 已知在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2acosC=2b-c.

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(1)求角A的大小;

(2)若b+c=2,求a的取值范圍.

解法2(建立代數(shù)函數(shù))：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=b2+(2-b)2-b(2-b)=3b2-6b+4,b∈(0,2),

∴a2∈[1,2),∴a∈[1,2).

三、消元的思想的運(yùn)用

三角形計(jì)算問題常需要減少未知數(shù)個(gè)數(shù)，學(xué)生對(duì)角的消元不太熟練，常常缺少消角的意識(shí)和手段.靈活利用三角形內(nèi)角和定理，已知角以及三角變換公式是消元的關(guān)鍵.

(1)求tanC的值；

(2)若△ABC的面積為3，求b的值.

所以sin2C=2sinCcosC，解得tanC=2.

點(diǎn)評(píng)本題第(1)小題先將邊的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系式，除了角A已知，角B和角C都是未知，考慮到題目要求的角是角C，所以需要消角B.運(yùn)用了三角形內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式.

四、整體思想的運(yùn)用

(1)求角C的度數(shù)；

(2)求AB的長(zhǎng)度.

∴AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab

點(diǎn)評(píng)本題在計(jì)算中將a+b和ab當(dāng)成整體，直接代值計(jì)算，減少了計(jì)算量.

五、化歸思想的運(yùn)用

化歸思想在三角形問題中的應(yīng)用最突出的表現(xiàn)是邊角互化.比如利用正、余弦定理判斷三角形形狀.這類問題基本思路是：用正弦定理或余弦定理將所給條件統(tǒng)一為角之間的關(guān)系或邊之間的關(guān)系.若統(tǒng)一為角之間關(guān)系式，則再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)到角之間關(guān)系；若統(tǒng)一為邊之間的關(guān)系式，則再利用代數(shù)方法進(jìn)行恒等變形、化簡(jiǎn)，找到邊之間的關(guān)系.一般地，若題設(shè)中含有角的余弦或邊的二次式，則要考慮利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若題設(shè)中含有角的正弦或邊的一次式，則要考慮利用正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理.

另外，在計(jì)算題中，為了減少未知量的個(gè)數(shù)常常需要邊角統(tǒng)一.有時(shí)已知條件是邊的關(guān)系，但結(jié)論卻是求角，也需要邊角轉(zhuǎn)化.

六、模型思想的運(yùn)用

人教A版必修五教材在學(xué)習(xí)了正、余弦定理之后分別介紹了四類基本的解三角形問題.并將各類問題的解題套路和解的情況做了詳細(xì)的討論，這就為學(xué)生處理各種具體的解三角形問題提供了數(shù)學(xué)模型.

人教A版必修五教材應(yīng)用舉例部分不僅把應(yīng)用問題分為距離測(cè)量問題、高度測(cè)量問題和角度測(cè)量問題,而且配備的例題和習(xí)題中的每一組已知條件，常隱含著對(duì)這類測(cè)量問題在某種特定情境和條件限制下的一個(gè)測(cè)量方案，在這種情境與條件限制下，別的方案中的量可能無法測(cè)量出來，因而不能實(shí)施別的測(cè)量方案.所以每一道例題等于提供了一種測(cè)量問題的模型.遇到同類問題直接按這種方案測(cè)量即可.

數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂，因此在教學(xué)中應(yīng)注意思想方法的提煉，幫助學(xué)生把握問題本質(zhì)，確定正確的思維方向，克服解題的盲目性.當(dāng)然要順利解答三角形綜合問題，除了需要強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)作用外，還要具備較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力和三角恒等變換的能力.同時(shí)還要注意三角形自身性質(zhì)等隱含條件的挖掘，防止錯(cuò)解和漏解.