導數綜合題中的切線研究

張 弛

(浙江省諸暨市海亮高級中學302班 311800)

在解決函數與導數相結合的綜合題中，利用函數的圖象來分析題目的結論，尤其是利用直線與曲線相切相關的一些結論，往往會使問題變得直觀易懂，那么下面舉例說明.

先來看2018年浙江省數學高考題壓軸題：

(1)若f(x)在x=x1，x=x2(x1≠x2)處導數相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(2)若a≤3-4ln2，證明：對任意的k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點.

曲線上的點(x0,f(x0))處從左到右的切線斜率的變化情況：-

由圖象可知，當a≤3-4ln2時，直線y=kx+a與曲線有唯一交點.

從上面的分析可以看到，此題的命制完全是由曲線與直線相切而來.

從圖象來看，下面的改編題中可以看得更清晰一點：

已知f(x)=-x3+9x2-26x+27.

已知對任意的k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點，求a的取值范圍.

從此題可以看出，充分利用函數圖象的切線，可以化繁為簡，讓問題變得直觀明了，下面針對這種如何利用函數圖象切線的問題做一個總結.

一、直接利用曲線與直線相切來設計的不等式恒成立問題

我們最常用的曲線的切線有指數函數的切線、對數函數的切線：

用不等式來表示即是：ex≥x+1；ex≥ex；lnx≤x-1.

例1 (2017·全國卷Ⅱ) 已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(1)求a；

分析第(1)小題的要求可以等價地轉化為a(x-1)-lnx≥0，即lnx≤a(x-1)，我們發現就是研究曲線y=lnx的切線而已，因為lnx≤x-1，所以a=1.

(2006年全國Ⅱ理20)設函數f(x)=(x+1)ln(x+1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數a的取值范圍.

分析先根據導數畫出原函數草圖

因為曲線f(x)=(x+1)ln(x+1)在原點處的切線方程為y=x，所以結合圖象及原點處的切線可知：實數a的取值范圍為a≤1.

甚至可以借用切線來構造以下這樣一個題目：

求證：ex≥2+lnx.

分析因為ex≥x+1，lnx≤x-1?x≥1+lnx，所以得證.

二、利用直線與曲線的位置關系來研究函數的零點或函數的極值點的存在性問題

當然以上問題的設計意圖都比較明顯，而且題中給出的函數一般不需要加以改造與變形，讓我們比較容易想到利用函數圖象結合切線的相關結論，但也有些問題需要先構造合適的函數，再利用切線的結論來解決問題，因此在解題分析過程中，觀察表達式的特點及圖象特點有助于分析問題能力的提升.

分析按常規方法分析，我們會遇到困難，因為其導數太奇怪了！

再看下例，充分利用了問題設計中的鋪墊來引導我們利用曲線的切線來解決問題.

例4 (2015天津)已知f(x)=4x-x4.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)設曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點為P，曲線y=f(x)在點P處的切線方程為y=g(x)，求證：f(x)≤g(x)；

分析把該函數的圖象在題中相關點的切線都求出來：

先求出導函數f′(x)=4-4x3.

從以上的例題可以看出，對于函數與導數相結合的綜合題，如果充分利用函數的圖象，尤其是利用函數圖象的切線相關結論，可以使得問題的解決簡單易懂，所以在以后的解題中要加以重視.