解題要嚴謹
——勿忘檢驗

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

基金項目：本文系北京市教育學會“十三五”教育科研滾動立項課題“數學文化與高考研究”(課題編號FT2017GD003，課題負責人：甘志國)階段性研究成果.

高考題(2014年高考安徽卷理科第16題)設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B.

(1)求a的值；

下面給出第(1)問的兩種解法.

解法1 由A=2B，可得A,2B∈(0,π)，所以

A=2B?cosA=cos2B?cosA=2cos2B-1?

再由題設b=3，c=1，可得

解法2 (參考答案)由A=2B，可得sinA=sin2B=2sinBcosB.

再由余弦定理，可得

又由正弦定理可得

當sinA=sin2B時，若A+2B=π，由A+B+C=π，可得B=C,b=c，與題設b>c矛盾！所以當A,2B∈(0,π)時，A=2B與sinA=sin2B不等價.

因而由解法2得到的答案正確.

等價轉化思想是一種重要的數學思想，在解題中的作用往往體現在化復雜為簡單、化陌生為熟悉，并且通過等價轉化的結果是不需要檢驗的.

但在數學解題中，有很多情形不易、不宜、甚至是不可能進行等價轉化(比如，解超越方程、解超越不等式、由遞推式求數列通項公式等等)，這時只有“退而求其次”，可以考慮用“不等價轉化”的方法來解題：常見的方法有“先必要后充分”和“先充分后必要”.

實際上，“解法2+檢驗”的解法就是“先必要后充分”.