“錯題”遇“錯解” 直覺是錯覺

劉彥永

(吉林省長春市東北師大附中 130021)

筆者偶然看到《中學數學教學參考》2015年第4期(上旬)賴淑明老師的《極值點偏移問題的另一本質回歸》一文，受益匪淺.然而文中賴老師對2013年高考數學湖南卷文科第21題的解答值得“商榷”，是一種似是而非的證明，問題在哪里？又如何完善呢？以下是筆者的思考，僅供大家參考.

一、“錯題”與“錯解”的展示

(1)求f(x)的單調區間；

(2)證明：當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時，x1+x2<0.

證明(1)略.

(2)由(1)知y=f′(x)在上R上單調遞減，且f′(0)=0.y=f(x)在(-,0)上單調遞增，在(0,+)上單調遞減，x1<0

f(x1)=f(x2)(x1≠x2)

=x1-x2

根據對數平均不等式，有

二、“錯因”與“正解”的完善

=1.(*)

根據對數平均不等式，有

存在兩個問題.

①忽視了“x1+x2=0”的處理；

因此是一個“似是而非”的“錯誤”證明，是解題過程中“直覺”造成的“錯覺”.

下面嘗試完善文[1]的證明.事實上，同文[1]可知：

而由對數平均不等式知

=1，矛盾.

②若x1+x2>0，則

=1 (*)

根據對數平均不等式，有

移項化簡有

而x1<0

綜上所述，x1+x2<0.問題得證.

三、感悟與感觸

在教學一線，偶爾會因為直覺和思維定勢造成“錯覺”和“錯解”，這是十分正常的現象.當遭遇這種情況時，我們應該和學生一起發現問題的根源并深入探究解決問題，以此培養學生發現問題和解決問題的能力，從而激發學生學習數學的興趣和向權威挑戰的勇氣.