一道高考選擇題的多種解法

魏藝銘

(北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) 100022)

題目設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則( ).

A．2x<3y<5zB．5z<2x<3y

C．3y<5z<2xD．3y<2x<5z

綜上，3y<2x<5z.

點(diǎn)評(píng)已知條件2x=3y=5z相當(dāng)于三個(gè)等式，首先利用2x=3y去比較2x與3y的大小關(guān)系，這類指數(shù)問題經(jīng)常轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)，因此將2x=3y兩邊取常用對(duì)數(shù)得到x與y的關(guān)系，比較大小常用比差法或比商法，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)我們感覺更適合用比商法.然后再利用2x=5z，類似地得到了2x與5z大小關(guān)系,法1是此類問題的基本解法.

解法2 令2x=3y=5z=k,則x=log2k,y=log3k,z=log5k.

綜上3y<2x<5z.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于等式2x=3y=5z，常常令它們都等于k，用指對(duì)數(shù)的互化把x,y,z都用k表示出來，再用比商法，但在解題過程中為了消掉k，用到了換底公式.

點(diǎn)評(píng)解法3一開始與解法2一樣，后面用了換底公式的推論把2x,3y,5z表示成了底數(shù)不同真數(shù)相同的對(duì)數(shù)，根據(jù)同一坐標(biāo)系中不同對(duì)數(shù)函數(shù)之間圖象的位置關(guān)系，只需比較三個(gè)底數(shù)之間的大小關(guān)系.這種統(tǒng)一很重要，為我們比較大小提供了一個(gè)切實(shí)可行的思路.

當(dāng)x∈(e,+)時(shí)y′<0,函數(shù)單調(diào)遞減.

點(diǎn)評(píng)前5種解法的共性是都轉(zhuǎn)化成了對(duì)數(shù)，相比而言解法6把已知條件稍加變形，只用了指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，可謂簡(jiǎn)單！漂亮！

y′=xx-2(1-lnx),當(dāng)x∈(e,+)時(shí)y′<0,函數(shù)y=x1/x單調(diào)遞減.

對(duì)于一道高考試題，應(yīng)注重發(fā)揮其一題多解背景下的功能與價(jià)值，以期達(dá)到最小的投入，最大的產(chǎn)出，這樣日積月累，同學(xué)們的解題意識(shí)和能力自然會(huì)得到提高.