一道高考選擇題的多種解法

魏藝銘

(北京工業大學附屬中學 100022)

題目設x、y、z為正數，且2x=3y=5z，則( ).

A．2x<3y<5zB．5z<2x<3y

C．3y<5z<2xD．3y<2x<5z

綜上，3y<2x<5z.

點評已知條件2x=3y=5z相當于三個等式，首先利用2x=3y去比較2x與3y的大小關系，這類指數問題經常轉換為對數，因此將2x=3y兩邊取常用對數得到x與y的關系，比較大小常用比差法或比商法，根據式子的結構我們感覺更適合用比商法.然后再利用2x=5z，類似地得到了2x與5z大小關系,法1是此類問題的基本解法.

解法2 令2x=3y=5z=k,則x=log2k,y=log3k,z=log5k.

綜上3y<2x<5z.

點評對于等式2x=3y=5z，常常令它們都等于k，用指對數的互化把x,y,z都用k表示出來，再用比商法，但在解題過程中為了消掉k，用到了換底公式.

點評解法3一開始與解法2一樣，后面用了換底公式的推論把2x,3y,5z表示成了底數不同真數相同的對數，根據同一坐標系中不同對數函數之間圖象的位置關系，只需比較三個底數之間的大小關系.這種統一很重要，為我們比較大小提供了一個切實可行的思路.

當x∈(e,+)時y′<0,函數單調遞減.

點評前5種解法的共性是都轉化成了對數，相比而言解法6把已知條件稍加變形，只用了指數函數的相關性質，可謂簡單！漂亮！

y′=xx-2(1-lnx),當x∈(e,+)時y′<0,函數y=x1/x單調遞減.

對于一道高考試題，應注重發揮其一題多解背景下的功能與價值，以期達到最小的投入，最大的產出，這樣日積月累，同學們的解題意識和能力自然會得到提高.